極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限(6)課件

1、1極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限兩個重要極限第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限2證證, 0 1. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則),3 , 2 , 1()1( nzxynnn,lim)2(aynn ,limaznn .limaxnn ,ayn,azn, 01 N, 02 N一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限nx那末數(shù)列那末數(shù)列的極限存在的極限存在,且且如果數(shù)列如果數(shù)列,nnnzyx及及3,1 ayNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒恒有有時時當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,

2、2 azNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng), azannnnzxy ,成立成立即即 axn.limaxnn , a annnzxy )1(極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限4例例).12111(lim222nnnnn 求求解解nnn 22111 nnnn2lim又又, 1 1lim2nnn, 1 由由夾逼定理：夾逼定理：. 1 原式原式,12 nn nnn2極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限nn111lim 2111limnn 5 注注利用夾逼準(zhǔn)則是求極限的一個重要手段利用夾逼準(zhǔn)則是求極限的一個重要手段,將復(fù)雜的函數(shù)將復(fù)雜的函數(shù) f (x)做適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小化簡做適當(dāng)?shù)姆糯?/p>

3、和縮小化簡,找出有共同極限值又容易求極限的函數(shù)找出有共同極限值又容易求極限的函數(shù) g(x)和和h(x)即可即可.極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限6x1x2x3x1 nxnx2. 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 幾何解釋幾何解釋:AM單調(diào)有界單調(diào)有界數(shù)列必有極限數(shù)列必有極限.:nx對對數(shù)數(shù)列列單調(diào)有界單調(diào)有界有極限有極限有界有界極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限7例例333 nx證明數(shù)列證明數(shù)列nx31 x, 3 kx假假定定kkxx

4、 3133 , 3 nxnnx lim極限存在極限存在.證證,1nnxx 顯然顯然(1)是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的;(2)極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限, 3 是有界的是有界的;存在存在.8,31nnxx ,321nnxx 21limnnx,32AA ,2131 A(舍去舍去).2131lim nnx(3)333 nx求求數(shù)數(shù)列列的極限的極限.),3(limnnx Axnn lim設(shè)設(shè)2131 A解得解得極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限9(1)1sinlim0 xxx,O設(shè)單位圓設(shè)單位圓,sinBDx 的的面面積積圓圓扇扇形形AOB,xAOB 圓圓心心角角,

5、ABx弧弧 ,tanACx 的面積的面積AOC 的的面面積積AOB極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限二、兩個重要極限二、兩個重要極限xOABDC,tansinxxx , 1sincos xxx.20 x10, 1sincos xxx.02也也成成立立對對于于 x , 1coslim0 xx, 11lim0 x1sinlim0 xxx夾逼定理夾逼定理該極限的特點？該極限的特點？1sinlim0 xxx極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限111sinlim xxx.)00(型未定式型未定式非非極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限0)(x 0 正確正確 x

6、xxsinlim )(x )(x sinlim=112xxxtanlim0 xxxxcossinlim0 1 20cos1limxxx 2202sin2limxxx 21 nnn2sinlim nnn22sin2lim 2 2022sinlim21 xxx例例例例例例極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限132)(cos1limxxx 求求解解, xt 令令,時時 x, 0t2)(cos1limxxx 20)cos(1limttt 20cos1limttt 21 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限20cos1limxxx 21 14(2)exxx )11(lim,)

7、11(nnnx 設(shè)設(shè)證明數(shù)列證明數(shù)列xn單調(diào)增加單調(diào)增加 且且有界有界. P.53極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限15 111nx)111()121)(111(!1 nnnnn).11()121)(111()!1(1 nnnnn 1nnnx)11( 1 )11(! 21n)11()21)(11(!1nnnnn )111(! 21 n nx,1nnxx 顯然顯然極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限是是單調(diào)增加的單調(diào)增加的;16 nx1212111 n1213 n, 3 nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記記為為)045459828281718.

8、2( e 1nnnx)11( 1 )11(! 21n)11()21)(11(!1nnnnn !1! 2111n 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限是是有界的有界的;17exxx )11(limxt1 令令xxx10)1(lim . e exxx 10)1(limttt)11(lim 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限該極限的特點？該極限的特點？exxx )()(1)()1(lim 18xxx111lim 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限e .)1(型未定式型未定式非非 正確解法正確解法 ,111xxy 令

9、令,)11ln(lnxxy ,時時當(dāng)當(dāng) x, 011ln x xxyxx11lnlimlnlim. 10 e. 0yx lim19nnn211lim 2 exxx 321lim xx321lim32e 例例2 例例n nn11limx2332 xxx20sin1lim 2e 例例 xxxsin10sin1limxxsin2例例xxxx 21lim 32231limxxx3e )1( )1( )1( )1( 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限3 2 20nnnnn 121lim22 12221lim2nnnn2 e例例n例例222)1(coslimxxx 解解 原式原式=222)

10、1sin1(limxxx 21 e)1( )1( 21sinlim22xxx 211sinlim21 xxx21 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限 nelimn 12222 nnn211. 選擇題選擇題).(sin1sinlim)1(20的值為的值為xxxx. 0)(;)(;)(; 1)(DCBA不存在不存在 D).(1sinlim)2( xxx. 0)(; 1)(;)(;)(DCBA不存在不存在 C極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限22).(11lim)3(2 xxx.21)(; 0)(;)(;)(2DCBeA Axxxx2)23(lim. 2 求求解解xxx2)211(lim 原原式式2e 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限22lim xxxe232. 兩個重要極限兩個重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限三、小結(jié)三、小結(jié)1. 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則e 1 lim)(x 0)(x )(1x )(x