最新圖形的折疊問題北師大版

1、圖形的折疊問題圖形的折疊問題（復(fù)習(xí)課）（復(fù)習(xí)課） 幾何研究的對象是：幾何研究的對象是：圖形的形狀、大小、圖形的形狀、大小、位置關(guān)系；位置關(guān)系； 主要培養(yǎng)三方面的能力：主要培養(yǎng)三方面的能力：思維分析能力、思維分析能力、空間想象能力和邏輯推理能力；空間想象能力和邏輯推理能力； 折疊型問題的特點(diǎn)是：折疊型問題的特點(diǎn)是：折疊后的圖形具折疊后的圖形具有軸對稱圖形的性質(zhì)；有軸對稱圖形的性質(zhì)； 兩方面的應(yīng)用：兩方面的應(yīng)用：一、在一、在“大小大小”方面的方面的應(yīng)用；二、在應(yīng)用；二、在“位置位置”方面的應(yīng)用。方面的應(yīng)用。 折疊型問題在折疊型問題在“大小大小”方面的應(yīng)用，通常有求方面的應(yīng)用，通常有求線段的長，角的

2、度數(shù)，圖形的周長與面積的變化關(guān)線段的長，角的度數(shù)，圖形的周長與面積的變化關(guān)系等問題。系等問題。一、在一、在“大小大小”方面的應(yīng)方面的應(yīng)用用1、求線段與線段的大小關(guān)系、求線段與線段的大小關(guān)系例例1 如圖，如圖，ad是是abc的中線，的中線， adc=45，把把a(bǔ)dc沿沿ad對對折，點(diǎn)折，點(diǎn)c落在點(diǎn)落在點(diǎn)c的位置，求的位置，求bc與與bc之間的數(shù)量關(guān)系。之間的數(shù)量關(guān)系。abcdc解解 由軸對稱可知由軸對稱可知 adc adc , adc= adc=45, cd=cd=bdbc d為為rt bc= 2 bd= bc 22練習(xí)練習(xí)1 如圖，有一塊直角三角形如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊紙片，兩直

3、角邊ac=6，bc=8，現(xiàn)將直角邊現(xiàn)將直角邊ac沿直線沿直線ad折疊，折疊，使它落在斜邊使它落在斜邊ab上，且與上，且與ae重重合，則合，則cd等于（等于（ ） (a)2 (b)3 (c )4 (d)5acbde例例2 如圖，折疊矩形的一邊如圖，折疊矩形的一邊ad，點(diǎn)，點(diǎn)d落在落在bc邊上點(diǎn)邊上點(diǎn)f處，已知處，已知ab=8，bc=10，則，則ec的長是的長是 。bcadef解解 設(shè)設(shè)ec=x，則，則de=8-x，由軸對稱可，由軸對稱可知：知：ef=de=8-x，af=ad=10，又因，又因ab=8，故，故bf=6，故，故fc=bc-bf=4。在。在rtfce中，中，42+x2=(8-x)2，解

4、之得，解之得x=3b練習(xí)練習(xí)2 如圖，在梯形如圖，在梯形abcd中，中，dc ab，將梯形對折，使點(diǎn)，將梯形對折，使點(diǎn)d、c分別落在分別落在ab上的上的d、c處，處，折痕為折痕為ef。若。若cd=3，ef=4，則則ad+bc= 。abdcfedc2練習(xí)練習(xí)3 如圖，將矩形如圖，將矩形abcd紙片紙片對折，設(shè)折痕為對折，設(shè)折痕為mn，再把，再把b點(diǎn)疊點(diǎn)疊在折痕線在折痕線mn上，若上，若ab= 3，則，則折痕折痕ae的長為（的長為（ ）。）。 (a) 3 3/2 (b) 3 3/4 (c ) 2 (d) 2 3abcdbngmec2、求角的度數(shù)、求角的度數(shù)例例3 將長方形將長方形abcd的紙片，的

5、紙片，沿沿ef折成如圖所示；已知折成如圖所示；已知 efg=55，則則 fge= 。bcadfedcg70練習(xí)練習(xí)4 如圖，矩形如圖，矩形abcd沿沿be折疊，使點(diǎn)折疊，使點(diǎn)c落在落在ad邊上邊上的的f點(diǎn)處，如果點(diǎn)處，如果 abf=60，則則 cbe等于（等于（ ）。）。 (a)15 (b)30 (c )45 (d)60abcdefa3、求圖形的全等、相似和圖形的周長、求圖形的全等、相似和圖形的周長例例4 如圖，折疊矩形如圖，折疊矩形abcd一邊一邊ad，使點(diǎn)使點(diǎn)d落在落在bc邊的一點(diǎn)邊的一點(diǎn)f處，已知折處，已知折痕痕ae=5 5 cm，且，且tan efc=3/4. (1)求證：求證：afb

6、fec； (2)求矩形求矩形abcd的周長。的周長。badcef證明：證明：（1）b= c= d=90，又根據(jù)題意又根據(jù)題意rtade rtafe, afe=90 , afb= fec ,afbfec.解解（2）由）由tan efc=3/4，設(shè)，設(shè)ec=3k，則，則fc=4k，在在rtefc中，得中，得ef=de=5k。dc=ab=8k, 又又abffce, = 即即 =abbf8kbffcce4k3k bf = 6k , af = 10k在在rtaef中中, af2+ef2 = ae2 (10k)2 + (5k)2 = (5 5)2 , k2 = 1 , k = 1 , k = 1 (取正值

7、取正值),矩形的周長為矩形的周長為36k，即，即36cm。練習(xí)練習(xí)5 如圖，將矩形紙片如圖，將矩形紙片abcd沿一對角線沿一對角線bd折疊一次（折痕折疊一次（折痕與折疊后得到的圖形用虛線表與折疊后得到的圖形用虛線表示），將得到的所有的全等三角示），將得到的所有的全等三角形（包括實(shí)線、虛線在內(nèi)）用符形（包括實(shí)線、虛線在內(nèi)）用符號寫出來。號寫出來。badcef練習(xí)練習(xí)6 如圖，矩形紙片如圖，矩形紙片abcd，若把若把a(bǔ)be沿折痕沿折痕be上翻，使上翻，使a點(diǎn)恰好落在點(diǎn)恰好落在cd上，此時，上，此時，ae:ed=5:3，be=5 5，求矩形求矩形的長和寬。的長和寬。adcbef答案：答案：abd c

8、db, cdb edb, edb abd, abf edf.答案：矩形的長為答案：矩形的長為10，寬為，寬為8。4、求線段與面積間的變化關(guān)系、求線段與面積間的變化關(guān)系例例5 5 已知一三角形紙片已知一三角形紙片abcabc，面積為，面積為2525，bcbc的長為的長為1010， b b和和 c c都為銳角，都為銳角，m m為為abab上的一動點(diǎn)上的一動點(diǎn)(m(m與與a a、b b不重合不重合) )，過點(diǎn)，過點(diǎn)m m作作mnbcmnbc，交，交acac于點(diǎn)于點(diǎn)n n，設(shè)，設(shè)mn=x. mn=x. (1)(1)用用x x表示表示amnamn的面積的面積s saamn。 (2)amn(2)amn沿沿

9、mnmn折疊，設(shè)點(diǎn)折疊，設(shè)點(diǎn)a a關(guān)于關(guān)于amnamn對稱的點(diǎn)為對稱的點(diǎn)為a a，aamnmn與四邊形與四邊形bcmnbcmn重疊部分的面積為重疊部分的面積為y.y.試求出試求出y y與與x x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x x的取值范圍；的取值范圍；當(dāng)當(dāng)x x為何值時，重疊部分的面積為何值時，重疊部分的面積y y最大，最大為多最大，最大為多少？少？解（解（2）amn amn，設(shè)設(shè)amn中中mn邊上的高為邊上的高為h1，aef中中ef邊邊上的高為上的高為h2.efmn,aefamn. amnabc, aefabcabc中中bc邊上的高邊上的高h(yuǎn)=5,h1:x=5:10,

10、h1= x .又又h2=2h1-5=x-5, = ( )2,saef=( )225=(x-5)2saefsabch25x-55y=samn-saef= x2-(x-5)2= - x2+10 x 25.當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)a a在四邊形在四邊形bcnmbcnm內(nèi)或在內(nèi)或在bcbc邊上邊上（如圖（如圖1 1），即），即0 x50 x5時，時，y=y= x x2 2。bcamna圖圖1當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)a在四邊形在四邊形bcnm外，即外，即5x10時，時，y=samn-saef（如圖（如圖2）bcamnaef圖圖2綜上所述綜上所述，當(dāng)，當(dāng) 0 x5 時，時，y= x2；當(dāng)當(dāng)5 x 10 時，時，y = - x2+10 x

11、 - 25。 當(dāng)當(dāng)0 x5 時時, 取取x=5 ，y最大最大= 52=254；當(dāng)當(dāng) 5 x 254 , x=203 時時,y最大最大=253 .練習(xí)練習(xí)7 如圖，把一張邊長為如圖，把一張邊長為a的正的正方形的紙進(jìn)行折疊，使方形的紙進(jìn)行折疊，使b點(diǎn)落在點(diǎn)落在ad上，問上，問b點(diǎn)落在點(diǎn)落在ad的什么位置時，的什么位置時，折起的面積最小，并求出這最小值。折起的面積最小，并求出這最小值。abcdmegnabcdmegnfo解：解： 如圖，設(shè)如圖，設(shè)mn為折痕，折起部為折痕，折起部分為梯形分為梯形egnm，b、e關(guān)于關(guān)于mn對對稱，所以稱，所以bemn，且，且bo=eo，設(shè)，設(shè)ae=x，則，則be= 。

12、由由rtmob ，得：，得： ，bm= = = .作作nfab于于f，則有，則有rtmnf ,fm=ae=x,從從而而cn=bm-fm= = 。s梯形梯形bcnm= 。=(x-a/2)2+3/8 a2 . 當(dāng)當(dāng)x=a2 時，時，smin=(38 )a2.例例6 將長方形將長方形abcd的紙片，的紙片，沿沿ef折成如圖所示，延長折成如圖所示，延長ce交交ad于于h，連結(jié)，連結(jié)gh。求證：。求證：ef與與gh互相垂直平分?；ハ啻怪逼椒帧cadfedcgh二、在二、在“位置位置”方面的應(yīng)用方面的應(yīng)用 由于圖形折疊后，點(diǎn)、線、面等相應(yīng)的位置由于圖形折疊后，點(diǎn)、線、面等相應(yīng)的位置發(fā)生變化，帶來圖形間的

13、位置關(guān)系重新組合。發(fā)生變化，帶來圖形間的位置關(guān)系重新組合。1、線段與線段的位置關(guān)系、線段與線段的位置關(guān)系證明：證明：由題意知由題意知fhge，fghe， 。又又 ，四邊形四邊形 是是 ，fe與與gh互相垂直平分?；ハ啻怪逼椒帧?、點(diǎn)的位置的確定、點(diǎn)的位置的確定例例7 已知：如圖，矩形已知：如圖，矩形aobc，以以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，ob、oa分別分別在在x軸，軸，y軸上，點(diǎn)軸上，點(diǎn)a坐標(biāo)為坐標(biāo)為(0,3)，oab=60，以，以ab為軸對折后，為軸對折后，使使c點(diǎn)落在點(diǎn)落在d點(diǎn)處，求點(diǎn)處，求d點(diǎn)坐標(biāo)。點(diǎn)坐標(biāo)。oabcdx y 解由題意知，解由題意知，oa=3，oab=60，ob=3tan60=33 .rtacb rtadb, ad=ac=ob=33 .oabcdexy過點(diǎn)過點(diǎn)d作作y軸垂線，垂足為軸垂線，垂足為e，在直角三角形在直角三角形aed中，中，ed= ，ae= ，故，故oe= 。故點(diǎn)故點(diǎn)d的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（3/23 ，- 3/2）。）。練習(xí)練習(xí)8 如圖，在直角三角形如圖，在直角三角形abc中，中，c=90，沿著沿著b點(diǎn)的一條直線點(diǎn)的一條直線be折折疊這個三角形，使疊這個三角形，使c點(diǎn)與點(diǎn)與ab邊上的邊上的一點(diǎn)一點(diǎn)d重合。當(dāng)重合。當(dāng)a滿足什么條