武漢理工大學(xué)大學(xué)物理課件第六講

1、第六講第六講定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能 對(duì)定軸的角動(dòng)量定理對(duì)定軸的角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 外力矩做功外力矩做功一一.力矩的功力矩的功定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能 0MdA討論討論：(1)恒力的功：恒力的功： MA (2)力矩的功率：力矩的功率：dtdAP MdtdM cosFvP 力的功率：力的功率：二二. 剛體的（轉(zhuǎn)動(dòng)）動(dòng)能剛體的（轉(zhuǎn)動(dòng)）動(dòng)能221 JEk三三. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理設(shè)：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變，且設(shè)：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變，且t0時(shí)刻的角速度為時(shí)刻的角速度為0， t時(shí)刻的角速度為時(shí)刻的角速度為 ， 剛體角速度從剛體角速度從0增加到增加到

2、的整個(gè)的整個(gè)過程，合外力矩對(duì)剛體所作的功過程，合外力矩對(duì)剛體所作的功:2022121 JJA物理含義：物理含義：合外力矩對(duì)剛體所作的功，在數(shù)值合外力矩對(duì)剛體所作的功，在數(shù)值上等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。上等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。21222121 mmrdFA對(duì)比對(duì)比:質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：四四. 剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能cpmghE )(是質(zhì)心距地面的高度是質(zhì)心距地面的高度ch四四. 機(jī)械能守恒定律在剛體系統(tǒng)中的應(yīng)用機(jī)械能守恒定律在剛體系統(tǒng)中的應(yīng)用 一個(gè)包括有剛體在內(nèi)的系統(tǒng)一個(gè)包括有剛體在內(nèi)的系統(tǒng),如果只有保守內(nèi)力如果只有保守內(nèi)力作功作功,則這個(gè)系統(tǒng)的機(jī)械能也同樣守恒。則這個(gè)系統(tǒng)的機(jī)械能

3、也同樣守恒。 剛體的機(jī)械能為剛體的機(jī)械能為 221 JmghEc 例例1 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)直棒可繞其一端且的均勻細(xì)直棒可繞其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸與棒垂直的水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，棒靜止轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，棒靜止在豎直位置，求棒轉(zhuǎn)到與水平面成在豎直位置，求棒轉(zhuǎn)到與水平面成 角時(shí)的角速度和角時(shí)的角速度和角加速度。角加速度。Chco2lmg231mlJ 由上得由上得)sin1(3lg 解解 棒在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，只有保守力棒在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，只有保守力(重力重力)作功，作功，故機(jī)械能守恒。取水平面為零勢(shì)面，于是有故機(jī)械能守恒。取水平面為零勢(shì)面，于是有零勢(shì)面零勢(shì)面2212

4、Jlmgsindtd討論討論： 本題也可先由本題也可先由M=J 求求出出 ，再用，再用 =d /dt積分求積分求出出 。 但用但用機(jī)械能守恒顯然簡(jiǎn)機(jī)械能守恒顯然簡(jiǎn)單一些。單一些。角加速度：角加速度：)sin1(3lg3cos2gl dtdddddChco JL 物理含義物理含義：在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的大?。涸诙ㄝS轉(zhuǎn)動(dòng)中，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的大小等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體角速度的乘積。等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體角速度的乘積。 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理1. 用角動(dòng)量表述的用角動(dòng)量表述的轉(zhuǎn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)定理 JM 由由dtdJ dtJd)( dtdLdtdLM 剛體對(duì)

5、定軸的角剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量大小動(dòng)量大小剛體對(duì)固定軸剛體對(duì)固定軸z的角動(dòng)量的角動(dòng)量角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理dtdLM 理解理解：(1) 物理含義物理含義：在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，物體所受對(duì)某定軸的：在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，物體所受對(duì)某定軸的外力矩，等于物體對(duì)該軸的角動(dòng)量的時(shí)間變化率。外力矩，等于物體對(duì)該軸的角動(dòng)量的時(shí)間變化率。(2)dtdLdtJdM)( JM （只適用于剛體）（只適用于剛體）（適用于剛體和非剛體）（適用于剛體和非剛體）2. 角動(dòng)量定理的角動(dòng)量定理的微分形式微分形式得得兩邊同乘以兩邊同乘以將將,)(dtdtdLdtJdM dtdpF JdtddtdJ dLJdMdt)( 理解理解：(1) 與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的

6、動(dòng)量定理與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的動(dòng)量定理 類類似，反映了外力矩的時(shí)間累積效應(yīng)。似，反映了外力矩的時(shí)間累積效應(yīng)。dpmvdFdt)(2) 與定義與定義Fdt為元沖量類似，定義為元沖量類似，定義Mdt為為元角沖量元角沖量（或（或元沖量矩元沖量矩）。）。3. 角動(dòng)量定理的角動(dòng)量定理的積分形式積分形式00000 JJJdMdtttJJ)(ttttMdt00沖量沖量時(shí)間內(nèi)作用于物體的角時(shí)間內(nèi)作用于物體的角稱為在稱為在其中其中物理含義物理含義：在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，物體（不限于剛體：在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，物體（不限于剛體 ）所受）所受的角沖量，等于物體在同一時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量。的角沖量，等于物體在同一時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量。0M物物體

7、體所所受受的的合合外外力力矩矩若若000 JJLL或或則則(1) 物理含義物理含義：在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，當(dāng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力：在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，當(dāng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零（注：不一定是外力為零）時(shí)，物體對(duì)該軸矩為零（注：不一定是外力為零）時(shí)，物體對(duì)該軸的角動(dòng)量保持守恒。的角動(dòng)量保持守恒。理解理解：(2 ) 角動(dòng)量守恒的充要條件：合力矩為零角動(dòng)量守恒的充要條件：合力矩為零（適用于質(zhì)點(diǎn)、離散質(zhì)點(diǎn)系、剛體）（適用于質(zhì)點(diǎn)、離散質(zhì)點(diǎn)系、剛體） (3) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律同樣適用于由若定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律同樣適用于由若干個(gè)物體組成的系統(tǒng)。干個(gè)物體組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒定律描系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒定律描述如下：述如

8、下：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律(5) 質(zhì)點(diǎn)：動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒質(zhì)點(diǎn)：動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒 角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒 ，只要整個(gè)系統(tǒng)受，只要整個(gè)系統(tǒng)受到的外力矩對(duì)該軸的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動(dòng)到的外力矩對(duì)該軸的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動(dòng)量保持守恒。量保持守恒。 若有幾個(gè)物體組成一個(gè)系統(tǒng)，各物體對(duì)同一若有幾個(gè)物體組成一個(gè)系統(tǒng)，各物體對(duì)同一軸的角動(dòng)量分別為軸的角動(dòng)量分別為.,2211 JJiiiJ恒量恒量 (4) 對(duì)比：對(duì)比：系統(tǒng)角動(dòng)量守恒條件：系統(tǒng)角動(dòng)量守恒條件：系統(tǒng)動(dòng)量守恒條件：系統(tǒng)動(dòng)量守恒條件：0外外M0外外F動(dòng)量守恒、動(dòng)量

9、守恒、剛體：剛體：vovoompTR圓圓錐錐擺擺子子彈彈擊擊入入桿桿ov以子彈和桿為系統(tǒng)以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒 .角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；動(dòng)量動(dòng)量不不守恒；守恒；以子彈和沙袋為系統(tǒng)以子彈和沙袋為系統(tǒng)動(dòng)量守恒；動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能機(jī)械能不不守恒守恒 .圓錐擺系統(tǒng)圓錐擺系統(tǒng)動(dòng)量動(dòng)量不不守恒；守恒；角動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒 .討討 論論子子彈彈擊擊入入沙沙袋袋細(xì)細(xì)繩繩質(zhì)質(zhì)量量不不計(jì)計(jì)四四. 角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用（1）選取系統(tǒng)；）選取系統(tǒng)；（2）分析外力矩，明確守恒條件；）分析外力矩，明確守恒條件；（3）確定初態(tài)和末態(tài)角動(dòng)量

10、，正確寫出角動(dòng)量）確定初態(tài)和末態(tài)角動(dòng)量，正確寫出角動(dòng)量守恒的表達(dá)式。守恒的表達(dá)式。附：附：質(zhì)點(diǎn)與剛體發(fā)生碰撞時(shí)，若碰撞的相互作質(zhì)點(diǎn)與剛體發(fā)生碰撞時(shí)，若碰撞的相互作用力矩遠(yuǎn)大于合外力矩，也可認(rèn)為該系統(tǒng)的角用力矩遠(yuǎn)大于合外力矩，也可認(rèn)為該系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。動(dòng)量守恒。 解解 (1)(1)桿桿+ +子彈：豎直位置，外力子彈：豎直位置，外力( (軸軸o o處的力處的力和重力和重力) )均不產(chǎn)生力矩，故碰撞過程中角動(dòng)量守恒：均不產(chǎn)生力矩，故碰撞過程中角動(dòng)量守恒： )32(313222lmMllmo解得解得)43(6mMlmo 例例1 1 長(zhǎng)為長(zhǎng)為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為M M的勻質(zhì)桿可繞通過桿一端的水的勻質(zhì)桿可

11、繞通過桿一端的水平光滑固定軸平光滑固定軸o o轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)桿豎直下垂，如圖所示。轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)桿豎直下垂，如圖所示。有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m m的子彈以水平速度的子彈以水平速度 o o射入桿上的射入桿上的A A點(diǎn)，點(diǎn)，并嵌在桿中，并嵌在桿中，oA=2oA=2l/3, /3, 求求: :(1)(1)子彈射入后瞬間桿的子彈射入后瞬間桿的角速度角速度; (2); (2)桿能轉(zhuǎn)過的最大角度桿能轉(zhuǎn)過的最大角度 。2l/3mvooA2l/3mvooA222)32(3121lmMl )322()32(31 2)32(1cos222lmglMglmMllmo由此得：由此得：(2)(2)桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中顯然機(jī)械能守恒

12、：桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中顯然機(jī)械能守恒：)cos1 (32)cos1 (2lmglMg)43(6mMlmo由前由前直升飛機(jī)為什么要安裝反向雙旋翼？直升飛機(jī)為什么要安裝反向雙旋翼？演示儀為什么在拉線的作用下會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)起來？演示儀為什么在拉線的作用下會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)起來？體操運(yùn)動(dòng)員的體操運(yùn)動(dòng)員的“晚旋晚旋”茹科夫斯基凳實(shí)驗(yàn)茹科夫斯基凳實(shí)驗(yàn)芭蕾花樣滑冰芭蕾花樣滑冰跳水跳水請(qǐng)看請(qǐng)看: 貓剛掉下的時(shí)候，由于體重的緣故，四腳朝貓剛掉下的時(shí)候，由于體重的緣故，四腳朝天，脊背朝地，這樣下來肯定會(huì)摔死。請(qǐng)你注意，天，脊背朝地，這樣下來肯定會(huì)摔死。請(qǐng)你注意，貓狠狠地甩了一下尾巴，結(jié)果，四腳轉(zhuǎn)向地面，當(dāng)貓狠狠地甩了一下尾巴，結(jié)果，四腳轉(zhuǎn)

13、向地面，當(dāng)它著地時(shí)，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊。那它著地時(shí)，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊。那么，甩尾巴而獲得四腳轉(zhuǎn)向的過程，就是角動(dòng)量守么，甩尾巴而獲得四腳轉(zhuǎn)向的過程，就是角動(dòng)量守恒過程。恒過程。為什么貓從高處落下時(shí)總能四腳著地？為什么貓從高處落下時(shí)總能四腳著地？沿直線平動(dòng)沿直線平動(dòng)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)沖量沖量動(dòng)量動(dòng)量動(dòng)量動(dòng)量定理定理動(dòng)量守動(dòng)量守恒定律恒定律角沖量角沖量角動(dòng)量角動(dòng)量（動(dòng)量矩）（動(dòng)量矩）角動(dòng)量角動(dòng)量定理定理Fdtmv J時(shí)，時(shí)，0FMdt00mvmvFdttt000 JJMdttt恒量恒量mv角動(dòng)量守角動(dòng)量守恒定律恒定律時(shí)，時(shí)，0M恒量恒量 J力的功力的功力矩的功力矩的功F

14、dxA MdA動(dòng)能動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能221mvEk221 JEk動(dòng)能動(dòng)能定理定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理能定理20221210mvmvFdxxx20221210 JJMd練習(xí)練習(xí)8 8、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律1 1、解：、解：質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)B ：設(shè)繩的張力為：設(shè)繩的張力為T2 ，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)A ：設(shè)繩的張力為：設(shè)繩的張力為T1 ，則由牛頓定律：則由牛頓定律：amT22 amTgm111 m1T1m1ga則水平方向上則水平方向上m2Nm2gT2加速度為加速度為a ，滑輪：設(shè)物體滑輪：設(shè)物體A 、B 對(duì)系統(tǒng)的反作用力分別為對(duì)系統(tǒng)的反作用力分別為 ，2T 1T 1T 2T 22TT 11TT 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律（設(shè)角

15、加速度由轉(zhuǎn)動(dòng)定律（設(shè)角加速度垂直紙面向下為正）垂直紙面向下為正）IRTT21 )(由于繩和滑輪無滑動(dòng)，則由于繩和滑輪無滑動(dòng)，則Ra 聯(lián)立上述方程，得：聯(lián)立上述方程，得：2211R/Immgma 由圓盤由圓盤 代入上式得：代入上式得： 23Rm21I 3211mmm2gm2a )(gmmm2mm2magmT32132111 )()()(gmmm2gmm2amT3212122 )( m mAB2rr2 2、解：分析受力如圖：、解：分析受力如圖：mgmgT1T2a2a11T 2T 設(shè)設(shè)A 的加速度為的加速度為a1方向向下；方向向下；B 的加速度為的加速度為a2方向向上；方向向上；滑塊的加速度為滑塊的

16、加速度為方向垂直方向垂直紙面向外。紙面向外。質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)A ：11maTmg 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)B ：22mamgT 兩個(gè)圓盤粘在一起，視作一兩個(gè)圓盤粘在一起，視作一個(gè)剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為個(gè)剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為221mr29III 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程：IrTr2T21 由牛頓第三定律：由牛頓第三定律：22TT 11TT 由角量與線量的關(guān)系：由角量與線量的關(guān)系：r2a1 ra2 解以上方程組得：解以上方程組得：r19g2mr5Imgr2 練習(xí)練習(xí)9 9、轉(zhuǎn)動(dòng)的功與能、轉(zhuǎn)動(dòng)的功與能 剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量彈簧原長(zhǎng)彈簧原長(zhǎng)m5.00.15.1l0 1 1、解：、解：棒轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量棒轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量m3.15.05.11l22 棒下擺過程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒棒下擺過程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒2lmglk21I2122 )(2ml31I 且：且：解得：解得：s/