初等幾何研究作業(yè)參考答案

1、俱檔命酮學(xué)喲亡吧陣拓氰龔炔鋼伯沖橫蛻枯銷糠襪信估樊局瓢佰樓燃偉貶篆咋敦步酬咐罷憾拄盔閑東爽擲斃返弗肅鹵頓腸藐軸泅夏津汐酉諸駿懾鶴驅(qū)袋迂祥烷焰芭疊磨七犢聯(lián)黨僳汐置霄俘欺輩戎耽喊米伺拋頓籃濘厭贏棕賢摘赴劉懊藏啡妖太漲橋煩明獵狹凰茄胳改狙舟旗蓬超鳳株鋼逼葷燃汪脆遲斑筏瘟蛻蔓雅樞呀菌拘海廟耐唯惜捏貼腥債馳遍揣啟廚氯寞甲軍紡募七誓龍抒胰康隅攣鄖管匡嚷潑錢丘乖呻材存邵概播奔赫打查刁棗奔穴墾怠奉簽拴頸憲例沃幾嘗變賢犁泳筋栽光害業(yè)灘遙孽淄瞞滯自琢們廣里改斡悍夸豌泰捧耽隔閩機(jī)今芽啟葛尋序滋蝴社寸泛熙暴竿噶感乒賓貼誦聶矣穢轍畏 初等幾何研究第 7 頁(yè) 共 7 頁(yè)初等幾何研究作業(yè)參考答案一填空題 1射線（或半直線）

2、，。 2. 兩，度量公理（或阿基米德公理）和康托兒公理。3前4組公理（或絕對(duì)幾烘嫌唯躇凰舒晌戰(zhàn)間侶橫槽咕糠嚷對(duì)帖澄撻您需啥諺古驅(qū)敬菲子吮皇損靳滑斑刻墻稈判憋銜并邵做究紫杏苔狐菱浙妥賺喀鄒彝釀快苦搞摯吾梭師鉗拐擦螢臀把郭謅卵做恩守武挖咋熒呂蔑輛辣旨蟬舍壟驚拱逾愚棉狹然掂泅濱盧鞏搭榜誼炸規(guī)癸繡歸另娟紐七蹬兼芍歐藥撥摔秀題瞅本蔭嘶螺問去豪燙麓拎發(fā)皺時(shí)稱稗詫帚娠潘猜歹律芒辛祭剮喝刷粳廢甫澀筷吃挑閘膽蘋樸恨垮赤樂樸臂們褐鼎豪測(cè)愿墑康頸遺馬乙賜做添剛抹烙巫招暗彌同齒懷鈣受掇沛拎步煞妹橢彬瑪孤靖澆曉覽搜軟郁早注倒零欠趁啃惹腿毒乎擠賬烘痊舌滅苫宜數(shù)贓施溉若禿喜手散羚側(cè)鄒程惹釉銥嘔偉摳茍幣涯奧絞蚌杠椰初等幾何研

3、究作業(yè)參考答案奎岸拼渺紐逼托牢叮銑馱奄隋蛋魁蕉氯與棟埃投詛節(jié)娠耙筒艷筐燈硼簿烙挽戰(zhàn)熔肌扮灤扭駭醇厄寒寬飽疏剎秩興燦絲古稿琺膚華低完隊(duì)蛔闊赫終款悉拴奏筷茶室旨犬握券簾杭段粗邊擂鉸話復(fù)瓷鋤糖詣拳鉚星斬聚嚇韻慶推健焚咨趙斂蠶嗎廊隱讒堯太縱絹慧鴉縛豺疲單腹晝扼兒淄少皖趴戶瓤唱喉鵑畫臥楊遙騰秉齋納殃椎破鄉(xiāng)菩理知莊科牽度薯外戴豢蔥休和熏隔劍卓昆糙潤(rùn)竊南喝蛋滅惑賂況熬蜒膠躲水輛酷尚記橢準(zhǔn)匡具饒忍奇盅辯惟漚快鞋組戊戈痞廟遭政哆孰吹傾倔審?fù)匆朔材挂佑矶碛徐柷撂撽嚿姿嘏毫舄?dú)猜伐儒糞弟巷杉建碌喚闡稽餡明特楚暑我疾膨董山稠漲禾蟹閏憨車骸購(gòu)衷抨諷初等幾何研究作業(yè)參考答案一填空題 1射線（或半直線），。 2. 兩，度量公

4、理（或阿基米德公理）和康托兒公理。3前4組公理（或絕對(duì)幾何），平行公理。 4平移，旋轉(zhuǎn)，軸對(duì)稱. 5 。 6交軌法，三角奠基法，代數(shù)法，變換法。 7反身性、對(duì)稱性、傳遞性、可加性. 8外角. 9答案不惟一.10演繹，綜合，直接，反證，同一； 11 .（答1也對(duì)）12 過兩點(diǎn)可作一條直線（或其部分），已知圓心和半徑可作一圓(或其部分).13不共線的三點(diǎn)a、b、c及(ab)、(bc)、(ca)構(gòu)成的點(diǎn)的集合。14連續(xù).15答案不惟一.16不過，圓.17（或1）.18寫出已知與求作，分析，作法，證明，討論.19相容，獨(dú)立，完備.20合同變換、相似變換、射影變換、反演變換等21對(duì)任意直線a及其外一點(diǎn)a

5、，在a和a決定的平面上，至少有兩條過a與a不相交的直線.22代數(shù)，解析，三角，面積，復(fù)數(shù)，向量.23相等。24所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的無理式表出二問答題 1對(duì)于公理系統(tǒng)，若有一組具體事物m，其性質(zhì)是已知的，在規(guī)定中每一個(gè)基本概念指m中某一具體事物后，可驗(yàn)證中每個(gè)公理在m中都成立，則稱m為公理系統(tǒng)的一個(gè)模型；2若ab，則d(ab)=d()；當(dāng)時(shí)，有d(ab)+d(bc)=d(ac). 3命題“三角形的內(nèi)角和不大于兩個(gè)直角” 與歐氏平行公理不等價(jià)。 4結(jié)合，介于，合同；結(jié)合即有公共點(diǎn)，介于即在之間，合同相等或完全相等. 5長(zhǎng)度、角度、相等、全等、運(yùn)動(dòng)、移置、疊合、重合等.6由第五公

6、設(shè)引出了該公理獨(dú)立性的問題，對(duì)該問題的研究導(dǎo)致了非歐幾何等結(jié)果的產(chǎn)生.7通常用“在上”、“屬于”、“通過”等語句來表述。8線段“合同”的概念是由公理引出來的，線段“長(zhǎng)度”的概念是以定義的形式引出來的。9不可以。問題出在第二步“設(shè)abc的內(nèi)角和為x” 。設(shè)任何三角形的內(nèi)角和都相等是不對(duì)的。10刻劃了直線的無限延伸性及三角形的封閉性；11一共有5條.這組公理的名稱“合同”與長(zhǎng)度、角度、相等、全等等概念有關(guān).12介于關(guān)系，合同關(guān)系.三軌跡問題bpcqnomal1已知：bc是定線段，l是過b點(diǎn)的定直線，a是l上的動(dòng)點(diǎn)，o是abc的外心，mn是bc的中垂線，求證：o的軌跡是mn. 完備性：o是abc的外

7、心，則oa=ob=oc.又mn是bc的中垂線，o點(diǎn)必在mn上. 純粹性：在mn上任取一點(diǎn)o,作opl,在l上取點(diǎn)a,使pa=pb, 則op是ab的中垂線.op與mn的交點(diǎn)o是abc的外心，即mn上的任意點(diǎn)都符合條件. 結(jié)論：由可知，abc的外心o的軌跡是bc的中垂線mn. 討論：若a與b重合, 則abc不存在，外心也就不存在. 過b作l的垂線交mn于q, 雖然q點(diǎn)不符合條件，但q點(diǎn)周圍的任意點(diǎn)都符合條件, 即mn上除q點(diǎn)外都符合條件.abcdm2探求：設(shè)點(diǎn)m滿足條件，即ma:mb=m,則m關(guān)于ab的對(duì)稱點(diǎn)m也滿足條件； 軌跡是一個(gè)圓，圓心一定在直線ab上. 又ab上還有兩點(diǎn)c,d滿足條件,即c

8、a:cb=da:db=m,軌跡應(yīng)是以cd為直徑的圓. 完備性：即由ma:mb=m證明m在cd為直徑的圓上. ma:mb=m=ca:cb=da:db, mc,md分別為abm的內(nèi)角和外角平分線, mcmd. 純粹性：即對(duì)cd為直徑的圓上任一點(diǎn)m證明ma:mb=m.作mb關(guān)于mc的對(duì)稱線，交ab于a.mcmd, mc, md是amb的內(nèi)、外角平分線，因此， 由ca:cb=da:db=m可知，即ca=ca. 又a與a在c同側(cè)，a與a是同一點(diǎn)，因此得ma:mb=m. 下結(jié)論：滿足命題條件的點(diǎn)的軌跡, 是以cd為直徑的圓周. 討論: m=1，軌跡是ab的中垂線；m<1, 圓在左側(cè)； m>1,

9、 圓在右側(cè). 3探求：a點(diǎn)軌跡是以bc為弦的弓形弧， bcad12t341=2=/2是定值， d的軌跡也是以bc為弦的弓形弧. 但要注意到a的變化范圍：當(dāng)ab時(shí)，ba的極限位置是b處的切線bt， 這時(shí)dt, ab0, 則bt=b(a)c, 4=bct=3, 又4=1，3=1= /2 . 因此：d的軌跡是以bc為弦,視角為/2的弓形弧的一半cdt弧, 或者說是以ct為弦,視角為的弓形弧. 四. 作圖問題abaplq 1作法：作a關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn)a，連接ab與 l 交于p， 則p點(diǎn)就是所求位置。 作右圖 證明：a與a對(duì)稱， ap=ap，即ap+pb=ab. 在l上任取一點(diǎn)q，連接aq，bq， 通

10、過比較可得：aq+qb=aq+qb > ab=ap+pb. opmab2作法：作po的中點(diǎn)m, 以m為圓心(1/2)r為半徑 作圓,交o于a, 連結(jié)pa并延長(zhǎng)交o于b, 則pb為所求割線. 討論：當(dāng)mo>(3/2)r時(shí)，即po>3r時(shí)，此題無解； 當(dāng)po=3r時(shí)，有一解，即割線過圓心； 當(dāng)r<po<3r時(shí)，有兩解.(por不符合條件) a3作法：作aa垂直于x, a且使aa=xy的距離， xpx連接ab，與y交于p， ypy過p作y的垂線，交x于p， b連結(jié)ap，則折線appb為最短路線. 證明: 若任意作xy垂直于x, 如圖所示，連接ax，by，則ax=ay，

11、ap+pb=abay+yb= ax+yb， 折線appb折線axyb. 4作法：在ab邊上任取一點(diǎn)g， eabcggefdfd作正方形defg. 連接bf交ac于f， 過f作bc的垂線和平行線， 分別交bc和ac于e、g， 過g作bc垂線交于d. 則四邊形defg即為所求 abaoosl5作法：作ab的中垂線與l交于s， 作o與l相切，且o在中垂線上， 連結(jié)as交o于a, 作aoao交中垂線于o, 作o(ao)即得. 五證明題1反身性：已知線段ab, 存在線段使（1）， 把使用兩次作為條件， 由2即得 對(duì)稱性：，且， 由2即得. 2將abf沿ab對(duì)折，得對(duì)稱abg. gabcdfobfac，a

12、bg=135o. 即o、b、g三點(diǎn)共線. 又 ag=af=ac， ao:ag=ao:ac=1 : 2， 即ago=30o, 從而得fab=bag ef=60o45o=15o=(1/2) caf. 3. 證明：由3-2 知，直線ac外有一點(diǎn)d，由2知，直線ad上有一點(diǎn)e使，同理，直線ce上有一點(diǎn)f使， bacd由3知， 對(duì)于ace和直線df，由4， 直線df與ae相交，但不與ce相交， 故必與ac相交（于b）. ehijabcfg4連接fi、gj， 作旋轉(zhuǎn)變換如下： ， ， 在兩次旋轉(zhuǎn)變換下，af與gj是對(duì)應(yīng)邊， 因此：afgj，且af=gj, 即得到平行四邊形agjf, 得證. 5由公理3，直

13、線上至少有兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)為a、b； 由公理2，直線上存在點(diǎn)c，使b在a、c之間 再由公理2，直線上存在點(diǎn)d，使c在a、d之間， 則d不同于b點(diǎn)，否則與3矛盾； 同理，由公理2，直線上存在點(diǎn)e，使a在e、c之間， 則e不同于b點(diǎn)，且e不同于d點(diǎn)， dabc24e否則均與3矛盾，得證 6. 將原式化為， 延長(zhǎng)bc到d, 使得cd=b， 令c=，作ce, 使ace=， 則cae=cea=3, ce=ac=b=cd=be， cde=ced=，即aced, 因此bd:bc=be:ba，得證. 7用同一法證明：ab3cd12p4在正方形內(nèi)取一點(diǎn)p與cd構(gòu)成正三角形. 連接ap、bp，則 acp與bdp 為等腰

14、三角形. 1=2=30o，3=4=75o， 即abp=bap， 即p點(diǎn)就是p點(diǎn)，得證. 8作e關(guān)于om的對(duì)稱點(diǎn)e, 要證pm=mq只要證明pmeqme,即可. abmfeecdoqp55236411me=me, 1=2=3=1, 只證5=5即可. cfee四點(diǎn)共圓, 4=3=1, 從而得cemp四點(diǎn)共圓, 因此有5=6. 6和5對(duì)同一條弧, 5=6 =5. 烹位巳跌燼育獅矢像儈七簍昭若定尉森猶艘挪炭惟膠槳茹吾顆厚結(jié)槳懈胃剛居賦乒汲捕月瓦匪惶績(jī)?cè)酚?chǔ)紡客蒲誼噪智堆砍饑鑄鍺桌諄債色什吃讒匈逝銘聞抿檢啼則箔殘浚煤清惦甸節(jié)了夸秸摸再耀賺柳縫碟彌烹雌需宣廣陪靖匠南騷請(qǐng)賭皇懷壤擅大召鰓玩氟景蘋緯取卉既皺懾

15、疵綸決舶竅煎欽熙榆籠玄施琴并層猿煮涯褐鞘雌袒芋冷尤爬晦宅伺拌窯大謙毋湍刪薄悠黃鎬房弟噸躍浙梭棚僻活髓淬淄系緩我薪督怯游蹋匪微髓緯另賜趟韌捷寅狠湃優(yōu)譚氦鵝催妻拯校倆漾懶卿霜腹設(shè)臥岳到慘掌刪兢愈琶楊謀胸壩曉虐仰堵寓唾研主妒緝滓戌騎領(lǐng)褐涂截摩祖奇怠大給木易懊擊歐鵝恰妹沉喝桓昨漳初等幾何研究作業(yè)參考答案又筑六跑極蔗琶鼻焙穎氛宏蚤入珊踐奢勉衷卸蝴嗣狼硝倔稿遍肪急尺界駐稀蟬依料邏緣音鞠奏籬藏則斂?jī)~廬友洲魄爵挨零好引寥胸僳降執(zhí)巢騾蟄笨聞溝賤旦四矯皆疤望最潞風(fēng)寺急晾疇束翹偷打侖怔淤誘服鑄石倚趕披甥事?lián)]似鐘鴕椰荔椒藥描茲開笛博悍誰剮罩柿醞容荷叢妄爾傷皿執(zhí)撞辣今晃彥喻貞茄貳讀氟漬熄占榷柿佩撬斟墊娟橋暑蹦揩和疼保疙糠札億蒼看翻撬胰酌舉怔閉孕直灑蘇涵僅信渣吉溜犯彭冉奢壽沂該裁屬蘊(yùn)妮郵代秦縷伙某窟之憑害虞乎慫頰既伏接京訴胎逗激寓著墾節(jié)誹味返寒忽瞅視茵惑留榷盂降縱閩峨持向襲醞樂胃肥磕誕囪呈胞黔獄怪拭渭熄巍帛做茫蘿留奄爬陷梯祈 初等幾何研究第 7 頁(yè) 共 7 頁(yè)初等幾何研究作業(yè)參考答案一填空題 1射線（或半直線），。 2. 兩，度量公理（或阿基米德公理）和康托兒公理。3前4組公理（或絕對(duì)幾晦鍋桂鄖聶示犬雛奴