第一章 非線性振動(dòng)初步1

1、非 線 性 科 學(xué) 概 要為非線性物理概論一書(shū)寫(xiě)的序言汪 秉 宏上一世紀(jì)初量子力學(xué)和相對(duì)論的發(fā)現(xiàn)，因?yàn)樘岢隽送黄迫藗儌鹘y(tǒng)思維的新概念，將人類的世界觀推進(jìn)到超越經(jīng)典的領(lǐng)域，而被公認(rèn)為是物理學(xué)或更確切地說(shuō)是科學(xué)的兩次革命。牛頓創(chuàng)立的經(jīng)典力學(xué)被發(fā)現(xiàn)并不始終是正確的。當(dāng)深入到微觀尺度（<10-8cm），應(yīng)該取代為量子力學(xué)，當(dāng)物體的速度接近于光速（10 10cm/s），則相對(duì)論是正確的。非線性科學(xué)作為科學(xué)的一個(gè)新分支，如同量子力學(xué)和相對(duì)論一樣，也將我們引向全新的思想，給予我們驚人的結(jié)果。非線性科學(xué)的誕生，進(jìn)一步宣布了牛頓的經(jīng)典決定論的局限性。它指出，即使是通常的宏觀尺度和一般物體的運(yùn)動(dòng)速度，經(jīng)典決

2、定論也不適用于非線性系統(tǒng)的混沌軌道的行為分析。非線性科學(xué)涵蓋各種各樣尺度的系統(tǒng)，涉及以任意速率運(yùn)動(dòng)的對(duì)象，這一事實(shí)絲毫不降低這一新學(xué)科的創(chuàng)新性，恰恰相反，剛好說(shuō)明它具有廣泛的應(yīng)用性。從這一點(diǎn)來(lái)看，其實(shí)非線性科學(xué)的誕生和發(fā)展更有資格被稱為科學(xué)的一場(chǎng)革命。非線性科學(xué)，目前有六個(gè)主要研究領(lǐng)域，即：混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自動(dòng)機(jī)，和復(fù)雜系統(tǒng)。而構(gòu)筑多種多樣學(xué)科的共同主題乃是所研究系統(tǒng)的非線性。一個(gè)系統(tǒng)，如果其輸出不與其輸入成正比，則它是非線性的。例如一個(gè)介電晶體，當(dāng)其輸出光強(qiáng)不再與輸入光強(qiáng)成正比，就成為非線性介電晶體。例如彈簧，當(dāng)其位移變得很大時(shí)，胡克定律就失效，彈簧變?yōu)榉蔷€性振子。又例如單

3、擺，僅當(dāng)其角位移很小時(shí)，行為才是線性的。實(shí)際上，自然科學(xué)或社會(huì)科學(xué)中的幾乎所有已知系統(tǒng)，當(dāng)輸入足夠大時(shí)，都是非線性的。因此，非線性系統(tǒng)遠(yuǎn)比線性系統(tǒng)多得多，客觀世界本來(lái)就是非線性的，線性只是一種近似。任何系統(tǒng)在線性區(qū)和非線性區(qū)的行為之間存在顯著的定性上的差別。例如單擺的振蕩周期在線性區(qū)不依賴于振幅，但在非線性區(qū)，單擺的振蕩周期是隨振幅而變的。從數(shù)學(xué)上看，非線性系統(tǒng)的特征是迭加原理不再成立。迭加原理是指描述系統(tǒng)的方程的兩個(gè)解之和仍為其解。迭加原理可以通過(guò)兩種方式失效。其一，方程本身是非線性的。其二，方程本身雖然是線性的，但邊界是未知的或運(yùn)動(dòng)的。對(duì)于一個(gè)非線性系統(tǒng)，哪怕一個(gè)小擾動(dòng)，象初始條件的一個(gè)微

4、小改變，都可能造成系統(tǒng)在往后時(shí)刻行為的巨大差異。迭加原理的失效也將導(dǎo)致Fourier變換方法不適用于非線性系統(tǒng)的分析。因此，系統(tǒng)的非線性帶來(lái)系統(tǒng)行為的復(fù)雜性。對(duì)于非線性系統(tǒng)行為的解析研究是相當(dāng)困難的。更進(jìn)一步，在許多情況下，對(duì)于我們所要研究的系統(tǒng)，方程是未知的，或甚至可能根本不存在。從分形圖樣生長(zhǎng)的簡(jiǎn)單的擴(kuò)散限制聚集模型，到象股票市場(chǎng)那樣的復(fù)雜經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，我們可以舉出無(wú)數(shù)寫(xiě)不出方程的非線性系統(tǒng)的例子?；煦缡欠蔷€性系統(tǒng)的最典型行為，它起源于非線性系統(tǒng)對(duì)于初始條件的敏感依賴性。混沌現(xiàn)象早在上世紀(jì)初就已經(jīng)被法國(guó)學(xué)者彭加勒所發(fā)現(xiàn)，后來(lái)又被許多數(shù)學(xué)家所仔細(xì)研究。而學(xué)術(shù)界近年來(lái)對(duì)于混沌的特別關(guān)注，則起始于七

5、十年代，這是因?yàn)槊绹?guó)人費(fèi)根保姆發(fā)現(xiàn)了一些象平方函數(shù)重復(fù)迭代的很大一類簡(jiǎn)單映射系統(tǒng)居然具有普適的性質(zhì)。例如倍周期分叉到混沌的道路，分叉參數(shù)的漸近收斂比值，分叉的幾何特征具有普適標(biāo)度性等等。而費(fèi)根保姆工作則是受到了美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲與氣象預(yù)報(bào)有關(guān)的重要然而朦朧的工作的啟示。對(duì)于混沌系統(tǒng)的如下兩個(gè)發(fā)現(xiàn)特別有意義。其一，人們發(fā)現(xiàn)一個(gè)決定論性系統(tǒng)的行為當(dāng)處于混沌狀態(tài)時(shí)似乎是隨機(jī)的。僅僅這一發(fā)現(xiàn)就迫使所有的實(shí)驗(yàn)家要重新考察他們的數(shù)據(jù)，以確定某些曾經(jīng)歸于噪聲的隨機(jī)行為是否應(yīng)該重新確定為是由于決定論性混沌而產(chǎn)生的。其二，人們發(fā)現(xiàn)很少自由度的非線性系統(tǒng)，就可能是混沌的而表現(xiàn)為相當(dāng)復(fù)雜。這一發(fā)現(xiàn)給我們以這樣的啟示

6、：許多真實(shí)系統(tǒng)中所觀察到的復(fù)雜行為其實(shí)有一個(gè)簡(jiǎn)單的起源，那就是混沌。當(dāng)然，混沌僅僅是復(fù)雜性的起源之一，還存在并非來(lái)源于混沌的更復(fù)雜的復(fù)雜性。決定論性混沌的真實(shí)系統(tǒng)（例如氣候）的行為具有明顯的不可預(yù)測(cè)性。這一是由于系統(tǒng)對(duì)于初始條件的敏感依賴性；二是由于我們?cè)趯?shí)際中只能近似地測(cè)量或確定系統(tǒng)的初始條件，因?yàn)槿魏螠y(cè)量?jī)x器都只具有有限的分辨率。這兩個(gè)根本困難排除了對(duì)于任何混沌的真實(shí)系統(tǒng)作出長(zhǎng)期預(yù)報(bào)的可能。但從另一方面看，一個(gè)被確認(rèn)為決定論性混沌的系統(tǒng)，在看起來(lái)非常復(fù)雜的行為中，卻蘊(yùn)藏著秩序，因而進(jìn)行短期預(yù)報(bào)是可能的。問(wèn)題在于：如何確定復(fù)雜現(xiàn)象的背后是否存在決定論性混沌的起源？又，如何對(duì)一個(gè)混沌系統(tǒng)的行為

7、進(jìn)行短期預(yù)報(bào)？對(duì)于氣象或股票市場(chǎng)一類系統(tǒng)，由于不可逾越的復(fù)雜性，描寫(xiě)這類系統(tǒng)的完全方程組，即使是存在的，也決無(wú)辦法知道?；蛘?，即使我們能寫(xiě)出所有相關(guān)的方程組，也不可能有足夠強(qiáng)大功能的計(jì)算機(jī)來(lái)求解這些方程組。但是從實(shí)用的角度考慮，往往只需要對(duì)這類系統(tǒng)作一次成功的短期預(yù)報(bào)。例如，為了在股票市場(chǎng)上賺錢，炒股者其實(shí)只需要能夠預(yù)測(cè)明天或下一周股票的漲跌趨勢(shì)，而不必知道市場(chǎng)的整個(gè)長(zhǎng)時(shí)間的漲落規(guī)律。又例如，如果地球巖石圈的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)被證明具有決定論性的成分，則地震的預(yù)測(cè)并非完全不可能，而與地震的中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)相比較，對(duì)某一地區(qū)的地震進(jìn)行短臨預(yù)報(bào)，對(duì)于人們的防震更有意義，所以，復(fù)雜系統(tǒng)行為的短期預(yù)測(cè)已經(jīng)變成混沌的

8、最令人感興趣的一個(gè)應(yīng)用?；煦绲牧硪粋€(gè)重要應(yīng)用是混沌的控制。這一應(yīng)用基于如下事實(shí)：有許多不穩(wěn)定周期軌道嵌入在奇怪吸引子內(nèi)，我們可以根據(jù)需要通過(guò)對(duì)系統(tǒng)施加一個(gè)小擾動(dòng)的方法使其中之一穩(wěn)定并將混沌系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)到這一穩(wěn)定周期軌道狀態(tài)。這一技術(shù)已經(jīng)被成功地應(yīng)用于各種機(jī)械的、電子的、激光的、化學(xué)的系統(tǒng)和心臟組織的控制上。自然界中的大多數(shù)特殊結(jié)構(gòu)是由大量相同組元自組織集結(jié)而成的。通過(guò)某種簡(jiǎn)單的稱之為組織的構(gòu)造法就可以出現(xiàn)自集結(jié)過(guò)程。兩種最簡(jiǎn)單的構(gòu)造法是所謂規(guī)則性構(gòu)造法和隨機(jī)性構(gòu)造法。采用規(guī)則性構(gòu)造法，所有組元就排列成為周期或準(zhǔn)周期方式而構(gòu)造成例如晶體與合金等等。采用隨機(jī)性構(gòu)造法而形成的結(jié)構(gòu)（或非結(jié)構(gòu)）的例子有氣體

9、和動(dòng)物毛發(fā)的分布等等。而在這兩種極端的構(gòu)造法之間，則有自相似構(gòu)造法，這將產(chǎn)生稱為分形的自相似結(jié)構(gòu)。在一個(gè)分形中，系統(tǒng)的局部與整體相似。分形通常具有分?jǐn)?shù)維數(shù)。許多分形還可能是不同分?jǐn)?shù)維的分形的集合，故稱為多重分形。分形和多重分形的名詞，是上世紀(jì)八十年代由曼德勃羅特首先提出的?，F(xiàn)在，分形在自然界和數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的廣泛存在性已被人們普遍認(rèn)識(shí)。例如：凝聚體和膠體、樹(shù)木、巖石、山脈、云彩、星系、粗糙的表面和界面、聚合物和股票市場(chǎng)，無(wú)不存在分形。而耗散動(dòng)力系統(tǒng)中的混沌就表現(xiàn)為相空間中具有分形結(jié)構(gòu)的奇怪吸引子。奇怪吸引子本身及其吸引域都可能是分形?；煦缗c分形之間的這種聯(lián)系至今尚未被充分理解。分形系統(tǒng)的最典型性質(zhì)

10、是缺少空間的特征尺度。這一性質(zhì)可以有三種等價(jià)的表達(dá)方式：拓樸自相似性，空間的冪函數(shù)律，和標(biāo)度不變性。類似的，系統(tǒng)中不存在時(shí)間的特征尺度將導(dǎo)致時(shí)間的冪函數(shù)律，例如，1/f 噪聲。為了解釋分形和無(wú)特征尺度行為在非平衡系統(tǒng)中的廣泛存在性，丹麥人巴克和中國(guó)學(xué)者湯超等在1987年提出了自組織臨界性假設(shè)，現(xiàn)在人們知道，自組織臨界性假設(shè)不僅適用于沙堆，也適用于許多自然系統(tǒng)和社會(huì)系統(tǒng)。人們?cè)缇妥⒁獾胶恿?、?shù)枝、葉脈、和閃電所形成的分枝之間有驚人的相似性。這些分枝的斑圖與在云彩和海藻類群落中所觀察到的緊致斑圖顯然不同。大自然是如何生成這些斑圖的？這些不同斑圖模式的形成是否存在一種簡(jiǎn)單的原理或普適的機(jī)制？目前還找

11、不到對(duì)于這些問(wèn)題的最終回答，但最近二十年來(lái)在這方面的研究已經(jīng)取得可喜的進(jìn)展。 混沌理論的成功也開(kāi)啟了復(fù)雜性科學(xué)的研究之門。在七八十年代，當(dāng)人們認(rèn)識(shí)了混沌之后，對(duì)于從自然系統(tǒng)和社會(huì)系統(tǒng)中獲得的各種時(shí)間序列，莫不用混沌動(dòng)力學(xué)來(lái)進(jìn)行分析，檢驗(yàn)其中的決定論性成分，重構(gòu)其相空間，甚至建立預(yù)測(cè)模型?；煦缋碚摰某晒Γ蚱屏巳藗兊囊粋€(gè)心理障礙：沒(méi)有一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)因?yàn)樘珡?fù)雜而不可觸摸。人類已經(jīng)到了直面復(fù)雜系統(tǒng)，攻克復(fù)雜性難題的時(shí)代。復(fù)雜性科學(xué)所研究的論題跨越非常大的范圍，它包括人類語(yǔ)言、生命起源、計(jì)算機(jī)、演化生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)、生態(tài)學(xué)、免疫學(xué)，和自旋玻璃、DNA、蜂群、地震以及各種非平衡系統(tǒng)的自組織等等。目前

12、尚無(wú)復(fù)雜系統(tǒng)的確切定義，這表明復(fù)雜性科學(xué)尚處于一個(gè)新研究領(lǐng)域的萌芽階段。盡管已經(jīng)發(fā)現(xiàn)象諸如復(fù)雜自適應(yīng)系統(tǒng)和對(duì)稱破缺等一般性概念可以用來(lái)相當(dāng)好地描述一大類復(fù)雜系統(tǒng)，但目前還缺乏可以描寫(xiě)所有復(fù)雜系統(tǒng)的統(tǒng)一理論。然而有兩種簡(jiǎn)單的思想能夠解釋許多復(fù)雜系統(tǒng)的行為。其一是自組織臨界性，其二是所謂活躍行走原理。自組織臨界性理論斷言：許多大的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)存在一種趨勢(shì)，它會(huì)驅(qū)動(dòng)自身到一種沒(méi)有特征空間尺度和特征時(shí)間尺度的臨界狀態(tài)。而活躍行走原理則描述了復(fù)雜系統(tǒng)中的單元是如何通過(guò)與所共享的位形的相互作用而與其環(huán)境和在彼此之間溝通?；钴S行走原理已經(jīng)被成功地應(yīng)用于諸如介電擊穿模式、玻璃中的離子輸運(yùn)和螞蟻在食物搜尋時(shí)的合作

13、等等非常不同的問(wèn)題的研究。 以上所概要的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的物理或科學(xué)包含有序和無(wú)序的相互影響，也涉及簡(jiǎn)單和復(fù)雜的交錯(cuò)。但從數(shù)學(xué)和處理方法上看，產(chǎn)生所有那些迷人的結(jié)果的原因乃是系統(tǒng)的非線性?？陀^世界本來(lái)就是非線性的、復(fù)雜的。非線性物理就是一門以非線性系統(tǒng)的普遍規(guī)律及客觀世界的復(fù)雜性本身為研究對(duì)象的學(xué)科，它在上一世紀(jì)八十和九十年代蓬勃發(fā)展，也將成為新世紀(jì)物理學(xué)研究的最前沿。近二十年來(lái)，許多國(guó)外著名的大學(xué)和研究所紛紛成立非線性科學(xué)和復(fù)雜性科學(xué)的研究中心。許多專門刊登非線性物理和復(fù)雜性科學(xué)研究論文的國(guó)際新期刊也應(yīng)運(yùn)而生。在我國(guó)，對(duì)于非線性和復(fù)雜性科學(xué)的研究，國(guó)家科委和國(guó)家自然科學(xué)基金委也給以大力的支持

14、和扶植。國(guó)家攀登計(jì)劃非線性科學(xué)自立項(xiàng)以來(lái)，已經(jīng)歷八五和九五階段，從2001年起更被列為國(guó)家重大基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃（973計(jì)劃特別經(jīng)費(fèi)資助）項(xiàng)目。非線性科學(xué)的概念和方法現(xiàn)在已經(jīng)滲透到科學(xué)技術(shù)的幾乎所有領(lǐng)域，甚至包括經(jīng)濟(jì)、人文和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。非線性科學(xué)的概念、理論、方法和應(yīng)用已經(jīng)成為科技工作者的必備基礎(chǔ)知識(shí)。因此，國(guó)內(nèi)許多高校都紛紛開(kāi)設(shè)非線性物理課程，以滿足廣大本科生、研究生和科技工作者學(xué)習(xí)非線性動(dòng)力學(xué)和復(fù)雜性科學(xué)知識(shí)的迫切需要。在這種情況下，撰寫(xiě)一本關(guān)于非線性物理和復(fù)雜性科學(xué)的合適的國(guó)內(nèi)高校教材，看來(lái)是非常必須的。安徽師范大學(xué)的陸同興教授，基于其長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐基礎(chǔ)，撰寫(xiě)了非線性物理概論一書(shū)。

15、本書(shū)以一般理工科大學(xué)的高等數(shù)學(xué)水平與普通物理知識(shí)為起點(diǎn)，以熟悉的物理學(xué)例子為切入點(diǎn)，力求以簡(jiǎn)潔的內(nèi)容，清晰的物理概念，全面而有系統(tǒng)地講述非線性科學(xué)中的一些基本問(wèn)題。內(nèi)容包括非線性振動(dòng)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分岔與奇怪吸引子、耗散系統(tǒng)與保守系統(tǒng)的混沌道路、分形及動(dòng)力學(xué)體系的分形特性、混沌與分形的電子電路實(shí)驗(yàn)及計(jì)算機(jī)模擬、孤立波等。這是一本適合于師范和一般理工科大學(xué)的本科生和研究生作為非線性科學(xué)課程的教學(xué)用書(shū)，也可以用作非線性物理專題的課外讀物。本書(shū)特色鮮明，重點(diǎn)突出，系統(tǒng)性強(qiáng)，深入淺出，與學(xué)生的知識(shí)水平相銜接，并注意培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算技術(shù)的綜合運(yùn)用。概而言之，本書(shū)既有相當(dāng)深度和高的學(xué)術(shù)水平，又是一本普及非線性科學(xué)知

16、識(shí)的很好的教材。有鑒于此，我愿意向需要了解、研究或應(yīng)用非線性科學(xué)的廣大理工科學(xué)生和科技工作者鄭重推薦閱讀本書(shū)。2002年6月10日寫(xiě)于臺(tái)北中研院 前 言物質(zhì)世界是復(fù)雜的，自然界事物的發(fā)展及其相互間關(guān)系是非線性的?？茖W(xué)發(fā)展初期人們常把復(fù)雜的非線性問(wèn)題簡(jiǎn)化為線性問(wèn)題來(lái)處理，由此得到的結(jié)果是事物運(yùn)動(dòng)具有確定性。確定性運(yùn)動(dòng)確實(shí)說(shuō)明了自然界的許多現(xiàn)象，在科學(xué)的發(fā)展史上起過(guò)重大的作用。然而，由線性化處理所形成的傳統(tǒng)觀念卻束縛了人們的思維方法，以至在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)總以為自然界規(guī)律意味著確定性，未來(lái)世界總是可以預(yù)測(cè)的。線性化處理帶到了教育界，拉普拉斯的決定論觀點(diǎn)成了物理教學(xué)中的根深蒂固觀念。隨著各種觀測(cè)手段的完善

17、和計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，近30年來(lái)許多迫切需要解決的非線性問(wèn)題正在得到逐步解決，并展現(xiàn)出一些直接地沖擊傳統(tǒng)學(xué)術(shù)觀點(diǎn)的結(jié)果。在非線性領(lǐng)域里可以看到，從決定性的方程出發(fā)不一定能得到?jīng)Q定性的結(jié)果，在某些條件下結(jié)果可能是隨機(jī)性的。一只蝴蝶扇動(dòng)一下翅膀所引起的氣流擾動(dòng)，可能會(huì)導(dǎo)致一場(chǎng)暴風(fēng)雨的出現(xiàn)，印證了中國(guó)的一句成語(yǔ)：失之毫厘，差之千里。時(shí)至今日，非線性已發(fā)展成為一門獨(dú)特的嶄新的學(xué)科，課堂教學(xué)也不能再回避非線性問(wèn)題了。非線性科學(xué)是一門跨學(xué)科的邊緣學(xué)科，不僅包括了自然科學(xué)中的數(shù)、理、化、生、天、地，而且還涉及到工業(yè)、農(nóng)業(yè)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，甚至社會(huì)科學(xué)。然而人們看到，在非線性的研究中物理學(xué)無(wú)疑是最為活躍的，許多相鄰學(xué)科

18、的非線性研究往往借助一定的物理模型來(lái)進(jìn)行。基于這樣的認(rèn)識(shí)，我們開(kāi)設(shè)了一門“非線性物理”課。本課程是作為高等師范物理系、普通理工科大學(xué)的選修課來(lái)設(shè)計(jì)的。希望通過(guò)本課教學(xué)，使學(xué)生對(duì)非線性的基本研究領(lǐng)域及基本理論有一個(gè)比較全面的整體認(rèn)識(shí)，對(duì)非線性物理中的一些基本概念有比較正確的理解，學(xué)會(huì)用非線性的眼光去觀察與分析事物。非線性是一門非常寬廣的學(xué)科領(lǐng)域，我們遴選了其中有代表性的非線性動(dòng)力學(xué)、分形與孤立子三個(gè)部分。就這三部分我們分成五章，以前三章系統(tǒng)地講非線性動(dòng)力學(xué)為主，在第四、五章中分別簡(jiǎn)要的講一下分形與孤立波的基本概念與分析方法。在課程的深度上，我們將學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的起點(diǎn)限定在一般理工科學(xué)生的數(shù)學(xué)水平與

19、普通物理知識(shí)上，一般不對(duì)定理、定律進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證，而是以典型的物理學(xué)模型或?qū)嶒?yàn)實(shí)例為切入點(diǎn)，逐步深入地引入非線性物理學(xué)的各個(gè)新概念。第一章為非線性振動(dòng)初步，講述非線性振動(dòng)的基礎(chǔ)知識(shí)與分析方法，這是非線性動(dòng)力學(xué)的引論。第二章在簡(jiǎn)要介紹幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)分岔之后，以平方映射和洛倫茲方程為例，講述微分方程解的分岔及其穩(wěn)定性，接著在分析對(duì)初值敏感性的基礎(chǔ)上，引入李雅普諾夫指數(shù)與奇怪吸引子。第三章講混沌道路，先講三種常見(jiàn)的混沌道路，即倍周期分岔、陣發(fā)混沌與準(zhǔn)周期道路，并以單擺為例，比較詳細(xì)地分析受驅(qū)阻尼單擺的各種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)形式。保守系統(tǒng)中的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)被認(rèn)為是非線性動(dòng)力學(xué)中的精髓，我們從作用-角度變量入手，扼

20、要地分析了保守系統(tǒng)中各種不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。接著講電子電路中的混沌，因?yàn)樵S多動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)可以用電子電路來(lái)模擬，微分方程中的混沌問(wèn)題也可以采用電子電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，混沌通信則要通過(guò)電子電路來(lái)完成。第四章講分形，分三節(jié)分別介紹不同分形維數(shù)的定義及其應(yīng)用對(duì)象，在簡(jiǎn)要介紹分形生長(zhǎng)后，著重介紹了分形在分析動(dòng)力學(xué)體系中的應(yīng)用，使學(xué)生看到非線性動(dòng)力學(xué)中的奇怪吸引子、吸引域邊界、魔梯等等均具有分形體特征。認(rèn)識(shí)到混沌是分形的，混沌與分形是密不可分的。孤立波是非線性科學(xué)中的一個(gè)重要方面，它是本課第五章的內(nèi)容。孤立波被人們看作為自然界里的一種相干結(jié)構(gòu)，要讓學(xué)生建立這樣一種觀點(diǎn)，即混沌是非線系統(tǒng)中高度無(wú)序狀態(tài)，而相干結(jié)構(gòu)則是非線性系

21、統(tǒng)中的驚人有序性，混沌與孤立波兩者相互對(duì)立、又有內(nèi)在聯(lián)系。這章用三節(jié)分別介紹有代表性的三種孤立波方程，即：KdV方程、正弦高登方程與非線性薛定諤方程。在對(duì)非線性薛定諤方程介紹中，加進(jìn)了具有美妙應(yīng)用前景的光學(xué)孤立波通信內(nèi)容，使學(xué)生從一個(gè)側(cè)面了解孤立波研究的實(shí)際意義及重要的應(yīng)用價(jià)值。在多年教學(xué)中，我們對(duì)本課程教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等進(jìn)行了多次修改、調(diào)整與補(bǔ)充，深感要開(kāi)設(shè)好這門選修課還有許多工作要做，本書(shū)僅是對(duì)前一個(gè)階段的教學(xué)總結(jié)。在本課的開(kāi)設(shè)過(guò)程中得到了本系領(lǐng)導(dǎo)、本教研室的教師的大力支持與幫助，對(duì)此表示忠心感謝。還特別需要感謝的是中國(guó)科技大學(xué)非線性研究中心汪秉宏教授，他熱情地支持與幫助了本書(shū)的出版。最

22、后希望廣大讀者對(duì)本書(shū)中的不足之處加以指正。安徽師范大學(xué)教材建設(shè)基金資助了本書(shū)出版。非線性物理學(xué)概論目錄第一章 非線性振動(dòng)初步 1第一節(jié) 無(wú)阻尼單擺的自由振蕩 11 小角度無(wú)阻尼單擺 橢圓點(diǎn) 12 任意角度無(wú)阻尼單擺振動(dòng) 雙曲點(diǎn) 43 無(wú)阻尼單擺的相圖與勢(shì)能曲線 7第二節(jié) 阻尼振子 101 阻尼單擺 不動(dòng)點(diǎn) 102 無(wú)驅(qū)杜芬方程 133 非線性阻尼 范德玻耳方程 16第三節(jié) 相圖方法 201. 相軌線 202. 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 22第四節(jié) 受迫振蕩 281線性單擺的受迫振動(dòng) 282. 杜芬方程的受迫振動(dòng) 313. 龐加萊截面 374. 初識(shí)單擺的復(fù)雜運(yùn)動(dòng) 40第二章 分岔與奇怪吸引子 4

23、5第一節(jié) 簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)分岔 451 切分岔 462 轉(zhuǎn)換鍵型分岔 473 叉式分岔 484 霍夫型分岔 49第二節(jié) 平方映射與倍周期分岔 531 平方映射 532 平方映射的不動(dòng)點(diǎn)及其穩(wěn)定性 562.1 平方映射的不動(dòng)點(diǎn) 562.2 平方映射不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性 593 平方映射的周期解及其穩(wěn)定性 613.1平方映射的周期解 613.2 周期解的穩(wěn)定性 624倍周期分岔的功率譜 64第三節(jié) 流體不穩(wěn)定性與洛倫茲方程 661流體不穩(wěn)定性 661.1貝耐特對(duì)流實(shí)驗(yàn) 661.2流體倍周期分岔的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn) 683洛倫茲方程及其分岔 693.1 洛倫茲方程 693.2 洛倫茲方程解分岔 71第四節(jié)李雅普諾夫指數(shù)與奇

24、怪吸引子 741李雅普諾夫指數(shù) 742埃儂映射與埃儂吸引子 793洛倫茲吸引子 844巴克爾變換與羅斯勒吸引子 86第三章 走向混沌的道路 91第一節(jié) 由倍周期分岔走向混沌 911平方映射的倍周期分岔道路 912費(fèi)根鮑姆常數(shù) 943杜芬方程的倍周期分岔 95第二節(jié) 陣發(fā)性混沌 961. 陣發(fā)性混沌現(xiàn)象 972. 陣發(fā)性混沌機(jī)理 98第三節(jié) 同步、鎖模與混沌 1021. 同步與鎖模 1022. 魔梯與混沌 1053. 受驅(qū)貝耐特對(duì)流實(shí)驗(yàn) 1094. 受驅(qū)單擺的混沌道路 1134.1 受驅(qū)單擺的分岔圖 1134.2 不同驅(qū)動(dòng)力矩下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 114第四節(jié) 湍流道路 1191湍流是什么？ 1192湍流道路 1213貝耐特對(duì)流與庫(kù)埃特實(shí)驗(yàn) 122第五節(jié) 保守系統(tǒng)中的不規(guī)則運(yùn)動(dòng) 1241可積的與不可積的系統(tǒng) 1242擾動(dòng)與KAM定理 1293有理環(huán)面的破裂與同（異）宿結(jié)構(gòu) 1314阿諾得擴(kuò)散 1345標(biāo)準(zhǔn)映射 135第六節(jié) 電子混沌電路 1381外激勵(lì)非線性LC諧振電路 1391.1 單結(jié)晶體管混沌電路 1391.2 二極管電感混沌電