從學(xué)生的解題錯(cuò)誤透視教師的教學(xué)失誤.

1、- 1 - 從學(xué)生解題錯(cuò)誤中透視教師的教學(xué)失誤 江山二中 張麗仙 【內(nèi)容摘要】： 由于錯(cuò)誤是教學(xué)和學(xué)習(xí)過(guò)程中自然存在的現(xiàn)象， 因此，將錯(cuò)誤進(jìn)行 系統(tǒng)的分析是非常重要的。反思教學(xué)中的得失，充分利用好錯(cuò)誤的教學(xué)功能，是提高 教學(xué)質(zhì)量的有效方法，是教師成長(zhǎng)的必由之路。教師要端正對(duì)待學(xué)生錯(cuò)誤的態(tài)度 , 找 出學(xué)生錯(cuò)誤的原因 , 發(fā)揮學(xué)生“錯(cuò)解”、“新解”的作用 , 多方面、多途徑解決好糾 錯(cuò)工作。 【關(guān)鍵詞】： 錯(cuò)誤 歸因 對(duì)策 錯(cuò)誤是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中自然存在的現(xiàn)象，是不可避免的，在教學(xué)中企圖讓學(xué)生 避免錯(cuò)誤是不可能的，也是沒(méi)有必要的，因此，正確對(duì)待錯(cuò)誤，對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行分析就顯 得非常必要。首先，通過(guò)暴露

2、學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的錯(cuò)誤，可以為學(xué)生提供以錯(cuò)誤為源 泉的學(xué)習(xí)反應(yīng)后的刺激；其次，通過(guò) “嘗試錯(cuò)誤”的過(guò)程，學(xué)生可以從中審視、體 驗(yàn)和反思，從而引起知錯(cuò)、改錯(cuò)、防錯(cuò)的良性反應(yīng)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的“免疫力”； 最后，教師可以通過(guò)錯(cuò)誤來(lái)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的不足以及教學(xué)失誤，反思我們的教學(xué)，找到對(duì) 策, 幫助學(xué)生避免錯(cuò)誤 , 提高解題的正確性。 在日常教學(xué)中 , 教師反思教學(xué)失誤一般有以下幾條途徑：一是公開(kāi)課教學(xué)，通過(guò) 同行的提醒或?qū)＜业狞c(diǎn)評(píng)，知道自己精心準(zhǔn)備的課堂教學(xué)所存在的失誤；二是學(xué)生課 后的作業(yè)，通過(guò)錯(cuò)誤原因的分析知道課堂中的教學(xué)失誤；三是階段性檢測(cè)，從學(xué)生試 卷上暴露出來(lái)的解題錯(cuò)誤，可以發(fā)現(xiàn)這一階段來(lái)的教

3、學(xué)失誤。本文通過(guò)對(duì)階段性檢測(cè) 中學(xué)生的解題錯(cuò)誤進(jìn)行分析，來(lái)透視教師某個(gè)階段的教學(xué)失誤。 一、 錯(cuò)誤的解題也是學(xué)習(xí)資源 錯(cuò)誤是從一個(gè)特定的角度揭示了學(xué)生掌握知識(shí)的過(guò)程， 是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)所 學(xué)知識(shí)不斷嘗試的結(jié)果。當(dāng)前，很多教師害怕學(xué)生出現(xiàn)解題錯(cuò)誤，對(duì)錯(cuò)誤采取嚴(yán)厲禁 止的態(tài)度是司空見(jiàn)慣的。在這種懼怕心理支配下，教師只注重教給學(xué)生正確的結(jié)論， 而不注重揭示知識(shí)形成的過(guò)程， 害怕啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行討論會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。 長(zhǎng)此以往， 學(xué)生只接受了正確的知識(shí)，而對(duì)錯(cuò)誤的出現(xiàn)缺乏心理準(zhǔn)備，以至于看不出錯(cuò)誤或覺(jué)察 到錯(cuò)誤卻不會(huì)訂正。 持這種態(tài)度的教師只關(guān)心學(xué)生用對(duì)知識(shí)， 而忽視讓學(xué)生會(huì)用知識(shí)。 例如，講解有理數(shù)

4、運(yùn)算時(shí)，由于只注重得出正確的結(jié)果，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算法則、順序，而對(duì) 運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算注意不夠，但后者對(duì)發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力卻更為重要?？傊@種 對(duì)待錯(cuò)誤的態(tài)度會(huì)對(duì)教學(xué)帶來(lái)一些消極的影響。 事實(shí)上，在學(xué)習(xí)和教學(xué)過(guò)程中，錯(cuò)誤和失敗不僅是在所難免的，也是我們所 需要的，很多情況下，真理來(lái)自錯(cuò)誤，成功來(lái)自失敗。學(xué)生所犯錯(cuò)誤及其對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn) 識(shí)，是學(xué)生知識(shí)寶庫(kù)的- 2 - 重要組成部分。筆者至今仍然對(duì)學(xué)生時(shí)代的一節(jié)數(shù)學(xué)課記憶猶 新。 2 2 4 4 老師講過(guò) a2-b 2=(a+b)(a-b) 后，讓我們分解 x4-y 4，很快大家就做完了。老師 44 邊巡視邊檢查，但在最后教師宣布只有 1 人做對(duì)時(shí)，我們都感到

5、非常吃驚。 我們把 x -y 2 2 2 2 2 2 分解為 (x -y )( x +y ) ，錯(cuò)在哪里呢 ?做對(duì)同學(xué)的答案是 (x +y )(x+y)(x-y) ，兩相對(duì) 22 照，我們發(fā)現(xiàn)原來(lái) x2y2 還可繼續(xù)分解。于是，分解因式要進(jìn)行到每個(gè)因式都不能再 分解為止給每個(gè)同學(xué)都留下了深刻的印象。由此可見(jiàn)，利用學(xué)生典型錯(cuò)誤并進(jìn)行正確 誘導(dǎo)會(huì)收到良好的教學(xué)效果。 因此，教師要正確面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，因?yàn)殄e(cuò)誤也是一種寶貴的學(xué)習(xí)資源。我們應(yīng) 該明白：學(xué)生還不成熟，容易出錯(cuò)。課堂上，教師應(yīng)該理解學(xué)生的錯(cuò)誤，理解學(xué)生的 狂妄，理解學(xué)生的可笑，理解學(xué)生的單純。教學(xué)過(guò)程既是暴露學(xué)生各種疑問(wèn)、困難、 錯(cuò)誤、障礙

6、和矛盾的過(guò)程， 又是展示學(xué)生聰明才智、 形成獨(dú)特個(gè)性與創(chuàng)新成果的過(guò)程。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)際上就是不斷地提出假設(shè)、修正假設(shè)的過(guò)程，是使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知水平 不斷復(fù)雜化、并逐漸接近成熟的過(guò)程。從這個(gè)意義上說(shuō)，錯(cuò)誤不過(guò)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 過(guò)程中所做的某種嘗試，它只能反映學(xué)生在某個(gè)階段的學(xué)習(xí)水平，而不能代表其最終 的實(shí)際水平，也正是由于這些假設(shè)的不斷提出與修正，才使學(xué)生的能力不斷提高。因 此，分析錯(cuò)誤、正視錯(cuò)誤是為了最后消滅錯(cuò)誤，教師對(duì)待錯(cuò)誤的懼怕心理和嚴(yán)厲態(tài)度 要轉(zhuǎn)變?yōu)槌惺苄睦砗蛯捜輵B(tài)度，應(yīng)學(xué)會(huì)欣賞學(xué)生，挖掘和捕捉學(xué)生的智慧。 二、解題錯(cuò)誤的成因淺析 1 概念理解不透徹 數(shù)學(xué)概念是運(yùn)算、 推理、證明的依據(jù)，

7、如果把正確理解概念作為 “第一個(gè)臺(tái)階” ， 那么應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解題可以說(shuō)是“第二個(gè)臺(tái)階”。從反饋情況來(lái)看，概念理解不準(zhǔn)確往往是解題錯(cuò)誤的直接原因。以下幾個(gè)例子是學(xué)生對(duì)于基本概念及運(yùn)算法則的錯(cuò)誤理 解或因概念、法則含糊不清而犯的錯(cuò)誤： 例1： _a5的底數(shù)是 _ 指數(shù)是 _ . 錯(cuò)誤解法：底數(shù)是-a，指數(shù)是5。 正確解法：底數(shù)是a，指數(shù)是5。 -3 - 分析：學(xué)生錯(cuò)誤的原因是對(duì)于幕的概念有點(diǎn)模糊，幕是由底數(shù)與指數(shù)組成的，形 如an，其中a也可以是整式。在教學(xué)中可以用 -a5與此題相類比，加深學(xué)生對(duì)于幕 的概念的理解。 例 2:計(jì)算：a5 a2 a a6 - a3 a4。 錯(cuò)誤解法：原式=a7 -

8、a7 a7=a21 ； 原式=a7 + a7 + a7=3a7 = (3a )7。 正確解法：原式=a7 - a7 a7=3a7。 分析：錯(cuò)誤解法是學(xué)生把合并同類項(xiàng)的概念與同底數(shù)幕相乘相混淆。在教同底 數(shù)幕相乘時(shí)要讓學(xué)生比較 a7 - a7 - a7與 a7 a7 a7的區(qū)別，加深對(duì)于合并同類項(xiàng)的概 念的理解與同底數(shù)幕相乘法則的運(yùn)用。 錯(cuò)誤解法是學(xué)生認(rèn)為 3a7等于3a 7，由于積的乘方的概念在同底數(shù)幕相乘以后 才會(huì)教授，所以要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩者不等價(jià)，可以用特殊值代入比較兩者是否相等， 例如：取 a =1，著重強(qiáng)調(diào)3a7 = 3a 7，以避免學(xué)生再犯類似的錯(cuò)誤。這樣，利用辨明 多種的錯(cuò)解過(guò)程，

9、培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。 2 運(yùn)用符號(hào)解決問(wèn)題的能力欠缺 用字母表示數(shù)是對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的一個(gè)重大進(jìn)展， 教師要有意識(shí)地把運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn) 行分析和運(yùn)算創(chuàng)設(shè)到所傳授的數(shù)學(xué)知識(shí)中，讓學(xué)生逐步感受到運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)解決數(shù) 學(xué)問(wèn)題以及運(yùn)算的便捷性、優(yōu)越性，培養(yǎng)起數(shù)學(xué)符號(hào)感。但從解題錯(cuò)誤的統(tǒng)計(jì)來(lái)看， 相關(guān)問(wèn)題是最多的。 例3:若干張撲克牌被平均分成三份，分別放在左邊，中間，右邊(每堆至少兩 張)，按以下順序操作：首先從左邊一堆中拿出兩張放進(jìn)中間一堆中，然后從右邊一 堆中拿出一張放進(jìn)中間一堆中，最后從中間一堆中拿出一些牌放到左邊，使左邊的張 數(shù)是最初的 2倍。小明認(rèn)為無(wú)論一開(kāi)始每份是幾張牌， 最后中間一堆總剩 1

10、張撲克牌， 你同意他的看法嗎？說(shuō)出你的理由。 對(duì)于此題，統(tǒng)計(jì)顯示有很多人出錯(cuò)。解題的錯(cuò)誤大致分為三類： 水平低的學(xué)生看不懂題目，回答：我不同意，這是不一定的，因?yàn)轭}中沒(méi)有明確 指出剛開(kāi)始有多少牌。閱讀理解能力是解決應(yīng)用問(wèn)題最重要的能力，反映在數(shù)學(xué)上能 將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，這需要長(zhǎng)期的積累和熏陶。 水平略高的學(xué)生通過(guò)具體數(shù)字枚舉，回答如下： 左邊 中間 右邊 - 4 - 3 3 3 抽掉后 1 6 2 最后 6 1 2 因?yàn)橹虚g是 1 張，我同意。能用具體數(shù)學(xué)枚舉來(lái)解決，通過(guò)不完全歸納得到答案 實(shí)屬不易，反映這一類學(xué)生能用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問(wèn)題， 但這僅僅是猜想性的答

11、案， 沒(méi)有上升到理性的高度，還停留在淺層次上。 部分優(yōu)秀生能用列表的方式給出正確理由。列表如下： 左邊 中間 右邊 a a a 第一步 a-2 a+2 a 第二步 a-2 a+3 a-1 第三步 2a 1 a-1 因?yàn)橹虚g是 1 張，我同意。這一類學(xué)生能用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問(wèn)題， ?反映在 數(shù)學(xué)上既能將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，又能將數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，得到的答 案不再是猜想性的答案而是理性的答案，所以無(wú)論是代數(shù)還是幾何教學(xué)，理性精神的 培養(yǎng)是數(shù)學(xué)的主要思想，教師要在平時(shí)的教學(xué)中不斷滲透。這種，利用暴露思維的失 敗過(guò)程，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。 3、單位換算不熟練 很少有教師把單位換算作為

12、解題錯(cuò)誤的原因加以分析，總認(rèn)為單位換算是“小兒 科”，而事實(shí)證明單位換算的錯(cuò)誤不可忽視。-5 - 例4:地球表面平均1m2上空氣的質(zhì)量約為104千克，地球的表面積約是5X 108kni, 地球表面全部空氣的質(zhì)量約為多少千克？ 本題的錯(cuò)誤主要是單位換算，部分學(xué)生將 1千米2化成1000米2,導(dǎo)致整個(gè)題目 的錯(cuò)誤。涉及用字母表示單位 mm cm2、m3,換算出錯(cuò)較多，按理說(shuō)不應(yīng)該有這么大 的出入，經(jīng)過(guò)了解發(fā)現(xiàn)有相當(dāng)多的學(xué)生對(duì) mm km、m?表示不同長(zhǎng)度的方法很陌生。教 材確實(shí)沒(méi)有出現(xiàn)這樣的表示，僅出現(xiàn)“平方千米”的字樣，課本總復(fù)習(xí)題中僅有一處 出現(xiàn)，對(duì)km表示平方千米的方法只有地理課本中出現(xiàn)。

13、如何講清1千米2二106米2呢，是否可以通過(guò)下面的圖形來(lái)幫助學(xué)生理解：1米X 1米=1米2，1千米X千米=106米2。通過(guò)這樣處理，學(xué)生將1千米2化成1000米: 的錯(cuò)誤將會(huì)明顯地減少。 1千米 - 1000 米 X 1000 米=106米2 如果平時(shí)致力于這些細(xì)節(jié)的研究，課堂是生動(dòng)的，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)印象也會(huì)是深刻的。 4、公式理解不透以致錯(cuò)用 對(duì)于各種運(yùn)算法則很多學(xué)生只記憶，缺乏對(duì)算理的真正理解，導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤，且 難以糾正，已成為“數(shù)學(xué)牛皮癬”。統(tǒng)計(jì)顯示，出現(xiàn)(x-2 ) 2=x2-4及(3x+4y) 2=9x2+16y2 這樣的運(yùn)算錯(cuò)誤人很多。又如：分解因式： 9x2 -4y2 誤解：原式二(

14、9x，4y)(9x-4y) 分析：對(duì)平方差公式a2 -b2 = (a b)(a-b)中a、b未理解其含義。公式中的a、b 應(yīng)分別為3x和2y。 - 6 - 正解：原式二(3x 2y)(3x-2y)-7 - 平時(shí)教學(xué)中，要關(guān)注學(xué)生對(duì)公式的探索過(guò)程，重視對(duì)算理的理解，讓學(xué)生嘗試說(shuō) 出每一步運(yùn)算的道理。在推出(a+b) 2=a2+2ab+b2，( a-b)2=a2-2ab+b2后，？可通過(guò) 模仿性練習(xí)加深對(duì)字母a、b的廣義理解，不妨來(lái)一組形如這樣的判斷題(a+b)2=a2+b2, (a-b) 2=a2-b2,利用 數(shù)”來(lái)澄清錯(cuò)誤，再通過(guò)計(jì)算(5+3) 2、52+32、52+2X53+32 的結(jié)果，強(qiáng)

15、化刺激，或利用課本上的“圖形”讓學(xué)生去認(rèn)識(shí)本質(zhì)。 如用下圖可以很明顯地解釋(a+b) 2=a2 +b2并不成立。 b ab b2 + DE a2 +ab + ab al a2 ab II 本題以圖形為載體形象地給學(xué)生介紹了完全平方公式，而且圖文并茂，相信定會(huì) 給學(xué)生留下深刻的印象。 平時(shí)教學(xué)中，教師對(duì)課本習(xí)題方法的拓展、挖掘的深度有時(shí)尚且不夠，導(dǎo)致學(xué)生 停留在運(yùn)算和思維的淺層次上。如果平時(shí)教學(xué)堅(jiān)持對(duì)問(wèn)題多角度分析，并且考慮到后 繼的學(xué)習(xí)內(nèi)容的延拓，經(jīng)常利用辨明錯(cuò)誤的分析過(guò)程，可培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性。 三、減少解題錯(cuò)誤的對(duì)策 以上僅是一次階段性檢測(cè)學(xué)生解題錯(cuò)誤的局部透視，淺顯地折射出平時(shí)教學(xué)中

16、的一些失誤，雖說(shuō)學(xué)生的解題錯(cuò)誤遠(yuǎn)不止這些，解題錯(cuò)誤的原因也不完全取決于教師 的教學(xué)失誤，誠(chéng)然，它也必與我們教師的教學(xué)是分不開(kāi)的。教學(xué)失誤可能被平時(shí)忙碌 的教學(xué)工作和一些雜務(wù)所掩蓋，但這不能成為搪塞教學(xué)失誤的理由，應(yīng)當(dāng)明白，反思 教學(xué)失誤是提高教學(xué)質(zhì)量的有效方法，是教師成長(zhǎng)的必經(jīng)之路。 1、課前準(zhǔn)備要有預(yù)見(jiàn)性 預(yù)防錯(cuò)誤的發(fā)生，是減少初中生解題錯(cuò)誤的主要方法。課前，教師應(yīng)預(yù)測(cè)到學(xué)生 學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)可能產(chǎn)生的錯(cuò)誤，課內(nèi)講解時(shí)有意識(shí)地指出并加以強(qiáng)調(diào)，從而有效地 控制錯(cuò)誤的發(fā)生。例如，0.7 0.3 - 8 - 講解方程 -0.17 .2x =1之前，要預(yù)見(jiàn)到本題要用分式 與等式的性質(zhì)，兩者有可能混淆，

17、在引入新課前要準(zhǔn)備一些分?jǐn)?shù)與等式的性質(zhì)練習(xí)， 幫助學(xué)生弄清兩者的不同，避免產(chǎn)生混亂與錯(cuò)誤。備課時(shí)，要揣摸學(xué)生學(xué)習(xí)本課內(nèi)容 的心理過(guò)程，預(yù)先明了學(xué)生容易出錯(cuò)之處，防患于未然。因此，預(yù)見(jiàn)錯(cuò)誤并有效防范 能夠?yàn)榻沂惧e(cuò)誤、降低錯(cuò)誤打下基礎(chǔ)。 2、課堂講解要有針對(duì)性 上課是獲取信息的主渠道， 在課內(nèi)講解時(shí)， 要對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行針對(duì)性 的講解，對(duì)于容易混淆的概念，要引導(dǎo)學(xué)生用對(duì)比的方法，弄清它們的區(qū)別和聯(lián)系。 上課中勤于捕捉。 課堂中教師僅憑過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)或主觀愿望去估計(jì)是不行的， 必須 在課堂上認(rèn)真觀察學(xué)生反應(yīng)，及時(shí)調(diào)整教法。若上課時(shí)不注意觀察學(xué)生的神態(tài)，也不 聽(tīng)取學(xué)生的反映，等到批改時(shí)才發(fā)現(xiàn)問(wèn)題一

18、大堆，這樣就不利于及時(shí)反饋與矯正。 板演時(shí)注意收集。 板演是學(xué)生暴露思維過(guò)程的重要渠道， 對(duì)學(xué)生板演中暴露出來(lái) 的錯(cuò)誤，教師要指出其錯(cuò)誤所在，正確分析產(chǎn)生各種錯(cuò)誤的原因，指出應(yīng)該怎樣糾正 錯(cuò)誤，并在下次板演或作業(yè)中有意安排類似的練習(xí)，讓學(xué)生及時(shí)矯正。 答問(wèn)中隨機(jī)提煉。 學(xué)生在回答教師提問(wèn)時(shí)， 很容易暴露思維過(guò)程中的錯(cuò)誤， 或概 念理解錯(cuò)誤，或定理法則運(yùn)用條件不足，或思維方法不對(duì)等。教師既要善于鼓勵(lì)學(xué)生 積極思考問(wèn)題和敢于提問(wèn)題，又要善于根據(jù)不同層次的學(xué)生回答問(wèn)題的不同角度，隨 機(jī)提煉出反映問(wèn)題本質(zhì)的一般性和特殊性問(wèn)題，使矯正有的放矢。 3、糾錯(cuò)途徑的多樣性 課堂上出現(xiàn)的錯(cuò)誤，糾錯(cuò)要及時(shí)，特別是

19、起始階段的運(yùn)算，要在黑板上充分暴露 錯(cuò)在哪里？眾目睽睽之下， 特別是那些科學(xué)性錯(cuò)誤，要尋根刨底，追溯錯(cuò)誤的源頭， 做到“正本清源”、“斬草除根”。當(dāng)然，澄清錯(cuò)誤的方式可以多樣，課堂上通過(guò)學(xué) 生幫助學(xué)生的方法來(lái)解決，往往印象是最深的，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是最有說(shuō)服力，也可以多 角度尋找解決的方法，有些問(wèn)題的錯(cuò)誤可以從“數(shù)”、“形”兩方面來(lái)處理，發(fā)現(xiàn)其 異曲同工之妙， 有些問(wèn)題的錯(cuò)誤必要時(shí)可以回歸原始的問(wèn)題情景， 讓其感受錯(cuò)誤之“荒 謬”，還“清白”于人間。課外糾錯(cuò)可以通過(guò)作業(yè)面批，糾錯(cuò)本訂正回收再批改的方 式。另外要注意的是糾錯(cuò)工作不可能一勞永逸，除了“持久戰(zhàn)”還要不失時(shí)機(jī)來(lái)一點(diǎn) “短平快”。 4、發(fā)揮“錯(cuò)解”、“新解”的有效性 無(wú)論是學(xué)生的錯(cuò)誤解法還是創(chuàng)新解法都是教師的一筆寶貴的教學(xué)資源， 時(shí)作業(yè)、練習(xí)、試卷的錯(cuò)誤，如果對(duì)其共性加以分析和講解，可以起到事半功倍的效 果。研散見(jiàn)在平 - 9 - 究學(xué)生的創(chuàng)新解法及其思考的過(guò)程，可以觸摸到學(xué)生思維的靈感，可以教學(xué)相 長(zhǎng)。如果課堂上留給學(xué)生一定的時(shí)間去思考、去辨析，形成共識(shí)，學(xué)生學(xué)到的不僅僅 是一種解題方法，更重要的是領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的理性精神。對(duì)于一些別出心裁的想法和解 法，要給予鼓勵(lì)、 欣賞，去尋找其本質(zhì)的東西， 再追尋問(wèn)題是否可以