湖南大學微積分30-第30講一元微積分應用課件

1、高等院校非數學類本科數學課程腳本編寫：劉楚中第六章 一元微積分的應用本章學習要求：熟練掌握求函數的極值、最大最小值、判斷函數的單調性、判斷函數的凸凹性以及求函數拐點的方法。能運用函數的單調性、凸凹性證明不等式。掌握建立與導數和微分有關的數學模型的方法。能熟練求解相關變化率和最大、最小值的應用問題。知道平面曲線的弧微分、曲率和曲率半徑的概念，并能計算平面曲線的弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。掌握建立與定積分有關的數學模型的方法。熟練掌握“微分元素法”，能熟練運用定積分表達和計算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、旋轉曲面的側面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平面曲線的弧長、變力作功、液體

2、的壓力等。能利用定積分定義式計算一些極限。一、冪級數的解析運算三、函數展開為冪級數四、函數展開為冪級數應用舉例第六章 一元微積分的應用第四節(jié) 函數展開為冪級數二、泰勒級數1冪級數在其收斂區(qū)間內具有內閉一致收斂性.該性質的證明與阿貝爾定理的證明類似.將函數項級數與構造的一個常數項級數進行比較即可.該定理歸功于數學家魏爾斯特拉斯.魏爾斯特拉斯Weierstrass, K. W 1815 1897 數學家魏爾斯特拉斯1815年10月31日出生于德國的奧斯登費爾特；1897年2月19日卒于柏林。 魏爾斯特拉斯的父親威廉是一名受過高等教育的政府官員，頗具才智，但對子女相當專橫。魏爾斯特拉斯11歲喪母，翌

3、年其父再婚。他有一個弟弟和兩個終身未嫁的妹妹，她們一直在生活上照顧終身未娶的魏爾斯特拉斯。1834年其父將他送往波恩大學攻讀財務與管理，使其學到充分的法律、經濟和管理知識，為謀取政府高級職位創(chuàng)造條件。 魏爾斯特拉斯不喜歡父親所選專業(yè)，并令人驚訝地放棄了即將獲得的法學博士學位，離開了波恩大學。在其父親的一位朋友的建議下，再一次被送到一所神學院學習。后來參加并通過了中學教師資格國家考試，在一所任教。在此期間他撰寫了 4 篇直到他的全集刊印時才問世的數學論文。這些論文實際上已顯示了他建立函數論的基本思想和基本結構。1853年夏他在父親家中度假時,研究阿貝爾和雅可比留下的難題，精心撰寫“阿貝爾函數”的

4、論文，并于1854年發(fā)表于克雷爾雜志上。這篇出自一個名不見經傳的中學體育教師的杰作，引起了數學界的矚目。 1855年秋，魏爾斯特拉斯被提升為高級教師，并享受一年的研究假期。1856 年6 月14日柏林皇家綜合科學校任命他為數學教授，他欣然地接受了聘書。同年的11月19日他當選為柏林科學院院士。1864年成為柏林大學教授，在此期間魏爾斯特拉斯著手系統(tǒng)地建立數學分析基礎，進一步研究橢圓函數論與阿貝爾函數論。這些工作主要是通過他在該校講授大量的課程完成的。短短幾年他就聞名遐爾,成為德國以至全歐洲知名度最高的教授。1873年他出任柏林大學校長，從此他成為一個大忙人。繁雜的公務幾乎占去了他的全部時間，緊

5、張的工作影響了他的健康，使他疲憊不堪，但他的智力未見衰退，研究工作仍繼續(xù)進行。 1897年初，魏爾斯特拉斯染上流行性感冒，引發(fā)肺炎,醫(yī)治無效，于1897年2月19日與世長辭，享年 82 歲。 除柏林科學院外，魏爾斯特拉斯還是格丁根皇家科學學會會員（1856年）、巴黎科學院院士（1868年）、英國皇家學會會員（1881年）。在某種意義上魏爾斯特拉斯被人們視為德意志的民族英雄。 魏爾斯特拉斯是數學分析算術化的完成者、解析函數論的奠基人，是無與倫比的大學數學教師。2冪級數的和函數在其收斂區(qū)間內是連續(xù)的) ,()(0RRCxfxannn在收斂區(qū)間端點處是指和函數的左、右連續(xù)性. , ) 1 , 1(

6、0其和為：內收斂在 nnx)1 , 1( 11)(Cxxf3冪級數在其收斂區(qū)間內具有逐項可積性 dd)(00 0 0 nxnnxnnnttatta在冪級數的收斂區(qū)間內, 其和函數連續(xù), 故冪級數的和函數在收斂區(qū)間內可積, 當然,冪級數也在其收斂區(qū)間內可積.逐項積分得到的新冪級數與原冪級數具有相同的收斂半徑, 但端點處的斂散性可能改變. . )1 | ( , 11xxnnn求 , nan由于, 11lim|lim1nnaannnn . ) 1 , 1( 11內可逐項積分在故nnxn d d) (0 10 111xnxnnnxxnxxn . 11xxxnn首項為 x , 公比為 x .例1解 d)

7、 (dd 0 1111 xnnnnxxnxxn從而xxx 1dd . ) 1 | ( , )1 (12xx . 1 R即111 212212 xnnnnnxnn1211 212212 xnnnnnxnn12211 212212 xnnnnnxnn 符合積分要求了分析 . 212 1之值求nnn例2 . )2 , 2( 212122的收斂區(qū)間為nnnxn , )2 , 2( 中在 10 220 122d 212 d) 212(nxnnxnnnxxnxxn1122nnnx122 1nnxx22xx 等比級數 . 212 1之值求nnn例2解21222 dd 212 xxxxnnnn故222)2(2

8、xx , 1 得取x . 3 )2(221212221xnnxxn4冪級數在其收斂區(qū)間內具有逐項可導性 . )(dddd00nnnnnnxaxxax逐項求導得到的新冪級數與原冪級數具有相同的收斂半徑, 但要注意：由于常數的導數為零, 故有些冪級數在求導后要改變下標的起始值 .112022)(dd nnnnxnxx例如 , ) 1 |(| 5312 53112之和求xxxxnxnn. ) 12(21 1的值并由此求nnn ,12)( ,12則由令這是缺項的冪級數nxxunn , 1212lim| )(| )(|lim 221xxnnxuxunnnn . , 1 | ,原級數絕對收斂時得x例3解由

9、冪級數在其收斂區(qū)間內的逐項可導性, 得1121121212nnnnnxnx022nnx , 111242xxxxnnxxnx0 2112d1112 故xxxxd1111 210 . ) 1 | ( , 11ln 21xxx ) 12(21 1？的值如何求nnn ) 1 |(| 11ln 2112 112xxxnxnn已知11 12 21 ) 12(21 nnnnnn 12 )2(112nnn112 12 21 21nnn . 1)2ln( 21 21 x取 請自己完成例4分析在收斂區(qū)間內對冪級數逐項求導、逐項積分后, 得到一個新的冪級數, 且它與原冪級數具有相同的收斂半徑 . 如有必要,可對它

10、連續(xù)進行逐項求導和逐項積分.就是說, 在收斂區(qū)間內冪級數的和函數具有任意階的導數及任意次的可積性. 冪級數的性質多好啊 ！ 如何將函數表示為冪級數?怎么做？怎么做？ ,將函數表示為我們在前面已經遇到過實際上 泰勒公式：多項式的情形200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf . )o()(! )(000)(nnnxxxxnxf 馬克勞林公式： . )o( ! )0( ! 2)0( )0()0()()(2nnnxxnfxfxffxf 嗎？還記得公式的推導過程 將函數展開為冪級數得的問題是否就是將函數展開為泰勒級數的問題?一個冪級數在其收斂區(qū)間內代表一個函數, 即它的和函數:)

11、,( )(0RRxxSxannn任意一個函數能否在某一個區(qū)間內表示為某一個冪級數的形式呢 ? 即是否有 ? ) )( ( )()(00 xfxxaxfnnn ? 如何確定系數na? )( 的關系如何與xfan工程需要泰勒公式問題回憶泰勒中值定理的構建過程 , )U( 0內具有足夠階的導數時當函數在x)o()(! )()(0000)(nnkkkxxxxkxfxf)o()(! )()(101000)(nnkkkxxxxkxfxf按照上面的方法不斷地做下去, 是否有下面的結論:000)()( )()(nnnxxnxfxf！ 200000)(! 2)()()(xxxfxxxfxf! )(0)(nxfn

12、 等號成立嗎？ 該級數收斂嗎？ 即算級數收斂, 其和函數等于 f (x) 嗎？ )( )U( )( 000即的和函數，內為冪級數在若nnnxxaxxf)U( ,)()( 000 xxxxaxfnnn . ), 2, 1, 0( ! )( 0)(nnxfann則定理證證由定理的條件可知, , )U( 0內冪級數收斂在x, )U( 0內可對其進行逐項求導故在x且其和函數. )U( )(0內具有任意階導數在xxf于是有nnxxaxxaxxaaxf)()()()(020201010203021)()(3)(2)(nnxxnaxxaxxaaxf 204032)(34)(232)(xxaxxaaxf20)

13、() 1(nnxxann)( 23) 1() 1(! )(01)(xxannnanxfnnn則有代入上述各式以 , 0 xx , )(00 xfa , )(01xfa, ! )(0)(nxfann由數學歸納法, 得), 2 , 1 , 0( )(0)(nnxfann！該定理說明, 內為某個在如果 )U( )( 0 xxf000)()(! )(nnnxxnxf冪級數的和函數, 則該冪級數一定是下列形式: )( 0則稱有任意階導數，在點設xxf000)()(! )(nnnxxnxf . )( 0處的泰勒級數在點為xxf 定理和定義給我們提供了什么信息 ?定理和定義告訴我們：0 )( xxf在點如果

14、處有任意階導數, 則它就有一個相應的泰勒級數存在. 但此泰勒級數不一定收斂, 即算收斂, 其和函數也不一定等于. )(xf就是說,函數與它的泰勒級數間劃等號是條件的.)U( )( 0 xxf在如果內可表示為冪級數的形式, 則該冪級數一定是函數 f ( x ) 的泰勒級數.問問 題題 ,在什么條件下 ? )U( )(0數呢內可以展開為一個冪級在xxf )( , )(呢？且和函數等于的泰勒級數收斂xfxf ,在什么條件下回憶泰勒中值定理的構建過程 , ) 1( )U( )( 0則階的導數內有直到在設nxxf , )()(! )()(000)(xRxxkxfxfnnkkk . )(! ) 1()()

15、( 10)1(為拉格朗日余項其中nnnxxnfxR由級數的部分和及收斂性質看出一點什么沒有 ?定理 , )U( )( 0內具有任意階導數在設xxf內處的泰勒級數在在點則 )U( )( 00 xxxf的充要條件是收斂于 )( xf0)(limxRnn )( )( ,0處泰勒公式的拉在為其中xxfxRn. 格朗日余項證 )(! )( 000)(的部分和為級數nnnxxnxf )(! )()(000)(knkknxxkxfxS )( 的泰勒公式為函數xf )()(! )()(000)(xRxxnxfxfnknkk)()()( xSxfxRnn故 余下的工作由學生自己完成.10)1()(! ) 1()

16、()(nnnxxnfxR) , 2 , 1 , 0( | )(| )(nMxfn若推 論, 0 ), 2, 1, (0, | )(| )U( )(0為常數內若在MMxfxn )U( )( 0內可展開為泰勒級數在則xxf. )U( ,)(! )()(0000)(xxxxnxfxfnnn證（提示） )(! ) 1()( | )(| 010)1(nnnxxnfxR)( 0! ) 1(1nnMn . ) (為鄰域半徑 . )( 0! lim ,Ranann此外自己做!0)( ! )0(nnnxnf 2! 2)0()0()0(xfxffnnxnf ! )0()( , 0 0級數即得到常用的馬克勞林在泰勒

17、級數中取x , )( 0處具有任意階導數在點只要函數xxf就可寫出它的泰勒級數. 但它的泰勒級數不一定收斂,. )(xf只有當拉格朗日余項 0)()(nxRn時, 泰勒級數才收斂于 . )(xf一個函數如果能夠展開為冪級數形式, 則該冪級數一定是它的泰勒級數, 且這種展開是唯一的. )(也不一定等于xS即使收斂,其和函數函數展開為冪級數直接展開法間接展開法該方法是先求出函數 , )( )()(xfxfn的導數寫出它的泰勒級數,然后, 判斷泰勒公式中的拉格朗日余項是否滿足, 0)(limxRnn確定級數的收斂區(qū)間. )( 為馬克勞林級數展開xexf) , 2 , 1 , 0( 1)0(0)(ne

18、fxxn 的馬克勞林級數為xe0! nnnx! 1nxxn 011lim|lim 1naannnn由于 . ,R該級數的收斂半徑為所以例4解解 ! ) 1(| |! ) 1()( | | )(| 0 1| | 1)1(nxexnfxRnxnnn而 ) 0 (之間與在x , )( 0! lim Ranann因為 ) ) ,( 0! ) 1(|lim 1| xnxenxn所以 , 0)(lim 故所求馬克勞林級數為即xRnn . ) ,( , ! 0 xnxennx . sin)( 展開為馬克勞林級數將xxf , )2sin()( )(nxxfn因為)( 12 ,) 1( 2 , 0 )0( ,)(Zkknknfkn所以 sin 的馬克勞林級數為故x1121 ) 12() 1(nnnnx！! 5! 353xxx例5解解 , ! ) 12() 1()( 121nxxunnn記