新湘教版九年級下21_圓的對稱性

1、第二章第二章 圓圓本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.12.1 圓的對稱性圓的對稱性說一說說一說 圖圖3-1是國際奧林匹克運(yùn)動會旗的是國際奧林匹克運(yùn)動會旗的標(biāo)志圖案標(biāo)志圖案.圖圖3-1說一說說一說 圖圖3-29是籃球運(yùn)動員是籃球運(yùn)動員A，P，Q在比賽在比賽中的位置中的位置. 運(yùn)動員運(yùn)動員A，P，Q與發(fā)球區(qū)圓心與發(fā)球區(qū)圓心O的距的距離跟發(fā)球區(qū)圓的半徑離跟發(fā)球區(qū)圓的半徑r有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？圖圖3-29如圖如圖3-30，圓，圓O的半徑為的半徑為r . .如果點(diǎn)如果點(diǎn)A在圓上，那么在圓上，那么OA=r；如果點(diǎn)如果點(diǎn)P在圓內(nèi)，那么在圓內(nèi)，那么OPr；( (園內(nèi)的點(diǎn)）園內(nèi)的點(diǎn)）如果點(diǎn)如果點(diǎn)Q在圓外，那么在圓外，那么

2、OQr.（圓（圓外的點(diǎn)）外的點(diǎn)）圖圖3-30 用一塊硬紙板和一張薄的白紙分別畫一個圓，用一塊硬紙板和一張薄的白紙分別畫一個圓，它們的半徑相等，把白紙放在硬紙板上面，使兩個它們的半徑相等，把白紙放在硬紙板上面，使兩個圓的圓心重合，觀察這兩個圓是否重合圓的圓心重合，觀察這兩個圓是否重合.說一說說一說這兩個圓這兩個圓 重合重合 . 現(xiàn)在用一根大頭針穿過這兩個圓的圓心現(xiàn)在用一根大頭針穿過這兩個圓的圓心. 讓硬紙板保持不動，讓白紙繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角讓硬紙板保持不動，讓白紙繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度度. 觀察旋轉(zhuǎn)后，白紙上的圓是否仍然與硬紙觀察旋轉(zhuǎn)后，白紙上的圓是否仍然與硬紙板上的圓重合板上的圓重合.這體現(xiàn)圓具有什

3、么樣的性質(zhì)？這體現(xiàn)圓具有什么樣的性質(zhì)？能夠重合的兩個圓叫做相等的圓，能夠重合的兩個圓叫做相等的圓，或等圓或等圓. 在白紙的圓上面畫任意一條直徑，把白在白紙的圓上面畫任意一條直徑，把白紙沿著這條直徑所在的直線折疊紙沿著這條直徑所在的直線折疊.說一說說一說這體現(xiàn)圓具有什么樣的對稱性？這體現(xiàn)圓具有什么樣的對稱性？ 觀察圓的兩部分是否互相重合觀察圓的兩部分是否互相重合. 你能講出圓具有這你能講出圓具有這種對稱性的道理嗎？種對稱性的道理嗎？例例1 已知：如圖已知：如圖3-3，在，在O中，直徑中，直徑CD與與 弦弦AB垂直，垂足為垂直，垂足為E. 求證：求證：AE=BE . 舉舉例例圖圖3-3證明證明 連

4、結(jié)連結(jié) OA，OB. 圖圖3-3由于由于 OA=OB，因此因此OAB是等腰三角形是等腰三角形. 又又OE是底邊是底邊AB上的高，上的高，因而因而OE也是底邊也是底邊AB上的中線上的中線. 從而從而AE=BE.結(jié)論結(jié)論定理定理1 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦. 現(xiàn)在你能說出道理嗎？現(xiàn)在你能說出道理嗎？ 為什么圓的任意一條直徑所在的為什么圓的任意一條直徑所在的直線是它的對稱軸？直線是它的對稱軸？ 如圖如圖3-4，EF是是O的任意一條直徑，的任意一條直徑，P是是O上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作作EF的垂線，與的垂線，與O交于點(diǎn)交于點(diǎn)Q，直線直線EF與線段與線段PQ的關(guān)系如何

5、？的關(guān)系如何？ 根據(jù)定理根據(jù)定理1，EF平分弦平分弦PQ，從而直線，從而直線EF是線段是線段PQ的垂直平分線的垂直平分線.圖圖3-4 于是點(diǎn)于是點(diǎn)P與點(diǎn)與點(diǎn)Q關(guān)于直線關(guān)于直線EF對稱，對稱，因此，圓因此，圓O關(guān)于直線關(guān)于直線EF對稱對稱.圖圖3-4結(jié)論結(jié)論 圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸直線都是它的對稱軸. 1. 自行車的車轱轆是圓形，為什么？自行車的車轱轆是圓形，為什么？練習(xí)練習(xí)答：答：車轱轆車轱轆( (圓周圓周) )上的任意一點(diǎn)到軸上的任意一點(diǎn)到軸 ( (圓心圓心) )的距離都相等的距離都相等( (半徑半徑) ). 2. 下述命題是否

6、正確？為什么？下述命題是否正確？為什么？（1）平分弦）平分弦( (不是直徑不是直徑) )的直徑垂直于這條弦；的直徑垂直于這條弦；（2）圓只有一條對稱軸；）圓只有一條對稱軸；答：正確答：正確. 因?yàn)槠椒址侵睆降南业闹睆剿诘囊驗(yàn)槠椒址侵睆降南业闹睆剿诘?直線是這條弦的對稱軸直線是這條弦的對稱軸.答：不正確答：不正確. 圓的任何一條直徑所在的直線都是圓的任何一條直徑所在的直線都是 圓的對稱軸圓的對稱軸.（3）圓的任意一條弦是圓的對稱軸；）圓的任意一條弦是圓的對稱軸；（4）圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形）圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.答：不正確答：不正確. 答：正確答：正確. 3. 已知

7、已知 O的半徑為的半徑為5 cm，弦，弦AB的長為的長為6 cm， 求圓心到求圓心到AB的距離的距離.答：在答：在 O中半徑中半徑r=5 cm，AB=6 cm， 作直徑垂直平分于作直徑垂直平分于AB，交，交AB于點(diǎn)于點(diǎn)M， 所以所以AM=MB=3 cm. 所以在所以在RtAMO中，中， AO=5cm，AM=3 cm， 所以所以O(shè)M=4 cm. 即圓心到即圓心到AB的距離為的距離為4 cm.ABOM 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧圓弧，簡稱，簡稱弧弧.弧用弧用符號符號“”表示，如圖表示，如圖3-5( (1) )，圓，圓O上兩點(diǎn)上兩點(diǎn)A，B間的間的小于半圓的部分叫做小于半圓的

8、部分叫做劣弧劣弧，記做，記做 ；A，B間的大間的大于半圓的部分叫做于半圓的部分叫做優(yōu)弧優(yōu)弧，記做，記做 ，其中，其中M是圓上是圓上一點(diǎn)一點(diǎn). 如圖如圖3-5( (1) )，AOB叫做叫做 所對的所對的圓心角圓心角， 叫做圓心角叫做圓心角AOB所對的弧所對的弧. 在生活中，我們常遇到圓心角，如飛靶在生活中，我們常遇到圓心角，如飛靶( (圖圖3-5( (2)中有圓心角，還有手表中的時針與分針?biāo)傻闹杏袌A心角，還有手表中的時針與分針?biāo)傻慕且彩菆A心角角也是圓心角. .ABAMBABAB動腦筋動腦筋 如圖如圖3-6，圓心角，圓心角AOB=COD. 它們所它們所對的弧對的弧 與與 相等嗎？它們所對的弦相

9、等嗎？它們所對的弦AB與與CD相等嗎？相等嗎？ ABCD圖圖3-6 由于圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，因此由于圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，因此可以繞圓心可以繞圓心O旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)C重重合合. 由于由于AOB=COD，因此，點(diǎn)，因此，點(diǎn)B與點(diǎn)與點(diǎn)D重合重合. 從而從而 ，AB=CD.=AB CD結(jié)論結(jié)論 在同一個圓中，如果圓心角相等，那么在同一個圓中，如果圓心角相等，那么它們所對的弧相等，所對的弦也相等它們所對的弧相等，所對的弦也相等. 在同一個圓中，如果弧相等，那么它們在同一個圓中，如果弧相等，那么它們所對的圓心角相等嗎？所對的弦相等嗎？你所對的圓心角相等嗎？所對的弦相等嗎？你能講出道理嗎？能講出道

10、理嗎？動腦筋動腦筋 在同一個圓中，如果弦相等，那么它們在同一個圓中，如果弦相等，那么它們所對的圓心角相等嗎？所對的弧相等嗎？你所對的圓心角相等嗎？所對的弧相等嗎？你能講出道理嗎？能講出道理嗎？ 垂直于弦的直徑平分這條弦所對的兩條垂直于弦的直徑平分這條弦所對的兩條弧嗎？弧嗎？ 如圖如圖3-7，直徑，直徑CD垂直于弦垂直于弦AB. 根據(jù)定理根據(jù)定理1可得，可得，直線直線CD是線段是線段AB的垂直平分線，從而點(diǎn)的垂直平分線，從而點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于直線直線CD對稱對稱. 由于圓由于圓O關(guān)于直線關(guān)于直線CD對稱，因此沿著直線對稱，因此沿著直線CD折疊，點(diǎn)折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，重合，從而從而 與與

11、 重合，重合， 與與 重合重合.ADBDACBC圖圖3-7結(jié)論結(jié)論垂直于弦的直徑平分這條弦所對的兩條弧垂直于弦的直徑平分這條弦所對的兩條弧.舉舉例例例例2 證明：圓的兩條平行弦所夾的弧相等證明：圓的兩條平行弦所夾的弧相等. 已知：如圖已知：如圖3-8，圓，圓O中，弦中，弦AB與弦與弦CD 平行平行. 求證：求證：=ACBD圖圖3-8證明證明 作直徑作直徑EF垂直于弦垂直于弦AB，圖圖3-8由于由于ABCD，因此因此EFCD.由于由于EFAB，由于由于EFCD，因此因此 ，=AEBE因此因此 . =CEDE從而從而=AE CEBE DE- - -即即 =.ACBDEF 1. 如圖如圖3-9，圓，圓O中，中，ABCD. 求證：求證：AOC=BOD.練習(xí)練習(xí)答答圖圖3-9 ABCD. = ACBD AOC=BOD.（由例題結(jié)論得（由例題結(jié)論得)2. 如圖如圖3-9，圓，圓O中，中，ABCD. 求證：求證：AC=BD.答：答： ABCD. （由例題結(jié)論得）（由例題結(jié)論得） AC=BD. = ACBD圖圖3-9中考中考 試題試題例例1A 過過 O內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)P的最長弦長為的最長弦長為10cm，最短弦長，最短弦