復(fù)合函數(shù),隱函數(shù)求導(dǎo)(2)課件

1、三、求導(dǎo)的方法三、求導(dǎo)的方法 1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 2.高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 3.隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法 4.參數(shù)求導(dǎo)法參數(shù)求導(dǎo)法一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 1.鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t 2.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 3.抽象函數(shù)求導(dǎo)法抽象函數(shù)求導(dǎo)法性質(zhì)性質(zhì)).x(g)u(fdxdududydxdy,x)x(g fy,)x(u)u( fy,x)x(gu 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)即即 因變量對(duì)自變量求導(dǎo)因變量對(duì)自變量求導(dǎo), ,等于因變量對(duì)中間變等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo)量求導(dǎo), ,乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)乘

2、以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) )1.鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t(x)g(g(x)ff(g(x) : 寫成導(dǎo)函數(shù)形式為寫成導(dǎo)函數(shù)形式為dxdududydxdy 或或推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù) 例例1 1.sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot xcotxcosxsin1y: 或或例例2 2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).)1x(y )1(102 axarcsin2axa2xy )3(222

3、 )0( ax1siney )2( 32xarccoslgy )4( 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求例例xlny 3 .0)x( ff(x)lny,f(x) 4處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在在求求可導(dǎo)可導(dǎo)設(shè)設(shè)例例 2.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法)x(ulnu(x)y, )0)x(u(u(x)y)x(vv(x)v(x) 則則可可導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè)-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法f(x)ln)x( f(x)f, )0)x( f (f(x) 則則可導(dǎo)可導(dǎo)設(shè)設(shè)特別地特別地:常用于處理冪函數(shù)常用于處理冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)及它們的運(yùn)算指數(shù)函數(shù)及它們的運(yùn)算x1)x(ln )x( f)x(f) )x( f(ln 0 x,2x)(1y )2(xx21xy (1):

4、5x122 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例3.抽象函數(shù)求導(dǎo)法抽象函數(shù)求導(dǎo)法的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求例例)xln2( f)xf(y 6 二、高階導(dǎo)數(shù)二、高階導(dǎo)數(shù)問題問題: :變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.),t ( ss 設(shè)設(shè)) t (s) t (v 則瞬時(shí)速度為則瞬時(shí)速度為的的變變化化率率對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)間間是是速速度度加加速速度度tva. ) t (s ) t (v) t (a 定義定義.x)x( f) )x(f (,)x(f處處的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱可可導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè) 記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記記作作階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)階階導(dǎo)導(dǎo)

5、數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).)(;)(,稱稱為為一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為零零階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)相相應(yīng)應(yīng)地地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf次方次方的的表示表示注意注意nyy:n高階導(dǎo)數(shù)求法舉例高階導(dǎo)數(shù)求法舉例).0(f),0(f, xarctany 1 求求設(shè)設(shè)例例1

6、.1.直接法直接法: :由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù). 求求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合并不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)歸納法證明)注意注意: :解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn.y),R(xy)1()n(求求設(shè)設(shè) 例例2 求下列函數(shù)的求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)則則為為若若, 1 1)()(!)1()1( nnnnxnxy則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1(

7、 nyn. 0 )1()1()1()( nxnynnnk 0nk n!nk 121knknkxknnnnxy)()()()()(1nn)n()1x(!n)1()1x1( .y),x1ln(y:)2()n(求求設(shè)設(shè) xy 11解解)1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn)1n()n()y(y )1n()x11( 1nn)n()1x(!n)1()1x1( .y, xsiny )3()n(求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( xxsiny )22sin( xxcosy )23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得xsiny)4

8、( )24xsin( xay )4( nx)n(x)a(lna)a( x)n(xe)e (: 特別地特別地由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有:)2nbaxsin(a)bax(sin()2(n)n( )2nbaxcos(a)bax(cos()3(n)n( baxn)n(baxea)e)(1( n1nn)n(a)bax(!n)1()bax1)(4( 2. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:則則階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)具具有有和和設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),nvu)n()n()n(vu)vu()2( )n()n(Cu)Cu()1( )k()kn(n0kkn)n(nn)k()kn(kn)2n(2n)1n(1n)n(0

9、n)n(vuCuvCvuCvuCvuCvuC)vu()3( -萊布尼茲公式萊布尼茲公式3.3.間接法間接法: : 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過四則通過四則運(yùn)算運(yùn)算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).xcosxsiny )2(44 設(shè)設(shè)x1xy )1(n 例例5求下列函數(shù)的求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)6x5x1y )3(2 例例6 6.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解則由萊布尼茲公式知?jiǎng)t由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè),22xveux 0)x()e (C)x()e (Cx)e (Cy2)18(x22202)19(x21202)20(x2020)20( 22

10、! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義定義: :.0),(函函數(shù)數(shù)稱稱為為隱隱函函數(shù)數(shù)的的關(guān)關(guān)于于所所確確定定的的由由方方程程xyyxF 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊對(duì)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊對(duì)x求求導(dǎo)導(dǎo),y看成看成x的函數(shù)的函數(shù).例例1 1.dxdy,dxdyyyyxsine0 x22xy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)xy y2 2y y) )y yx xy y( (2 2x xy yc co

11、os sx x) )y yx x( (y ye e2 22 2x xy y 解得解得,xeyxcosxy2yeyxcosxy2yxy22xy2 , 1y, 0 x 由由原原方方程程知知1y0 x0 xy2ydxdy 21 y,xyarctanyxln 222 求求設(shè)設(shè)例例四、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此此為為由由參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)

12、消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?t),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),(ttytx且都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即 f(t)-(t)f ty(t)fx )2(ttyt-1x )1()x(fy33的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)例例求求下下列列參參數(shù)數(shù)確確定定的的函函例例3 3解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方程方程處處的的切切線線在在求求擺擺線線2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切