數(shù)學(xué)必修4正弦定理課件

1、高一數(shù)學(xué)必修4 v11正弦定理遂寧市育才中學(xué)高一數(shù)學(xué)組王代成v二、解三角形v1解三角形時(shí)常用的結(jié)論v(1)在ABC中，AB_；(即在一個(gè)三角形中大邊對(duì)大角)v(2)abc，bca，_；(即在一個(gè)三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊)v(3)內(nèi)角和定理：ABC中，ABC_.v2正弦定理的應(yīng)用v利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：v(1)已知兩角和任意一邊，求其他_和_；v(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求_，從而進(jìn)一步求出其他的邊和角v對(duì)于第(1)類，其解是唯一確定的，一般先由三角形內(nèi)角和為180求得_，再利用正弦定理求其余兩邊；v對(duì)于第(2)類，其解不一定唯一，由于三角形的

2、形狀不能唯一確定，因而會(huì)出現(xiàn)_三種情況v友情提示：在ABC中，如果已知邊a，b和角A，解的情況討論如下：v一般地，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，有兩解、一解和無(wú)解三種情況vA為銳角，如下圖：vabsinAabsinAbsinAababv_解_解_解_解vA為直角或鈍角，如下圖v_解_解_解_解v歸納列表如下：v1.正弦定理的推導(dǎo)方法v對(duì)正弦定理的推導(dǎo)，我們可以從幾何的角度進(jìn)行推導(dǎo)如圖，以ABC的頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，邊AC所在的射線為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系 v另外，我們也可以從ABC的外接圓來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)，如圖v當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，如圖所示，其外接圓的圓心O位于RtABC的斜邊AB上，R為外

3、接圓的半徑v2已知兩邊與其中一邊的對(duì)角時(shí)，怎樣確定三角形解的個(gè)數(shù)？v利用數(shù)形結(jié)合和三角函數(shù)知識(shí)來(lái)分析例如：已知ABC的兩邊a，b和角A解三角形時(shí)，有以下方法：v方法一：可以作圖，利用數(shù)形結(jié)合加以說(shuō)明如下表所示：v具體解題時(shí)，作出已知角A，邊長(zhǎng)b，以點(diǎn)C為圓心，以邊長(zhǎng)a為半徑畫弧，與射線AB的公共點(diǎn)(除去頂點(diǎn)A)的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù)v分析：從方程的觀點(diǎn)看，正弦定理有三個(gè)等式，可視為三個(gè)方程，每個(gè)方程都含有四個(gè)量，知其三個(gè)量，便可求得第四個(gè)量本題已知ABC的兩邊和其中一邊的對(duì)角，運(yùn)用正弦定理可求出角A，然后再利用三角形內(nèi)角和公式求得角C，進(jìn)而求出邊c.v變式訓(xùn)練1在ABC中，c10，A45，C

4、30，求a、b和B.v例2ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b5，B30，若c ，解此三角形分析：主要考查用正、余弦定理解三角形及三角形中三角變形的技巧v 例3在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，試判斷三角形的形狀v分析：已知條件中有邊和角的混合關(guān)系，可考慮利用邊化角，從角的關(guān)系判斷，也可考慮角化邊，從邊的關(guān)系判斷v變式訓(xùn)練3在ABC中，若acosAbcosB，求證：ABC是等腰三角形或直角三角形v分析：判斷三角形形狀通常從三角形內(nèi)角的關(guān)系確定，也可以從三角形三邊關(guān)系確定本題可考慮把邊化為角，尋找三角形角與角之間的關(guān)系，然后予以判定v例4如圖，D

5、是直角ABC斜邊BC上一點(diǎn)，ABAD，記CAD，ABC.v(1)證明sincos20；v(2)若AC DC，求的值 v分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，內(nèi)角和定理，結(jié)合三角公式，正、余弦定理即可解決v解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，通常都要根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得出三角形的邊和角的大小，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解v例5(2009遼寧卷)如圖，A，B，C，D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75，30，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60，AC0.1 km.試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01 km， v 1.414， 2.449)v分析：本題考查了應(yīng)用三角形知識(shí)求解實(shí)際問(wèn)題的能力求解此類解三角形問(wèn)題首先要能夠讀懂題意，分析清楚題意，要能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即解三角形問(wèn)題在具體求解過(guò)程中要能夠明確三角形中的邊角關(guān)系，同時(shí)要注意多解情況和計(jì)算的準(zhǔn)確性v解析：在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，v所以CDAC0.1，v又BCD180606060，v故CB是CAD底邊AD的中垂線，所以BDBA.v變式訓(xùn)