北師版數(shù)學(xué)九年級上冊反比例函數(shù)中一個典型三角形及面積計算(共7頁)

1、北師版數(shù)學(xué)九年級上冊反比例函數(shù)中一個典型三角形及面積計算北師版數(shù)學(xué)九年級上冊反比例函數(shù)中一個典型三角形及其面積計算考題再現(xiàn)：（2017年菏澤）如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限交于A.B兩點，B點的坐標為(3，2),連接OA、OB，過B作BDy軸，垂足為D，交OA于C，若OC=CA.21世紀21世紀教育網(wǎng)有（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）求AOB的面積.題意分析 （1） 確定反比例函數(shù)y=的表達式只需知道圖像上一個點的坐標即可，B點就實現(xiàn)了這個目標；確定直線y=kx+b的表達式還需要確定點A的坐標，點A坐標的確定就需要利用給出的條件進行必要的推理得到；（2）

2、求三角形AOB的面積，就需要解答者有較扎實的數(shù)學(xué)基本功，較強的知識綜合能力，特別是圖形面積的分割方式尤其重要，不同思路就得到不同的求解方法，這也體現(xiàn)數(shù)學(xué)一題多解的重要思想，同時也真正實現(xiàn)以點帶面，觸類旁通的學(xué)習(xí)效果.問題解決（1）因為反比例函數(shù)y=的圖象過點B，且B點的坐標為(3，2),所以k=2×3=6,所以反比例函數(shù)的表達式為y=；因為BDy軸，所以=2,因為OC=CA，所以=2=4,所以=,所以點A（，4）；把點A（，4），點B(3，2)分別代入y=kx+b，得，解得，所以直線AB的表達式為 y=-x+6；下面就如何求三角形AOB的面積進行詳細的探析，供借鑒.（2）解法1 以B

3、C為底邊分割三角形如圖1，過點A作AEx軸，垂足為點E，交BC于點F，因為點A（，4）,所以直線OA的表達式為y=x,因為=2，所以=，所以BC=-=3-=，所以=BCAF+BCOD=BCAF+BCEF=BC(AF+EF)= BCAE=××4=. 圖 1點評 這是一條非常有效的解題思路，借助直線解析式確定C的坐標，從而確定底邊BC的長度，為表示三角形AOB的面積奠定基礎(chǔ)，其次，熟練確定三角形底邊的高也是解題的一個重要技巧，最后能熟練求解平行x軸的直線上兩點間的線段長等于靠近右邊的點的橫坐標與靠近左邊的點的橫坐標的差也是解題的關(guān)鍵之一.解法2 以AG為底邊分割三角形如圖2，過

4、點A作AEx軸，垂足為點E，交BC于點F，交OB于點G，因為點B（3，2）,所以直線OB的表達式為y=x,因為=,所以=1，所以AG=-=4-1=3，所以=AGBF+AGOE=AG(BF+OE)= BCAE=×3×3=.圖 2點評 這是一條非常有效的解題思路，借助直線解析式確定G的坐標，從而確定底邊AG的長度，為表示三角形AOB的面積奠定基礎(chǔ)，其次，熟練確定三角形底邊的高也是解題的一個重要技巧，最后能熟練求解平行y軸的直線上兩點間的線段長等于靠近上面的點的縱坐標與靠近下邊的點的縱坐標的差也是解題的關(guān)鍵之一.解法3 等積梯形代換法如圖3，過點A作AEx軸，垂足為點E，交OB于

5、點G，過點B作BHx軸，垂足為點H，因為點A點，點B都在反比例函數(shù)的圖像上，所以，所以所以=+=EH(BH+AE)= (3-)(2+4) =.圖 3點評 把三角形的面積轉(zhuǎn)化成與之相等的梯形的面積也是求三角形面積的有效方法之一，要熟練掌握，并能靈活運用.解法4 構(gòu)造矩形法如圖4，過點A作AFy軸，垂足為點F，過點B作BEx軸，垂足為點E，二線交于點G，則四邊形GFOE是矩形，且面積為12，三角形AOF和三角形BOE的面積為6，三角形ABG的面積為 (3-)(4-2)= ，所以=12-6-=.圖 4點評 把三角形的面積通過補形法置于一個矩形中，而矩形的面積可求，其余生成的三個三角形的面積也是可求，

6、故而三角形AOB的面積可求，這也不失為一種高效的解題思路，值得借鑒并活用.解法5 構(gòu)造坐標軸直角三角形法如圖5，過點A作AFy軸，垂足為點F，過點B作BEx軸，垂足為點E，設(shè)直線AB交y軸于點H，交x軸于點G，因為直線AB的表達式為 y=-x+6，所以點G的坐標為（，0），點H的坐標為（0,6）所以O(shè)G=，OH=6，所以三角形OGH的面積為 OGOH= ×6×=.三角形AOH的面積為 AFOH= ××6=.三角形BOG的面積為 BEOH= ×2×=,所以三角形AOB的面積為-=.圖 5解后反思這是反比例函數(shù)圖像問題中經(jīng)常出現(xiàn)的一個重要的三角形，求這個三角形的面積往往是考題的一個重要知識選項，若能熟練掌握上述五種求解方法之一，再次遇到這樣的問題，相信你一定會充滿信心的完美解答.特別是第3中解法可以歸納成一個計算公式如下：設(shè)點A( ， ),點B（,），則三角形AOB的面積為：（+）（-）.計算起來可以更簡潔.實戰(zhàn)演練（2017年葫蘆島）