巧構(gòu)橢圓模型妙解題

1、巧構(gòu)橢圓妙解題江蘇泰興市第二高級(jí)中學(xué) 葉玉明數(shù)學(xué)模型是采用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)量關(guān)系，近似地表達(dá)出一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它是解決數(shù)學(xué)問 題的一種重要途徑，其中構(gòu)造橢圓模型解題就是比較典型的一類解題方法。一、巧借橢圓模型求三角函數(shù)值例1. 已知在 MBC中，存在條件|AC|+|BC =10, AB| =8,試求tan Ata n號(hào)的值。 解：由圓錐曲線的定義可知：C的軌跡為橢圓。距為2c，則由正弦定理知如上圖所示：設(shè)橢圓的長軸為2a，焦BC| _|AC| _|AB|sin A sin B sin A B2a2csin A si n B sin (A B)（合比定理，橢圓定義）即亠必B-sin A +sin B

2、2sin2sincos2化簡得tanB2二、巧借橢圓模型求值域例2.求函數(shù)y二.2x 4 .,6 -x的值域。解：設(shè) u = 2x 4, v = 6X 則u22v2 =16 0 u 乞4,0 遼v 乞2、2AVy 二u v所給函數(shù)可化為以 y為參數(shù)的直線方程 v = -u y，它與橢圓u2 2v2 =16在第一象限的 部分（包括端點(diǎn)）有公共點(diǎn)如上圖， ymin =2.2 ；當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)， y取最大值，由v = u + y叫22 n 3u2 4yu + 2y2 16=0 由也=0 得 y=±2j6 ，由 題意知u2 2v2 =16ymax = 2，6所以函數(shù)的值域?yàn)?2“2,6三

3、、巧借橢圓模型解證不等式或恒等式例 3.設(shè) a b 0,求證、a2 cos： -cos，j 亠 b2 sin： - si n ： ? _ 2a分析：若考慮用分析法證此不等式，則顯得較繁，不易證出。但采用橢圓模型則簡潔明了。2 2證 明： 構(gòu) 造 橢 圓= 1 a b 0 可 設(shè) 兩 點(diǎn)a bA acos，bsin> ,B acos：,bsin ：，則所證不等式的左端為橢圓上A,B兩點(diǎn)間的距離，顯然 AB <2a恒成立。例4.已知4 R4八cos A si nA,12 r 2 f1cos B sin B4 r4 f亠、十 cos B丄sin B 求證：22-cos A sin A=1

4、分析：由題中條件等式的特征可聯(lián)想到構(gòu)造一個(gè)橢圓方程。證明：設(shè)橢圓C:2X2cos B2 2 Dsin B二1由題設(shè)知點(diǎn)M cos2 A,sin2 A在橢圓C上，又點(diǎn)r22N cos B,sin B也滿足橢圓C,可知點(diǎn)N也在橢圓C上。過點(diǎn)N與橢圓C相切的直線方程為2 fxcos B2fcos B 2ysin Bsin B又點(diǎn)M也滿足x y =1，所以點(diǎn)M也在切線上，故點(diǎn) M 與點(diǎn) N 重合。即cos2 A = cos2 B,sin2A=sin2B所以4 r父"4"4cos BsinBcosAsi nA? . 2 A,2222 cos A sin A = 1cos AsinAcosAsin A四、巧借橢圓模型求解應(yīng)用題例5.已知大西北某荒漠上 A,B兩點(diǎn)相距2km,現(xiàn)準(zhǔn)備在荒漠上開墾出一片以 A,B為一條對(duì)角線的平行四邊形區(qū)域建成農(nóng)藝園，圍墻總長為8km,問農(nóng)藝園的最大面積能達(dá)到多少？AyCD解：因?yàn)槠叫兴倪呅?ADBC中，AB =2km, AC BC =4km，所以由定義可知?jiǎng)狱c(diǎn) C的 軌跡為橢圓。如上圖建立平面直角坐標(biāo)系，則橢圓的長軸長為2a=4,a=2，焦距為2c =2,c =1，所以短半軸長