連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性(4)課件

1、第八節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及初等函數(shù)的連續(xù)性一、四則運(yùn)算的連續(xù)性一、四則運(yùn)算的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)思考題四、小結(jié)思考題一、四則運(yùn)算的連續(xù)性一、四則運(yùn)算的連續(xù)性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)故故xxxx二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定

2、理定理2 2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)續(xù)反函數(shù). .例如例如,2,2sin上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上上單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)在在同同理理 xy.,cot,arctan上上單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 xarcyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)若若證證,)(連連

3、續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)auuf .)()(, 0, 0成成立立恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)于于 xx.)(成立成立恒有恒有 auax將上兩步合起來將上兩步合起來:,0, 0, 00時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xxx 意義意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;.)(. 2的的理理論論依依據(jù)據(jù)變變量量代代換換xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln

4、 解解).(lim)()(lim00 xfafxfxxxx例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx .)(,)(,)(,)(00000也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)而而函函數(shù)數(shù)且且連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況.例如例如,), 0()0,(1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 uy

5、.), 0()0,(1sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在定理定理5 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理定理6 6 一切初等函數(shù)在

6、其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連內(nèi)都是連續(xù)的續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間注意注意例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx

7、 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx注意注意2. 初等函數(shù)求極限的方法：初等函數(shù)求極限的方法：代入法代入法.稱形如稱形如y=f (x)g(x)的函數(shù)為冪指函數(shù)的函數(shù)為冪指函數(shù), 其中其中f (x)0. 根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式 y=elny, y 0, 有有f (x)gx = eg(x) lnf (x),即即, 當(dāng)當(dāng)f (x), g(x)均連續(xù)時(shí)均連續(xù)時(shí), f (x)g (x)也連續(xù)也連續(xù).則則)(0)(00)()(limxgxgxxxfxf)()(lim ),(

8、)(lim0000 xgxgxfxfxxxx若補(bǔ)充：補(bǔ)充：xxx)2(lim0120例例若 limf (x) = A 0. limg(x) = B, 存在.)()(limxgxf則)(ln)(limxfxgeABelnBAxxxx102sinlim例例.= 21 = 21)1 (lim, 22sinlim00 xxxxx四、小結(jié)思考題四、小結(jié)思考題連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法求極限的又一種方法.兩個(gè)定理兩個(gè)定理; 兩點(diǎn)意義兩點(diǎn)意義.反函數(shù)

9、的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性.思考題思考題 設(shè)設(shè)xxfsgn)( ，21)(xxg ，試試研研究究復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xgf與與)(xfg的的連連續(xù)續(xù)性性.思考題解答思考題解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上處處處處連連續(xù)續(xù))(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上處處處處連連續(xù)續(xù))(xfg0 x是它的可去間斷點(diǎn)是它的可去間斷點(diǎn) 0, 10, 00, 1)(xxxxf一一、 填填空空題題：1 1、 43lim20 xxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 xxx11lim0_ _ _ _ _ _

10、 _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 xxx24tancos22lim _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .5 5、 tett1lim2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、設(shè)設(shè),0,0,)( xxaxexfx 當(dāng)當(dāng) a_ _ _ _ _ _時(shí)時(shí)，)(xf在在 ),( 上上連連續(xù)續(xù) . .練練 習(xí)習(xí) 題題7 7、 函數(shù)函數(shù)61)(24 xxxxxf的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為 _. _.8 8、 設(shè)設(shè) 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1,11,2cos)(xxxxxf確定確定 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 計(jì)算下列各極限：計(jì)算下列各極限：1 1、axaxax sinsinlim； 2 2、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)1232(lim xxxx；三、三、 設(shè)設(shè) 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知已知)(xf在在 0 x處連續(xù)，試確處連續(xù)，試確 定定a和和b的值的值. .四、四、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在0 x處連續(xù)，且處連續(xù)，且0)0( f, ,已知已知)()(xfxg ，試證函數(shù)，試證函數(shù))(xg在在0 x處也