初二數(shù)學(xué)《反比例函數(shù)與一次函數(shù)》綜合試題

1、關(guān)注反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題反比例函數(shù)是中考命題的主要考點，近幾年中考試卷中出現(xiàn)了不少將反比例函數(shù)與其他函數(shù)、幾何圖形、方程（組）等綜合編擬的解答題。其中，將反比例函數(shù)與其他函數(shù)綜合命題是中考命題的新動向。例 1. 已知正比例函數(shù)ykx 與反比例函數(shù) y3 的圖象都過 A ( m，1) ，求此正比例函數(shù)的解析x式及另一個交點的坐標(biāo)。分析：由 A 點坐標(biāo)滿足 y3 可求得 m值，再將 A 點坐標(biāo)代入 y kx 可求得正比例函數(shù)解析式，x聯(lián)立方程組可求得另一交點坐標(biāo)。解：因 y3 圖象過 A ( m，1) ，即 13 ，故 m 3，即 A（ 3， 1）xm將 A（3， 1）代入 y kx，得

2、k13所以正比例函數(shù)解析式為y1 x3y3x3x 231聯(lián)立方程組得x ，解得或y1 xy 11y 213另一交點坐標(biāo)為（3，1 ）點評：解此類題時，一般是先構(gòu)造方程或方程組再來解決問題。例2. 如圖1所示，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象分別是直線AB和雙曲線。直線AB 與雙曲線的一個交點為 C， CD垂直 x 軸于點 D， OD2OB4OA 4 。求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式。圖 1分析：由已知三條線段之間的關(guān)系，可求得 A、 B、C 三點的坐標(biāo)，由此利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式。解：由已知 OD2OB4OA4，得 A 0，1 、B2，0 、D4， 0設(shè)一次函數(shù)解析式為ykxb點 A、B 在一

3、次函數(shù)圖象上b1k12，即2kb 0b1則一次函數(shù)解析式是 y1 x 12點 C 在一次函數(shù)圖象上當(dāng) x 4 時， y=1，即 C( 4， 1)設(shè)反比例函數(shù)解析式為ym ，點 C 在反比例函數(shù)圖象上x則 1m ，得 m 44故反比例函數(shù)解析式是y4x點評：反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題常涉及特殊線段、三角形面積等條件，這些幾何圖形的邊長常常與某些點的坐標(biāo)相關(guān)。這類題體現(xiàn)了在知識交匯處命題的特色。例 3.如圖 2 所示，反比例函數(shù)yk 的圖象經(jīng)過點 A3，b ，過點 A 作 AB 垂直 x 軸于點 B，xAOB的面積為3 。（ 1）求 k 和 b 的值；（ 2）若一次函數(shù)yax1的圖象經(jīng)過點A，并

4、且與x 軸相交于點M，求 AB： OM的值。圖 2分析：以面積為突破口，可求出A 點縱坐標(biāo) b 和系數(shù) k，結(jié)合 A 點的雙重特性（ A 點既在直線上，又在反比例函數(shù)圖象上）求解相應(yīng)問題。解：（ 1） ABBO， A 點坐標(biāo)為3，bS AOB1 AB·BO32即 1b· |3| 32 b 2又點 A 在雙曲線 yk 上x k2 (3)23（2）點 A 在直線 yax1上 23a1 a33 y3 x13當(dāng) y=0 時， x3所以 M點的坐標(biāo)為3， 0 AB：OM 2： 3點評：縱觀近年來的中考試題，關(guān)于反比例函數(shù)的綜合題大多是與一次函數(shù)相結(jié)合，做題時常利用交點的雙重特性來構(gòu)造

5、方程（組）解決問題。例4.有一個Rt ABC， A=90°， B=60°，AC3，AB1 。將它放在直角坐標(biāo)系中，使斜邊BC在x 軸上，直角頂點A 在反比例函數(shù)y3的圖象上，求點C 的坐標(biāo)。x分析：通過畫圖可發(fā)現(xiàn)，點A 的位置有 2 種情況（在第一象限的那支圖象上或在第三象限的那支圖象上），點 B、 C 的位置也有2 種情況（可能點B 靠近原點，也可能點C 靠近原點），解題時要注意利用反比例函數(shù)圖象的對稱性。解：本題共有4 種情況。（ 1）如圖 3 所示，過點 A 作 AD BC1 于 D AB 1， B 60° BD1 ，AD322點 A 的縱坐標(biāo)為32將其代入

6、 y3 ，得 x2，即OD 2x在 Rt ABC 1中， DC 121322所以 OC17 ，即點 C1的坐標(biāo)為7 ， 022根據(jù)雙曲線的對稱性，得點C3 的坐標(biāo)為7 ， 02（2）如圖 4 所示，過點 A 作 AE BC 于 E，則仿（ 1）可求得 AE3， OE2，C2E3。222所以 OC21，即點C2 的坐標(biāo)為1 ， 022根據(jù)雙曲線的對稱性，得點C4 的坐標(biāo)為1 ， 02所以點 C 的坐標(biāo)分別為：7，0 、1 ， 0、7，0 、1 ， 02222圖 4點評：根據(jù)題意，進行分類，是解決本題的突破口。此題涉及與反比例函數(shù)相關(guān)的許多問題，能較好地展示學(xué)生的思維過程和思維個性， 考查學(xué)生靈活運用所學(xué)知識分析問題、 解決問題的能力，具有較好的選拔功能。練一練：如圖 5 所示