衛(wèi)星定位理論與方法-第3次課

1、1第第 3 3次課衛(wèi)星的運動次課衛(wèi)星的運動測量與導(dǎo)航工程系導(dǎo)航與定位教研室陳明劍2本次課主要內(nèi)容本次課主要內(nèi)容l重點：重點：二體問題微分方程及其解二體問題微分方程及其解 l難點：難點：二體問題微分方程推導(dǎo)二體問題微分方程推導(dǎo)3基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識lKepler第一定律橢圓率第一定律橢圓率 每個行星沿橢圓軌道繞太陽運行，太陽位于每個行星沿橢圓軌道繞太陽運行，太陽位于橢圓的一個焦點上。橢圓的一個焦點上。lKepler第二定律面積率第二定律面積率 由太陽到行星的矢徑在相等的時間間隔內(nèi)掃由太陽到行星的矢徑在相等的時間間隔內(nèi)掃過相等的面積過相等的面積lKepler第三定律周期律第三定律周期律 行星繞太陽公轉(zhuǎn)

2、的周期行星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期T的平方與橢圓軌道的平方與橢圓軌道的長半徑的長半徑a的立方成正比的立方成正比4l牛頓第一運動定律牛頓第一運動定律 任一物體將保持其靜止或是勻速直線運動的狀態(tài)，除非有作用在物體上的力迫使其改變這種狀態(tài)。l牛頓第二運動定律牛頓第二運動定律 動量變化速率與作用力成正比，且與作用力的方向相同l牛頓第三運動定律牛頓第三運動定律 對每一個作用，總存在一個大小相等的反作用()dFmvmvmrdt5RjjjtCZZYYXX222)()()(67一、研究二體問題的目的意義(The Purpose of Studying Two-Body Problem)83ingnnininiinGm

3、mFrrrrr 31njgijijjij imFGmrr gFFF總其他()dFmvmvmrdtiiiiFmrrmm總31njijijjijimrGrr 2112rrr2112212133332121()()njjjjjjrrG mmrrGmrrr 9二體問題二體問題 在天文學(xué)中，根據(jù)牛頓萬有引力定在天文學(xué)中，根據(jù)牛頓萬有引力定律研究空間兩個天體（看成質(zhì)點）在相律研究空間兩個天體（看成質(zhì)點）在相互引力作用下的運動規(guī)律問題?；ヒψ饔孟碌倪\動規(guī)律問題。 10如何確定衛(wèi)星位置（如何定軌）(How to Get the Satellite Position)l分析衛(wèi)星的受力情況分析衛(wèi)星的受力情況l根

4、據(jù)受力情況，列出運動的微分方程根據(jù)受力情況，列出運動的微分方程 mFXmFa 11l解方程解方程數(shù)值法：利用計算機，對微分方程進行數(shù)值積分，直接解出某一時刻衛(wèi)星的位置和速度。l優(yōu)點：便于實現(xiàn)，精度高，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于精密定軌；l缺點：不能給出解析解，不便于分析衛(wèi)星的運動規(guī)律。解析法：以衛(wèi)星的受力解析為基礎(chǔ)，依據(jù)牛頓第二定律（或物體的微分運動方程），推導(dǎo)出與衛(wèi)星運動相關(guān)的參數(shù)，這是在計算機出現(xiàn)之前唯一的方法。l優(yōu)點：便于分析衛(wèi)星的運動規(guī)律；l缺點：分工推導(dǎo)繁瑣，難以得到完整嚴(yán)密的運動方程的解，精度不高。121、衛(wèi)星的受力情況、衛(wèi)星的受力情況 地球的引力地球的引力 日月引力日月引力 潮汐力潮汐力 大

5、氣阻力大氣阻力 光壓力光壓力 13地球的引力分為兩部分地球的引力分為兩部分 均質(zhì)球體引力均質(zhì)球體引力非均勻球形部分引力非均勻球形部分引力14l衛(wèi)星圍繞著地球運行，作二體問題研究，必須滿足以衛(wèi)星圍繞著地球運行，作二體問題研究，必須滿足以下條件：下條件：必須在慣性系下考慮問題。衛(wèi)星作為質(zhì)點。衛(wèi)星的體積小，與其到地球的距離相比，可忽略不計，即衛(wèi)星可作為質(zhì)點計。地球作為質(zhì)點。地球可分成均質(zhì)地球和非均質(zhì)地球兩部分。均質(zhì)地球?qū)ν獠奎c的引力等于球心的質(zhì)點的引力。因此，如果把非均質(zhì)地球的引力作為攝動力的話，均質(zhì)地球可作為一個質(zhì)點。152、目的意義、目的意義均質(zhì)球體均質(zhì)球體引力決定著衛(wèi)星運動的主要規(guī)律和特征，引

6、力決定著衛(wèi)星運動的主要規(guī)律和特征，它是衛(wèi)星運動的近似描述；它是衛(wèi)星運動的近似描述； 二體問題是惟一能得到嚴(yán)密解的問題，而多體問二體問題是惟一能得到嚴(yán)密解的問題，而多體問題還不能得到嚴(yán)密解；題還不能得到嚴(yán)密解； 二體問題是精確研究衛(wèi)星運動的基礎(chǔ)。二體問題是精確研究衛(wèi)星運動的基礎(chǔ)。 163rrr 000333rZZrYYrXX 二、微分方程的解（面積積分）二、微分方程的解（面積積分）173rrr 3rrrrr 0rr0rr 0)(22rrrrdtrdrrdtrddtrrd 18CBAhZYXZYXkjirrCYXYXBXZXZAZYZYAX+BY+CZ=0 19hehhhChBhAeh/CBAhZ

7、YXZYXkjirr20he3arccos()hiXearctan()AB 21 iiiiRRhChBhAcoscossinsinsin100)()(/13h為單位時間矢徑所掃過面積的2倍22Odrdrr rer2324二、二、 微分方程的解微分方程的解 l面積積分面積積分),(ih的物理意義更明顯 ),(ih 三個積分常量確定了衛(wèi)星運行軌道是在三個積分常量確定了衛(wèi)星運行軌道是在一個平面上一個平面上 ？這個軌道的形狀是什么，又這個軌道的形狀是什么，又有什么特性。有什么特性。252. 軌道積分（軌道橢圓參數(shù)）軌道積分（軌道橢圓參數(shù)）OYX軌道VrVnVrnrVVV26OYX軌道VrVnVrrdt

8、drVVVrdtdrVVVnnrrsincos27)()(3rrVrrh rVrr)(3 )(3Vrrr )()(3rrVVrrr cos23rVrVrr 23rrrrrr2rrrrr)(rrdtd高數(shù)矢量知識：高數(shù)矢量知識：cabba)(acbbcacba)()()(28)(rrdtd)()(Vhdtdrhdtdrh rh )()(rrdtdVhdtd0)(rrVhdtdh為常量290rrVh0)()(rrrrVhr0)cos()(2rrrrVh0cos)(frrhh)()()(acbbaccba302)cos(hfrfePfhrcos1)cos1 (2ehP;20cos)(frrhh31A

9、N：升交點PS123:3:1f:2橢園長軸線當(dāng)of0ePrr1min，此時r對應(yīng)的點稱作近地點0f。為升交點至近地點之間的夾角，稱作近升角距。32l通過面積積分和軌道積分，共獲取了通過面積積分和軌道積分，共獲取了5個描述個描述軌道狀態(tài)的參數(shù)軌道狀態(tài)的參數(shù) , i確定了軌道平面在地心坐標(biāo)系中的位置 ea,確定了軌道的形狀 確定了軌道中短半軸在坐標(biāo)系中的指向 333.衛(wèi)星的平均角速度衛(wèi)星的平均角速度 l衛(wèi)星在各個位置上的速度是不同的。在近地點衛(wèi)星在各個位置上的速度是不同的。在近地點速度最大，在遠地點速度最小。速度最大，在遠地點速度最小。 hdtdAdtdAh212habT22222112enaTe

10、ahTn2n342222112enaTeah)1 (22eahP32an給定的橢圓的長半軸,平均角速度是常量，不隨時間變化 354 .幾種近地點角的關(guān)系幾種近地點角的關(guān)系輔助圓軌道QPANOSSXY36)cos1 (sin1sinsin)(coscos222EeayxrEeaEbfryeEafrx輔助圓軌道QPANOSSXYEeEefEeeEfcos1sin1sincos1coscos2372)1 ()1 ()cos1)(1 ()cos1)(1 (coscos1coscos1cos1cos1222EtgeeEeEeeEEeeEEeffftg2)1 ()1 (2Etgeeftg385.開普勒積分

11、開普勒積分hfrhrf22dfhrdt2EeeEreEafeEafrcos1cos)(coscos)(coscos39EeeEreEafeEafrcos1cos)(coscos)(coscosdEEeedfeEeearfEEeafrEeEdEefdfEeEdEeeEEeEdEfdfcos111cos11sinsinsin1sin)cos1 (sin)1 (sin)cos1 (sin)(cos)cos1 (sinsin2222222求導(dǎo)40dEnEedtdEEeeenaEeaaneahEeardfhrdt)cos1 (cos111)cos1 (), )1 (),cos1 ( ,222223222

12、dEEeedfcos11241tEndtdEEe0)cos1 (MtnEeE)(sin它給出了偏近地點E和時間t之間的關(guān)系，而偏近地點E和衛(wèi)星的徑向距離r又有關(guān)系 。開普勒方程也間接地給出了r和t之間的關(guān)系)cos1 (EearM以平均角速度以平均角速度n隨時間隨時間t作線性作線性變化，故稱之變化，故稱之為平近地角為平近地角 426.開普勒方程的解開普勒方程的解EeMEsin迭代法迭代法微分改正法微分改正法43迭代法迭代法iiEeMEEeMEMEsinsin1010iiEE1E和M都以弧度為單位 44微分改正法微分改正法當(dāng)偏心率e較大時，迭代法的收斂速度就會很慢，此時可 考慮采用微分改正法，對

13、開普勒方程取微分，可得：MEEe)sin1 (EeMEsin145四、能量積分和活力積分四、能量積分和活力積分1.速度關(guān)系速度關(guān)系rrrrr 3)2()(21)(2122vdtdvdtdrrdtdrr dtdrrrdtdrrdtdrr)(21)(21246)()2(232rdtdrrdtdrrrvdtdrr Krv22積分222)(rrv)2()(21)(2122vdtdvdtdrrdtdrr dtdrrrdtdrrdtdrr)(21)(212470)1 (0ear0)cos(1 )sin()1 (22200rheeeadtdddrrrr 取衛(wèi)星過近地點的位置，則有： )1 ()1 ()1 (

14、)1 ()(222202200eaeeaearhr48akeaev2)1()1(20)12(2arvKrv2249五、軌道根數(shù)的物理意義ZYXOSriNf近地點i，ae0M軌道平面傾角 升角點赤經(jīng) 軌道橢圓長半軸 軌道橢圓偏心率 近升距，即升交點至近地點的角距 衛(wèi)星過近地點時刻 衛(wèi)星過近地點的角度 50對于近圓軌道： Meeia,sin,cos,51近點角與時間的關(guān)系近點角與時間的關(guān)系 )(tnMndtdM EeEMsin )cos1 (Eear dEardM )cos1 (cos1)1 (2EeafeeadfeardE21fefeEfeefEEeEefEeeEfEearEeafryeEafr

15、xcos1sin1sincos1coscoscos1sin1sincos1coscos)cos1 (sin1sin)(coscos22252衛(wèi)星運動的基本關(guān)系式衛(wèi)星運動的基本關(guān)系式 feearcos1)1 (2)12(2arv軌道方程 速度公式 )(sin2112sin1sin)(coscos)cos1 (322tnEeEanEtgeeftgEeafreEafrEear幾何關(guān)系 53l思考題：思考題：l根據(jù)上課內(nèi)容推導(dǎo)出六個軌道參數(shù)。根據(jù)上課內(nèi)容推導(dǎo)出六個軌道參數(shù)。l推導(dǎo)活力公式。推導(dǎo)活力公式。1.3. 推導(dǎo)真近點角和偏近點角關(guān)系推導(dǎo)真近點角和偏近點角關(guān)系54第二節(jié)第二節(jié) 二體問題的衛(wèi)星星歷計

16、算二體問題的衛(wèi)星星歷計算二體問題的星歷計算：二體問題的星歷計算：已知衛(wèi)星的軌道根數(shù)，按二體問題公式計已知衛(wèi)星的軌道根數(shù)，按二體問題公式計算任意時刻衛(wèi)星的位置。算任意時刻衛(wèi)星的位置。 55一、衛(wèi)星的瞬時位置一、衛(wèi)星的瞬時位置 l在軌道直角坐標(biāo)系中衛(wèi)星的位置在軌道直角坐標(biāo)系中衛(wèi)星的位置OSXYrsf0sin)1 (cos0sincos2EeeEaffrzyxEeMEsin56l天球坐標(biāo)系中的位置天球坐標(biāo)系中的位置313)()()(zyxRiRRzyx0sin)1 ()(cos)()()(2EeaeEaRiRRrZXZ57l衛(wèi)星在地球坐標(biāo)系中的位置衛(wèi)星在地球坐標(biāo)系中的位置 在精密定軌中，所求定的瞬時

17、軌道根數(shù)目前在精密定軌中，所求定的瞬時軌道根數(shù)目前均采用均采用J2000.0 慣性坐標(biāo)系慣性坐標(biāo)系 。 衛(wèi)星位置向量需先考慮歲差章動的影響先轉(zhuǎn)衛(wèi)星位置向量需先考慮歲差章動的影響先轉(zhuǎn)換到瞬時真天球坐標(biāo)系中換到瞬時真天球坐標(biāo)系中 58l但在實際應(yīng)用中，由但在實際應(yīng)用中，由GPS導(dǎo)航電文中一組軌道導(dǎo)航電文中一組軌道根數(shù)，按上面公式求得的結(jié)果已相應(yīng)于瞬時天根數(shù)，按上面公式求得的結(jié)果已相應(yīng)于瞬時天球系中的位置向量，因此，為轉(zhuǎn)換到瞬時地球球系中的位置向量，因此，為轉(zhuǎn)換到瞬時地球坐標(biāo)系，只須繞坐標(biāo)系，只須繞Z軸旋轉(zhuǎn)該時刻的軸旋轉(zhuǎn)該時刻的GAST(t)： zyxtGASTRZYX)(359l協(xié)議地球坐標(biāo)系：協(xié)

18、議地球坐標(biāo)系：ZYXyRxRZYXppCTS)()(1260二、衛(wèi)星的運行速度二、衛(wèi)星的運行速度 0cos)1 (sin22EeErnazyx軌道直角坐標(biāo)系中軌道直角坐標(biāo)系中rnaEenEcos10sin)1 (cos0sincos2EeeEaffrzyx61l天球坐標(biāo)系中天球坐標(biāo)系中313)()()(zyxRiRRzyx62l地球坐標(biāo)系中地球坐標(biāo)系中zyxtGASTRzyxttGASTRZYX)()(33eWSTAGzyxtGASTRzyxtGASTtGASTtGASTtGAST)(0000)(sin)(cos0)(cos)(sin3= 63二、軌道計算二、軌道計算l由由 求取軌道根數(shù)求取軌

19、道根數(shù) rr,1計算計算, iihihihCBArrhcoscossinsinsin)()(1221BAtgCBAtgi64l2計算計算)(,Mea由活力公式：)12(2arv11222rrrvra65由方程)cos1 (Eear，得：arEe1cosarrEeraEerEnaernaEaedtdEEaercoscoscoscoscos2)cos()sin()cos()sin(122EeEetgEEeEee66l進一步，有：進一步，有：nMtEeEMsin67l計算計算ifriffriffrzyxrsin)sin(cos)sin(cos)cos(sincos)sin(sin)cos(cosfy

20、xiztgyxizftgsincossinsincossin)(168l由由 求取軌道根數(shù)求取軌道根數(shù) 21,rr計算計算)( ,12ffiiiiffrrhffrrCBArrcoscossinsinsin)sin()sin(12210122121irrCffBAtgCBAtgicos)sin()()(2112122169l用面積比法求半通徑用面積比法求半通徑P（扇形面積與三角形面（扇形面積與三角形面積之比）積之比）22121222221)()(sinyttffrrP70l計算計算fe,fePrcos11)cos(1)cos(2211rPferPfe)sin(cos)sin(cos)sin()s

21、in(sin)sin(122121121211fffefffefffffefe2121)cos()sin(fefee71l計算計算M,ifriffriffrzyxrsin)sin(cos)sin(cos)cos(sincos)sin(sin)cos(cosfyxiztgyxizftgsincossinsincossin)(172)211(21ftgeetgEnMtEeEMsin73l計算題：計算題： 已知衛(wèi)星軌道根數(shù)如下，計算衛(wèi)星在已知衛(wèi)星軌道根數(shù)如下，計算衛(wèi)星在ti 9：00時的位置時的位置 a=9 600 000 000km e = 0.01 =100.000 000 0 =50.000

22、000 0 i=30.000 000 0 t0 = 8:00:00GM=3.986005 x 1014 m3/s274第三節(jié)衛(wèi)星的受攝運動第三節(jié)衛(wèi)星的受攝運動l一、受攝運動及其微分方程一、受攝運動及其微分方程 實際上，衛(wèi)星在運動中所受到的力要復(fù)雜的多：除了二體問題所考慮的正球引力外，還受到諸如地球引力的非質(zhì)心引力部分、大氣阻力、日月引力、光幅射壓力和非慣性坐標(biāo)系的慣性力等 。75szszsysysxsxmfmFzmfmFymfmFx 76二、受攝運動的微分方程二、受攝運動的微分方程1. 拉格朗日行星運動方程拉格朗日行星運動方程 zRzrzyRyryxRxrx333 77 參數(shù)變易法解得到以二體

23、問題的橢圓軌道根數(shù)為基本參數(shù)變易法解得到以二體問題的橢圓軌道根數(shù)為基本變量的受攝運動方程：變量的受攝運動方程： eRenaeaRnadtdMiRenactgieRnaedtdiRienadtdRienaRenactgidtdiRenaeMRnaedtdeMRnadtda22022222222222202201211sin11sin111112782. UNW型（牛頓受攝運動方程）型（牛頓受攝運動方程） 沿衛(wèi)星運動方向的加速度沿衛(wèi)星運動方向的加速度U，沿主法線方向，沿主法線方向的加速度的加速度N和沿與前二方向成右手系的方向的和沿與前二方向成右手系的方向的加速度加速度W。主要用于計算大氣阻力的攝動和光壓攝動。主要用于計算大氣阻力的攝動和光壓攝動。79三、攝動力表達式三、攝動力表達式大地重力學(xué)知道，用球函數(shù)表示地球引力為大地重力學(xué)知道，用球函數(shù)表示地球引力為 ： )sincos()()(cos)(212nnmmnmnmnmnennnnemSmCPraPJrarGMrGMV80l四、實際解決方案四、實際解決方案 l多普勒星歷多普勒星歷l 預(yù)報星歷。擬合前預(yù)報星歷。擬合前36個小時平均橢圓參數(shù)個小時平均橢圓參數(shù)，外推出，外推出16個小時，每個小時，每2分鐘加入攝