立體幾何中的向量方法課件

1、第三章第三章 空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何3.2 3.2 立體幾何中的向量方法（二）立體幾何中的向量方法（二）一、復習引入一、復習引入用空間向量解決立體幾何問題的用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲三步曲”。（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量

2、的運算結果）把向量的運算結果“翻譯翻譯”成相應的幾何意成相應的幾何意義。義。（化為向量問題）（化為向量問題）（進行向量運算）（進行向量運算）（回到圖形）（回到圖形）空間空間“距離距離”問題問題1. 空間兩點之間的距離空間兩點之間的距離 根據(jù)兩向量數(shù)量積的性質和坐標運算，根據(jù)兩向量數(shù)量積的性質和坐標運算，利用公式利用公式 或或 (其中其中 ) ，可將兩點距離問題，可將兩點距離問題轉化為求向量模長問題轉化為求向量模長問題.2aa222zyxa),(zyxa 例例1：如圖如圖1，一個結晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點，一個結晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點A為端點為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的

3、夾角都是的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么以這個頂點，那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關系？為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關系？ A1B1C1D1ABCD圖圖1解：解：如圖如圖1，設，設 BADADAAAB， 11 6011DAABAA化為向量問題化為向量問題依據(jù)向量的加法法則，依據(jù)向量的加法法則，11AAADABAC 進行向量運算進行向量運算2121)(AAADABAC )(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到圖形問題回到圖形問題這個晶體的對角線這個晶體的對角線 的長

4、是棱長的的長是棱長的 倍。倍。1AC6思考：思考：（1）本題中四棱柱的對角線）本題中四棱柱的對角線BD1的長與棱長有什么關系？的長與棱長有什么關系？ （2 2）如果一個四棱柱的各條棱長都相等，）如果一個四棱柱的各條棱長都相等，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于于 , , 那么有這個四棱柱的對角線的長可以那么有這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎確定棱長嗎? ? A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD 60 120 11BCBABBABC，其其中中分析分析:分析分析: 1111 DAABAABADxAAADABaAC，設設11 AAADABAC

5、則則由由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC )cos3(23 222 xxa 即即ax cos631 這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長。這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長。（3 3）本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少？）本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少？ 設設AB=1 AB=1 （提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結為求兩點間的距離）（提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結為求兩點間的距離）A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距離面面距離點面距離點面距離. 11HACHAA于于點點平平面面點點作作過過 解：解：. 1的的距距離離為為所所求求

6、相相對對兩兩個個面面之之間間則則HA111 AAADABBADADAABA 且且由由. 上上在在 ACH3 360cos211)(22 ACBCABAC. 160cos60cos)(1111 BCAAABAABCABAAACAA31|cos 111 ACAAACAAACA36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距離是所求的距離是。 36問題：如何求直線問題：如何求直線A1B1到平面到平面ABCD的距離？的距離？ n A P O 2、向量法求點到平面的距離、向量法求點到平面的距離：例例 2:2: 如圖，已知正方形如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為的邊長為 4，E、F 分

7、分別是別是 AB、AD 的中點，的中點，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2，求點求點 B 到平面到平面 EFG 的距離的距離. DABCGFExyzDABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ，|BE|2 11.11ndn 2202420 xyxyZ 1 1( ,1),3 3n B(2,0,0)E 例例 2 2: : 如圖，已知正方形如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為的邊長為 4，E、F 分分別是別是 AB、AD 的中點，的中點，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2，求點求點 B 到平面到平面 EFG 的距離的距離. APDCBMN解：如圖解：如

8、圖, ,以以D D為原點建立空間直角坐標系為原點建立空間直角坐標系D Dxyzxyz 則則D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )2aa2aaaAPDCBMNzxy1111013:4,2,90 ,ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB例已知直三棱柱的側棱底面中為的中點,求與的距離。zxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC則解：如圖建立坐標系),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 (1BAEC則的公垂線的方向向量為設).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即即04220zyxyx取x=1,則y=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 1 (,ACAC在兩直線上各取點.332|1nACndBAEC的距離與EA1B1 小結小結 1、E為平面為平面外一點外一點,F為為內任意一