極限存在準則與兩個重要極限(13)課件

1、二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 一、函數極限存在準則一、函數極限存在準則 第二章第二章 2.62.6 兩個重要的極限兩個重要的極限定理定理,),(0時當xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且且一、一、函數極限存在的準則函數極限存在的準則兩邊夾準則兩邊夾準則證明方法類似數列極限的證明方法類似數列極限的兩邊夾準則（兩邊夾準則（證明略證明略）例例1 證明證明0sinlim0 xxxx sin0,20時時當當 x證明證明0sinlim0 xx,1coslim,1sinlim00 xxxxxx20coslim1

2、coslim0 xx1)sin1 (lim20 xx并且當并且當x 趨于趨于0時時cos x大于大于0，例例2 證明證明1coslim0 xx2sin2cos102xx 證明證明222122xx0)cos1 (lim0 xx1coslim0 xx另證另證記住記住xxxxcoslim,sinlim都不存在！都不存在！xxxxcotlim, 0tanlim00nnnnn22212111lim證明證明:例例3. 求求xxxn22212111nnn2, 1111lim1lim22nnnnn12nn1111limlim2nnnnnn由數列極限的由數列極限的兩邊夾準則可得兩邊夾準則可得.1sincosxx

3、x圓扇形圓扇形AOB的面積的面積二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 型型001sinlim. 10 xxx證證: 當當即即xsin21x21xtan21亦即亦即)0(tansin2xxxx)2,0(x時，時，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有顯然有AOB 的面積的面積AOD的面積的面積DCBAx1oxxxcos1sin1故有故有例例4. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例5. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 則則,sint

4、x 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例 6 求求20cos1limxxx20cos1limxxx解解 2202sin2limxxx220242sin2limxxx2122sinlim2120 xxx一般公式一般公式,1)()(sinlim)(0 xxxxx0)()(0 xxx時時，其其中中當當例例 7求求30sintanlimxxxx解解 20cos1limxxx30sintanlimxxxxxxxxxcos)cos1 (sinlim30 xxcos1lim0 xxxsinlim020cos1sincos1limxxxxxx由上面幾個例題可知下面幾個由上面幾個例

5、題可知下面幾個等價的無窮小量等價的無窮小量.,sinxx當當x 趨于趨于0時時,tanxxxxsintan,arcsinxx2)cos1 (2xx, 0)()(0 xxx時時，若若當當),()(sinxx),()(tanxx時時則當則當)(0 xx),(sin)(tanxx)()(arcsinxx2)()(cos1 (2xxe10)1 (limennn)11 (limexxxxx)()()(11lim0exxx11lim（函數形式）（函數形式）（數列形式）（數列形式）（一般形式）（一般形式）)()(0 xxx時時，其其中中當當)1(第二個重要極限第二個重要極限xxxx1lim22xxxxxx11limxxxxxx111lim111lim.)1 (lim1xxx解解: 令令, xt則則xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1例例2. 求求xxxx1lim22xxxxxxxx1lim1lim解解例例1. 求求11)1(111111limxxxx111111lim)1(xxx