第1章二維線(xiàn)性系統(tǒng)分析1-傅里葉變換.ppt

1、sinc(x)d d (x-1) =tri(x)d d (x + 0.5) =sinc(x)*d d (x-1) =tri(x) * d d (x + 0.5) =0sinc(x-1)1x2010.5 d d (x + 0.5)1x0-110.5-0.5tri(x + 0.5)0-0.510.5-1.5x恩格斯(Engels) 把傅里葉傅里葉的數(shù)學(xué)成就與他所推崇的哲學(xué)家黑格爾(Hegel) 的辯證法相提并論.他寫(xiě)道：傅里葉傅里葉是一首數(shù)學(xué)的詩(shī)，黑格爾是一首辯證法的詩(shī). 第一章第一章 二維線(xiàn)性系統(tǒng)分析二維線(xiàn)性系統(tǒng)分析Analysis of 2-Dimensional Linear System

2、1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換三角傅里葉級(jí)數(shù)三角傅里葉級(jí)數(shù)第一章第一章 二維線(xiàn)性系統(tǒng)分析二維線(xiàn)性系統(tǒng)分析Analysis of 2-Dimensional Linear System 1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換三角傅里葉級(jí)數(shù)三角傅里葉級(jí)數(shù)滿(mǎn)足狄氏條件的函數(shù) g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展為三角傅里葉級(jí)數(shù):展開(kāi)系數(shù)零頻分量, 基頻, 諧頻, 頻譜等概念， 奇、偶函數(shù)的三角級(jí)數(shù)展開(kāi) , )2sin2cos(2)(1000nnnxnfbxnfaaxgtt00)(2dxxgatt00)2cos()(2dxxnfxgantt00)2sin()(2dxxnfxgbn 1 )

3、, .2 , 1 , 0( 0tfn三角傅里葉展開(kāi)的例子三角傅里葉展開(kāi)的例子-1.201.2012345) 2cos(2x) 6cos(32x21前3項(xiàng)的和周期為t =1的方波函數(shù).)6cos(32)2cos(221)(xxxfan fn013頻譜圖1/22/-2/3三角傅里葉展開(kāi)的例子三角傅里葉展開(kāi)的例子練習(xí)練習(xí) 0-15：求函數(shù)：求函數(shù)g(x)=rect(2x)*comb(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)周期 t =1寬度 =1/212)(24141220dxdxxgattt2sinc4/14/1)2sin()2cos(2)2cos()(2414122nnnxdxnxdxnxx

4、ganttt0)2sin()(2220tttdxxnfxgbn頻率 f0 =1采用指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，可以使展開(kāi)系數(shù)的表達(dá)式統(tǒng)一而簡(jiǎn)潔。采用指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，可以使展開(kāi)系數(shù)的表達(dá)式統(tǒng)一而簡(jiǎn)潔。1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)滿(mǎn)足狄氏條件的函數(shù)滿(mǎn)足狄氏條件的函數(shù) g(x) 具有有限周期具有有限周期t t,可以在可以在(- ,+ )展為展為指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù): 1 ), .2, 1, 0( , )2exp()(00tfnxnfjcxgnn展開(kāi)系數(shù)展開(kāi)系數(shù)tt00)2exp()(1dxxnfjxgcn零頻分量零頻分量, 基頻基頻, 諧頻諧頻, 頻譜等概念頻

5、譜等概念指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)和三角傅里葉級(jí)數(shù)是同一種級(jí)數(shù)的兩種表指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)和三角傅里葉級(jí)數(shù)是同一種級(jí)數(shù)的兩種表示方式，一種系數(shù)可由另一種系數(shù)導(dǎo)出。示方式，一種系數(shù)可由另一種系數(shù)導(dǎo)出。1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)思考題思考題利用歐拉公式，證明指數(shù)傅里葉系數(shù)與三角傅里葉系數(shù)之間利用歐拉公式，證明指數(shù)傅里葉系數(shù)與三角傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系：的關(guān)系：2 ,2 ,200nnnnnnjbacjbacac1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換函數(shù) (滿(mǎn)足狄氏條件) 具有有限周期t,可以展為傅里葉級(jí)數(shù):)1 2exp()1 2

6、exp()(1)(22xnjdxxnjxgxgnttttt展開(kāi)系數(shù)Cn頻率為n/t的分量22)1 2exp()(1)1 2exp()(tttttdxxnjxgCxnjCxgnnnn級(jí)諧波頻率:n/t相鄰頻率間隔: 1/t1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換非周期函數(shù)可以看作周期為無(wú)限大的周期函數(shù)非周期函數(shù)可以看作周期為無(wú)限大的周期函數(shù):)1 2exp()1 2exp()(1lim)(22xnjdxxnjxgxgntttttt由于由于t t 分立的分立的n級(jí)諧波頻率級(jí)諧波頻率 n/t t f, f: : 連續(xù)的頻率變量連續(xù)的頻率變量 相鄰頻率

7、間隔相鄰頻率間隔: : 1/t t 0, 0, 寫(xiě)作寫(xiě)作df, 求和求和積分積分) 2exp() 2exp()()(fxjdxfxjxgdfxg展開(kāi)系數(shù)展開(kāi)系數(shù),或頻率或頻率f分量的權(quán)重分量的權(quán)重, G(f), 相當(dāng)于分立情形的相當(dāng)于分立情形的Cn1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換 寫(xiě)成兩部分對(duì)稱(chēng)的形式:這就是傅里葉變換和傅里葉逆變換dffxjfGxgdxfxjxgfG) 2exp()()() 2exp()()(1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform一、定義及存在條件一、定義及存在條件函數(shù)函數(shù)f(

8、x,y)在整個(gè)在整個(gè)x-y平面上絕對(duì)可積且滿(mǎn)足狄氏條件平面上絕對(duì)可積且滿(mǎn)足狄氏條件(有有有限個(gè)間斷點(diǎn)和極值點(diǎn)有限個(gè)間斷點(diǎn)和極值點(diǎn),沒(méi)有無(wú)窮大間斷點(diǎn)沒(méi)有無(wú)窮大間斷點(diǎn)), 定義函數(shù)定義函數(shù)dxdyyfxfjyxfffFyxyx)(2exp),(),(為函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換, 記作: F(fx,fy)= f(x,y)=F.T.f(x,y), 或或 f(x,y) F(fx,fy)F.T.f(x,y): 原函數(shù), F(fx,fy): 像函數(shù)或頻譜函數(shù)dxKfxF),()()(變換核積分變換:傅里葉變換的核:exp(-j2fx)1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform一、

9、定義(續(xù))由頻譜函數(shù)求原函數(shù)的過(guò)程稱(chēng)為傅里葉逆變換由頻譜函數(shù)求原函數(shù)的過(guò)程稱(chēng)為傅里葉逆變換:f(x,y)和F(fx,fy)稱(chēng)為傅里葉變換對(duì)記作: f(x,y)= -1F(fx,fy). 顯然 -1 f(x,y)= f(x,y) 綜合可寫(xiě): f(x,y) F(fx,fy)F.T.F.T.-1x (y) 和和 fx (fy )稱(chēng)為一對(duì)共軛變量稱(chēng)為一對(duì)共軛變量, 它們?cè)诓煌鼈冊(cè)诓煌姆懂牭姆懂?時(shí)空域或頻域時(shí)空域或頻域) 描述同一個(gè)物理對(duì)象描述同一個(gè)物理對(duì)象.yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp),(),(1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform一、定義

10、(續(xù))描述了各頻率分量的相對(duì)幅值和相移描述了各頻率分量的相對(duì)幅值和相移.x, y, fx , fy 均為實(shí)變量，F(xiàn)(fx,fy)一般是復(fù)函數(shù), F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf f (fx,fy)振幅譜振幅譜位相譜yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp),(),(F(fx,fy)是是f(x,y)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform廣義 F.T.對(duì)于某些不符合狄氏條件的函數(shù), 求F.T.的方法.例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可積對(duì)某個(gè)可變換函數(shù)組成的系列取極限不符合狄氏條件的函數(shù),函數(shù)系列變換式的極限原來(lái)

11、函數(shù)的廣義F. T.可定義: g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 則 g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 二、廣義 F.T.根據(jù)廣義傅立葉變換的定義和d 函數(shù)的定義: g(x,y)=limt2sinc(tfx)sinc(tfy) = d(fx, fy) t 則 rect(x/t)rect(y/t) =t2sinc(tfx)sinc(tfy) 1 = d(fx, fy)按照廣義變換的概念可以得出一系列特殊函數(shù)的F.T.rect( )tx) (sinc )sin()( 21)

12、 2exp( 21) 2exp() 2exp()(rect2/2/2/2/xxxfjfjxxxxxfffeefjxfjfjdxxfjdxxfjxxxtttttttttt思考題:利用 rect(x)=sinc(f)計(jì)算dfff0)sin(重要推論: rect(x) =sinc(fx)1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 二、二、 極坐標(biāo)下的二維傅里葉變換和傅里葉極坐標(biāo)下的二維傅里葉變換和傅里葉-貝塞爾變換貝塞爾變換特別適合于圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)的特別適合于圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)的F.T. 依F.T.定義: sincos )(tan122ryrxxyyxr空域fffsinco

13、s )(tan122yxxyyxffffff頻域極坐標(biāo)變換dxdyyfxfjyxfffFyxyx)(2exp),(),(1-2 二維傅里葉變換二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 極坐標(biāo)下的二維傅里葉變換極坐標(biāo)下的二維傅里葉變換令:)sin ,cos(),()sin ,cos(),(fffrrfrgFG 則在極坐標(biāo)中:fff200)cos(2exp)sin,cos( )sin,cos(rdrrjrrfdF則極坐標(biāo)下的的二維傅里葉變換定義為：ffff200200)cos(2exp),(),()cos(2exp),(),(drjGdrgdrrjrrgdG1-2 二維傅里葉變換

14、二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 傅里葉傅里葉-貝塞爾變換貝塞爾變換0000)2()(2)()2()(2)(drJGrgdrrJrrgG圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)的F.T.仍是圓對(duì)稱(chēng)函數(shù), 稱(chēng)為F-B (傅-貝)變換,記為G() = g(r), g(r) = -1G()drdrjrrgG020)cos(2exp)( ),(ff 當(dāng) f 具有園對(duì)稱(chēng)性，即僅是半徑r的函數(shù):f(x,y)= g(r,) = g (r). 依F.T.定義: 利用貝塞爾函數(shù)關(guān)系利用貝塞爾函數(shù)關(guān)系)(2)cos(exp020aJdjaf1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 傅里葉-貝

15、塞爾變換例: 利用F-B變換求圓域函數(shù)的F.T.定義: 是圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)22 , , 01 , 1)(circyxrrr其它100)2(2)(circdrrrJr作變量替換, 令r =2r, 并利用:xxxJdJ010)()( )2() (21)(circ12002JdrrJrr1-2 二維傅里葉變換2-D Fourier Transform三. 虛、實(shí)、奇、偶函數(shù)的 F.T.將頻譜函數(shù)G(f)分別寫(xiě)成實(shí)部(余弦變換)和虛部(正弦變換), 然后根據(jù)g(x)的虛、實(shí)、奇、偶 性質(zhì)討論頻譜的相應(yīng)性質(zhì).注意注意: 并非實(shí)函數(shù)的頻譜一定是實(shí)函數(shù)并非實(shí)函數(shù)的頻譜一定是實(shí)函數(shù).只有厄米函數(shù)只有厄米函數(shù)(實(shí)部實(shí)

16、部為偶函數(shù)為偶函數(shù),虛部為奇函數(shù)虛部為奇函數(shù))的頻譜才一定是實(shí)函數(shù)的頻譜才一定是實(shí)函數(shù).例例: rect (x) (實(shí)、偶實(shí)、偶) sinc(fx) (實(shí)、偶實(shí)、偶) F.T.但是但是, rect (x-1) (實(shí)、非偶實(shí)、非偶) 復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù) F.T.1-2 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform四、 F.T.定理 - F.T.的基本性質(zhì)1. 線(xiàn)性定理線(xiàn)性定理 Linearity 設(shè) g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T.F.T.2. 空間縮放空間縮放 Scaling (相似性定理）相似性定理）g(x,y)+b h(x,y)= G(f

17、x,fy) + b H(fx,fy)F.T.是線(xiàn)性變換 bfafGabbyaxgyx,1),(1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 空間縮放注意空域坐標(biāo)(x,y)的擴(kuò)展(a,b1),導(dǎo)致頻域中坐標(biāo)(fx,fy)的壓縮及頻譜幅度的變化. 反之亦然.g(x)x0 1/21/21g(ax) a=2x01/41/41fG(f)01-11f02-21/2)(1afGax空域壓縮F.T.F.T.頻域擴(kuò)展1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 3. 位移定理 Shifting g(x-a, y-b)= G(fx, fy) exp-j2

18、(fxa+fyb) 設(shè) g(x,y) G(fx,fy), F.T.頻率位移頻率位移:原函數(shù)在空間域的相移原函數(shù)在空間域的相移,導(dǎo)致頻譜的位移導(dǎo)致頻譜的位移.g(x,y) expj2(fax+fby)= G(fx- fa, fy- fb)空間位移空間位移:原函數(shù)在空域中的平移原函數(shù)在空域中的平移,相應(yīng)的頻譜函相應(yīng)的頻譜函數(shù)振幅分布不變數(shù)振幅分布不變,但位相隨頻率線(xiàn)性改變但位相隨頻率線(xiàn)性改變.推論: 由1= d (fx,fy)expj2(fax+fby)= d (fx- fa, fy- fb)復(fù)指函數(shù)的復(fù)指函數(shù)的F.T.是移位的是移位的d d 函數(shù)函數(shù)1-2 二維傅里葉變換Fourier Tran

19、sform四、 F.T.定理 4. 帕色伐(Parseval)定理若若g(x)代表加在單位電阻上的電流或電壓代表加在單位電阻上的電流或電壓,則則| g(x) |2dx 代表信號(hào)的總能量代表信號(hào)的總能量(或總功率或總功率) | G(f) |2代表能量代表能量(功率功率)的譜密度的譜密度(單位頻率間隔單位頻率間隔的能量或功率的能量或功率)yxyxdfdfffGdxdyyxg22),(),( 設(shè) g(x,y) G(fx,fy), F.T.Parseval定理說(shuō)明,信號(hào)的能量由|G(f)|2曲線(xiàn)下面積給出.或者說(shuō)等于各頻率分量的能量之和能量守恒1-2 二維傅里葉變換Fourier Transform四、 F.T.定理 - Parseval定理的證明dxdfxfjfGdffxjfGdxxgxgdxxg)2exp() (*)2exp()()(*)()(2交換積分順序交換積分順序,先對(duì)先