九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二章 2.3 垂徑定理練習(xí) 新版湘教版_第1頁(yè)
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1、2.3垂徑定理基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1垂徑定理1(長(zhǎng)沙中考改編)如圖,在o中,弦ab6,圓心o到ab的距離oc2,則o的半徑長(zhǎng)為(b)a. b. c2 d42如圖,ab是o的弦,odab于d,交o于e,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(d)aadbd baoeboec. dodde3如圖,在o中,直徑cd垂直于弦ab.若c25°,則bod的度數(shù)是(d)a25° b30° c40° d50° 4如圖,ab是o的弦,半徑ocab于點(diǎn)d.若o的半徑為5,ab8,則cd的長(zhǎng)是(a)a2 b3 c4 d55如圖,ab是o的直徑,弦cdab于點(diǎn)e,oc5 cm,cd6 cm,則o

2、e4cm. 6(教材p59例1變式)如圖,在o中,直徑ab垂直弦cd于點(diǎn)m,am18,bm8,則cd的長(zhǎng)為247如圖,ab是o的直徑,弦cdab于點(diǎn)e,點(diǎn)m在o上,md恰好經(jīng)過(guò)圓心o,連接mb.若cd16,be4,求o的直徑解:abcd,cd16,cede8.設(shè)obx,be4,x2(x4)282.解得x10.o的直徑是20.知識(shí)點(diǎn)2垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用8(教材p60習(xí)題t1變式)一條排水管的截面如圖所示已知排水管的截面圓半徑ob10,截面圓圓心o到水面的距離oc是6,則水面寬ab是(a)a16b10c8d69如圖所示,某窗戶(hù)是由矩形和弓形組成,已知弓形的跨度ab3 m,弓形的高ef1 m,現(xiàn)計(jì)劃

3、安裝玻璃,請(qǐng)幫工程師求出所在圓o的半徑r.解:由題意,知oaoer.ef1,ofr1.oeab,afab×31.5.在rtoaf中,of2af2oa2,即(r1)21.52r2.解得r.圓o的半徑為 m.易錯(cuò)點(diǎn)忽略垂徑定理的推論中的條件“不是直徑”10下列說(shuō)法正確的是(d)a過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧b弦的垂直平分線(xiàn)平分它所對(duì)的兩條弧,但不一定過(guò)圓心c過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑垂直于弦d平分弦所對(duì)的兩條弧的直徑平分弦中檔題11如圖,將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后,圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心o,則折痕ab的長(zhǎng)為(c)a2 cm b. cm c2 cm d2 cm 12(2018·棗莊)

4、如圖,ab是o的直徑,弦cd交ab于點(diǎn)p,ap2,bp6,apc30°.則cd的長(zhǎng)為(c)a. b2 c2 d8提示:過(guò)點(diǎn)o作ohpd于h,連接od.ap2,bp6,則aobo4,則po2,又ophapc30°,oh1,odob4,在rthod中,hd,cd2hd2.13如圖,以點(diǎn)p為圓心的圓弧與x軸交于a,b兩點(diǎn),點(diǎn)p的坐標(biāo)為(4,2),點(diǎn)a的坐標(biāo)為(2,0),則點(diǎn)b的坐標(biāo)為(6,0) 14(2018·黃岡)如圖,abc內(nèi)接于o,ab為o的直徑,cab60°,弦ad平分cab.若ad6,則ac215(2018·孝感)已知o的半徑為10 cm,

5、ab,cd是o的兩條弦,abcd,ab16 cm,cd12 cm,則弦ab和cd之間的距離是2或14cm.16(2018·安徽)如圖,o為銳角abc的外接圓,半徑為5.(1)用尺規(guī)作圖作出bac的平分線(xiàn),并標(biāo)出它與劣弧bc的交點(diǎn)e;(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法)(2)若(1)中的點(diǎn)e到弦bc的距離為3,求弦ce的長(zhǎng)解:(1)畫(huà)圖如圖所示(2)ae平分bac,.連接oe,oc,ec,則oebc于點(diǎn)f,ef3.在rtofc中,由勾股定理可得,fc.在rtefc中,由勾股定理可得,ce.17如圖,cd為o的直徑,弦ab交cd于點(diǎn)e,連接bd,ob.(1)求證:aecdeb;(2)若cdab,a

6、b8,de2,求o的半徑解:(1)證明:根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”,得ad,cabd,aecdeb.(2)cdab,o為圓心,beab4.設(shè)o的半徑為r,de2,則oer2.在rtoeb中,由勾股定理,得oe2eb2ob2,即(r2)242r2,解得r5.o的半徑為5.綜合題18如圖,已知man30°,o為邊an上一點(diǎn),以o為圓心,2為半徑作o,交an于d,e兩點(diǎn),設(shè)adx.當(dāng)x為何值時(shí),o與am相交于b,c兩點(diǎn),且boc90°?解:過(guò)點(diǎn)o作ofbc于點(diǎn)f.boc90°,oboc2,obc45°,bc2.ofbc,bfbc,bof45°.ob

7、fbof.ofbf.man30°,oa2of2.ad22,即當(dāng)x22時(shí),boc90°.小專(zhuān)題(五)與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算與證明1已知:如圖,a,b,c,d是o上的點(diǎn),12,ac3 cm.(1)求證:;(2)求bd的長(zhǎng)解:(1)證明:12,.(2),acbd.ac3 cm,bd3 cm.2a,b是o上的兩個(gè)定點(diǎn),p是o上的動(dòng)點(diǎn)(p不與a,b重合),我們稱(chēng)apb是o上關(guān)于點(diǎn)a,b的滑動(dòng)角已知apb是o上關(guān)于點(diǎn)a,b的滑動(dòng)角(1)若ab是o的直徑,則apb90°;(2)如圖,若o的半徑是1,ab,求apb的度數(shù)解:連接oa,ob,ab.o的半徑是1,即oaob1,又a

8、b,oa2ob2ab2.由勾股定理的逆定理可得,aob90°.apbaob45°.3如圖,ab是o的直徑,c,d兩點(diǎn)在o上若c45°.(1)求abd的度數(shù);(2)若cdb30°,bc3,求o的半徑解:(1)連接ad.bcd45°,dabbcd45°.ab是o的直徑,adb90°.abd45°.(2)連接ac.ab是o的直徑,acb90°.cabcdb30°,bc3,ab6.o的半徑為3.4如圖,a,p,b,c是圓上的四個(gè)點(diǎn),apccpb60°,ap,cb的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)d.(1)求證:

9、abc是等邊三角形;(2)若pac90°,ab2,求pd的長(zhǎng)解:(1)證明:a,p,b,c是圓上的四個(gè)點(diǎn),abcapc,cpbbac.apccpb60°,abcbac60°.acb60°.abc是等邊三角形(2)abc是等邊三角形,acb60°,acabbc2.pac90°,dabd30°.bdab2.四邊形apbc是圓內(nèi)接四邊形,pac90°,pbcpbd90°.在rtpbd中,pd4.5如圖,一圓弧形橋拱的圓心為e,拱橋的水面跨度ab80米,橋拱到水面的最大高度為20米求:(1)橋拱的半徑;(2)現(xiàn)水

10、面上漲后水面跨度為60米,求水面上漲的高度為多少米?解:(1)過(guò)點(diǎn)e作efab于點(diǎn)f,延長(zhǎng)ef交圓于點(diǎn)d,則由題意得df20.由垂徑定理知,點(diǎn)f是ab的中點(diǎn),affbab40米,efedfdaedf,由勾股定理知,ae2af2ef2af2(aedf)2.設(shè)圓的半徑是r,則r2402(r20)2,解得r50.即橋拱的半徑為50米(2)設(shè)水面上漲后水面跨度mn為60米,mn交ed于h,連接em,則mhnhmn30米,eh40(米)ef502030(米),hfehef10米6已知abc,以ab為直徑的o分別交ac,bc于點(diǎn)d,e,連接ed.若edec.(1)求證:abac;(2)若ab4,bc2,求

11、cd的長(zhǎng)解:(1)證明:edec,edcc.edcade180°,adeb180°,edcb.bc.abac.(2)連接ae,ab為直徑,aebc.由(1)知,abac,becebc.在abc與edc中,cc,cdeb,abcedc.ce·cbcd·ca.acab4,×24cd.cd.7如圖,在abc中,abbc2,以ab為直徑的o分別交bc,ac于點(diǎn)d,e,且點(diǎn)d為bc的中點(diǎn)(1)求證:abc為等邊三角形;(2)求de的長(zhǎng);(3)在線(xiàn)段ab的延長(zhǎng)線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)p,使pbdaed,若存在,請(qǐng)求出pb的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解:(1)證明:連接ad.ab是o的直徑,adb90°.點(diǎn)d是bc的中點(diǎn),ad是線(xiàn)段bc的垂直平分線(xiàn)abac.abbc,abbcac.abc為等邊三角形(2)連接be.ab是直徑,aeb90°.beac.abc是等邊三角形,aeec,即e為ac的中點(diǎn)d是bc的中點(diǎn),故de為abc的中位線(xiàn),deab×21.(3)存在點(diǎn)p使pbdaed,由(1)(2)知,bded,bac60°,deab

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