第七章 二階電路

1、-作者xxxx-日期xxxx第七章 二階電路【精品文檔】第七章 二階電路一、教學基本要求1、了解二階電路零狀態(tài)響應、零輸入響應、全響應的物理意義和概念 。 2、會分析簡單的二階電路。 二、教學重點與難點1. 教學重點： (1).二階電路的方程和特征根 (2). 二階電路的零輸入響應、零狀態(tài)響應、全響應的概念(3). 二階電路過渡過程的過阻尼、欠阻尼及臨界阻尼的概 念及分析(4). 二階電路的階躍響應。2教學難點：1.應用基爾霍夫定律和電感、電容的元件特性建立動態(tài)電路方程；2. 二階電路的過阻尼、欠阻尼及臨界阻尼放電過程分析方法和基本物理概念。三、本章與其它章節(jié)的聯(lián)系： 本章討論的仍是線性電路，

2、因此前面討論的線性電路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第 9 章討論的線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應就是動態(tài)電路在正弦激勵下的穩(wěn)態(tài)分量的求解。 四、學時安排 總學時：2教 學 內(nèi) 容學 時二階電路的零輸入響應、二階電路的零狀態(tài)響應2五、教學內(nèi)容§7.1 二階電路的零輸入響應二階電路是指用二階微分方程來描述的電路。下面主要通過分析RLC 串聯(lián)電路來說明求二階電路響應的方法。 圖7.1所示的RLC串聯(lián)電路在t=0時刻閉合開關，設電容原本充有電壓U0，此電路的放電過程是二階電路的零輸入響應問題。電路的KVL方程及元件的VCR為： 若以電容電壓為變量，從以上方程中消去其他變量得二階齊次微分

3、方程： 初始條件為： u C (0+)= U 0 ， i (0+)=0 ，或 若以電感電流為變量，則方程為： 初始條件為： i (0+)=0 ， 根據(jù) 得： 2二階微分方程的解及其物理意義以電容電壓為變量，電路方程為： 從中得特征方程： 特征根為： 上式表明特征根僅與電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)有關，而與激勵和初始儲能無關。當R、L、C的參數(shù)不同，特征根為不同的形式。下面分三種情況討論。（1）當 時，特征根為兩個不相等的負實根，電路處于過阻尼狀態(tài)。 此時方程的解為： 由初始條件： ， 得： 即： 因此電容電壓為： 電流為： 電感電壓為： 圖7.2給出了電容電壓、電流和電感電壓隨時間變化的波形，從中可以看出，

4、電容電壓和電流始終不改變方向，且最終衰減至零，說明電容始終在釋放能量，稱過阻尼放電。能量的轉(zhuǎn)換過程如圖7.3所示。t=tm時，iC取得最大值，t=2tm時，uL為極小值。通過對電流求導，可計算時間tm。即： （2） 當 時，特征根為兩個共軛復根，電路處于 振蕩放電狀態(tài)。令： 則特征根為： 電容電壓的 uC 的通解形式為： 經(jīng)常把上式寫成三角函數(shù)形式： 故把 稱為振蕩頻率。 通解中 待定常數(shù) A ， b 根據(jù)初始條件確定，即： 聯(lián)立求解以上方程得： 由于、b 滿足圖7.4所示的三角關系: 所以 則 圖 7.5 給出了電容電壓和電流隨時間變化的波形，從中可以看出，波形呈衰減振蕩的狀態(tài)，在整個過渡過

5、程中電容電壓和電流周期性的改變方向，表明儲能元件在周期性的交換能量，處于振蕩放電。在半個周期里能量的轉(zhuǎn)換過程如圖 7.6 所示。  若 RLC 振蕩回路中的電阻 R=0 ，則產(chǎn)生等幅振蕩放電。此時有： （3）當 時，特征根為兩相等的負實根，電路處于臨界阻尼狀態(tài)。 特征根為：方程的通解為： 根據(jù)初始條件得： 解得： 從以上諸式可以看出，電壓和電流具有非振蕩的性質(zhì)，其波形類似于圖7.2，波形呈衰減狀態(tài)，然而，這種過程是振蕩與非振蕩過程的分界線，所以稱為臨界阻尼狀態(tài)，這時的電阻稱為臨界電阻?？偨Y(jié)以上分析過程得用經(jīng)典法求解二階電路零輸入響應的步驟：1)根據(jù)基爾霍夫定律和元件特性列出換路后的電

6、路微分方程，該方程為二階線性齊次常微分方程；2)由特征方程求出特征根，并判斷電路是處于衰減放電還是振蕩放電還是臨界放電狀態(tài)，三種情況下微分方程解的形式分別為：特征根為兩個不相等的負實根，電路處于過阻尼狀態(tài)： 特征根為兩個相等的負實根，電路處于 臨界阻尼狀態(tài)： 特征根為共軛復根，電路處于衰減 振蕩狀態(tài)： 3）根據(jù)初始值 確定積分常數(shù)從而得方程的解。 以上步驟可應用于一般二階電路。例7-1 圖示電路在t0時處于穩(wěn)態(tài)，t=0時打開開關, 求電容電壓uC并畫出其變化曲線。 例 7 1 圖（ a ） （ b ）解：求解分三步：（1）首先確定電路的初始值。由 t0 的時穩(wěn)態(tài)電路，即把電感短路，電容斷路，得

7、初值為：u(0)=25V ，iL(0)=5A （2）開關打開，電路為RLC串聯(lián)零輸入響應問題，以電容電壓為變量的微分方程為： 帶入?yún)?shù)得特征方程為： 50P 2+2500 P +106=0 解得特征根： 由于特征根為一對共軛復根，所以電路處于振蕩放電過程，解的形式為： （3）確定常數(shù)，根據(jù)初始條件 得： 有： 即： 電壓隨時間的變化波形如圖（b）所示。例7-2 圖示電路為RC振蕩電路，試討論k取不同值時輸出電壓u2的零輸入響應情況。 圖例7-2解：對節(jié)點 A 列寫 KCL 方程： 列寫 KVL 方程： 對方程兩邊微分，整理得： 特征方程為 ： 特征根為： 令： 則： 下面進行討論：（1）若 ，

8、特征根為一對共軛復根，電路為振蕩情況，此時有： ，|3 - k|2 ， 1k5 當1k3時有 d0 ，為衰減振蕩； 當 k=3 時有 d = 0 ，為等幅振蕩；當 3k5 時有 d0 ，為增幅振蕩。（2）若 ，特征根為兩個負實根，電路為阻尼情況，此時有： ， , k1 , k5§7.2 二階電路的零狀態(tài)響應和階躍響應1零狀態(tài)響應和階躍響應 RLC 串聯(lián)電路為例說明求解方法。圖中激勵為階躍電壓，因此電路的初始儲能為:uC(0)=uC(0+)=0，iL(0)=iL(0+)=0。t0 后，根據(jù) KVL 和元件的 VCR 得以電容電壓為變量的電路微分方程： 特征方程為； 方程的通解求法與求零

9、輸入響應相同。令方程中對時間的導數(shù)為零，得方程的特解 : 則uC的解答形式為： 由初值 確定常數(shù) 電路在阻尼狀態(tài)和振蕩狀態(tài)時電容電壓隨時間的變化波形如圖7.7所示，表明電容電壓從零上升最后穩(wěn)定在 E 值。  2二階電路的全響應 如果二階電路具有初始儲能，又接入外施激勵，則電路的響應稱為二階電路的全響應。全響應是零狀態(tài)響應和零輸入響應的疊加，可以通過把零狀態(tài)方程的解帶入非零的初始條件求得全響應。 例7-3 圖示電路在 t0 時處于穩(wěn)態(tài)， t=0 時打開開關 , 求電流i 的零狀態(tài)響應。 例 7 3 圖（ a ）（ b ）解：（1）列寫微分方程，由 KCL 得： 由 KVL 得： 整理以

10、上兩個方程得： 方程為二階非齊次常微分方程。解答形式為： （2）求通解 i' 特征方程為： 特征根為： P1=2 ， P2=6 所以 （3）求特解 i ” 由圖（b）所示的穩(wěn)態(tài)模型得：iu1，u1u1)，解得： u1=2V，i=1A 所以 （4）定常數(shù)電路的初始值為 由圖（c）所示的0+電路模型得：  （ c ） 所以 因此電流為： 例7-4 圖示電路在t0時處于穩(wěn)態(tài)，t=0時閉合開關,已知：iL(0-)=2A，uC(0-)=0，求電流iL和iR 。 例 7 4 圖解：(1) 列微分方程 應用結(jié)點法得： 整理有： (2) 令對時間的導數(shù)為零，求得特解： (3) 求通解 特征方程為： 特征根為： P = -100 ± j 100 所以： (4) 定常數(shù)，代入初值有 解得： 所以 (5) 求電流iR §7.3 二階電路的沖激響應RLC串聯(lián)電路為例說明求解方法。 圖中激勵為沖擊電壓，因此 t=0 時電路受沖擊電壓激勵獲得一定的能量。根據(jù) KVL 和元件的 VCR 得 t=0 時刻以電容電壓為變量的電路微分方程為： 把上式在 t=0到0+ 區(qū)間積分并考慮沖