高數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念ppt課件

1、1第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人: 德國數(shù)學(xué)家 Leibniz 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運動的工具 (從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家 Ferma 在研究極值問題中提出.英國數(shù)學(xué)家 Newton2 在許多實際問題中，需要從數(shù)量上研究變量的在許多實際問題中，需要從數(shù)量上研究變量的變化速度。如物體的運動速度，電流強度，線密度，比熱，化學(xué)反應(yīng)速度及生變化速度。如物體的運動速度，電流強度，線密度，比熱，化學(xué)反應(yīng)速度及生物繁殖率等，所有這些在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題，即導(dǎo)數(shù)。物繁殖率等，所有這些在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題，即導(dǎo)數(shù)。 本章將通過對實際

2、問題的分析，引出微分學(xué)中本章將通過對實際問題的分析，引出微分學(xué)中兩個最重要的基本概念兩個最重要的基本概念導(dǎo)數(shù)與微分，然后再建立求導(dǎo)數(shù)與微分的運算公導(dǎo)數(shù)與微分，然后再建立求導(dǎo)數(shù)與微分的運算公式和法則，從而解決有關(guān)變化率的計算問題。式和法則，從而解決有關(guān)變化率的計算問題。3 導(dǎo)數(shù)和微分是繼連續(xù)性之后，函數(shù)研究的進(jìn)一步導(dǎo)數(shù)和微分是繼連續(xù)性之后，函數(shù)研究的進(jìn)一步深化。導(dǎo)數(shù)反映的是因變量相對于自變量變化的快慢程度和增減情況，而微分則深化。導(dǎo)數(shù)反映的是因變量相對于自變量變化的快慢程度和增減情況，而微分則是指明當(dāng)自變量有微小變化時，函數(shù)大體上變化多少。是指明當(dāng)自變量有微小變化時，函數(shù)大體上變化多少。重點重點

3、導(dǎo)數(shù)與微分的定義及幾何解釋導(dǎo)數(shù)與微分的定義及幾何解釋導(dǎo)數(shù)與微分基本公式導(dǎo)數(shù)與微分基本公式四則運算法則四則運算法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)和參量函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)和參量函數(shù)求導(dǎo)難點難點導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)，用定義求導(dǎo)，鏈?zhǔn)椒▌t導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)，用定義求導(dǎo)，鏈?zhǔn)椒▌t4問題的提出問題的提出導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)小結(jié)小結(jié) 第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念左、右導(dǎo)數(shù)左、右導(dǎo)數(shù)5一、引出導(dǎo)數(shù)概念的兩個實例設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為)(tfs 則 到 的平均速度為0tt

4、v)()(0tftf0tt 而在 時刻的瞬時速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt 0tso)(0tf)(tft6 xyo)(xfy C2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率曲線)(:xfyCNT0 xM在 M 點處的切線x割線 M N 的極限位置 M T(當(dāng) 時)割線 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx切線 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx7兩個問題的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬時速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx

5、所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題8二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義定義定義1 . 設(shè)函數(shù))(xfy 在點0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并稱此極限為)(xfy 記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數(shù)若的

6、某鄰域內(nèi)有定義 , 在點0 x處可導(dǎo)可導(dǎo), 在點0 x的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). 9說明說明: 在經(jīng)濟學(xué)中,邊際成本率,邊際勞動生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 100limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述極限不存在 ,在點 不可導(dǎo). 0 x就說函數(shù)11.,0慢程度慢程度而變化的快而變化的快因變量隨自變量的變化因變量隨自變量的變化反映了反映了它它處的變化率處的變化率點導(dǎo)數(shù)是因變量在點點導(dǎo)數(shù)是因變量在點 x.)(,)(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在開開區(qū)區(qū)間

7、間就就稱稱函函數(shù)數(shù)處處都都可可導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)的的每每點點在在開開區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)IxfIxfy 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：12.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或記作記作的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)這個函數(shù)叫做原來函數(shù)這個函數(shù)叫做原來函數(shù)導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值的一個確定的的一個確定的都對應(yīng)著都對應(yīng)著對于任一對于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(00 xxxfxf 13 函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)是一個局部性概念，它反映了函數(shù)在該點處的變化快慢，函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)是一個局部性概念，它反映了函數(shù)在該點處的變化快慢

8、，而與臨近點是否可導(dǎo)無關(guān)。存在僅在某一點可導(dǎo)，而在其余點不可導(dǎo)的函數(shù)。而與臨近點是否可導(dǎo)無關(guān)。存在僅在某一點可導(dǎo)，而在其余點不可導(dǎo)的函數(shù)。 導(dǎo)數(shù)定義式中的導(dǎo)數(shù)定義式中的x x必修連續(xù)地趨于零。必修連續(xù)地趨于零。14三、由定義求導(dǎo)數(shù)步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限例例1 1.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即15例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)設(shè)函

9、函數(shù)數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 16例例3 3.)(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為正正整整數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 17例例4 4.)1, 0()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haah

10、hx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 18例例5 5.)1, 0(log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1log1)(logaxexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 19四、左、右導(dǎo)數(shù)2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 20如如果果

11、)(xf在在開開區(qū)區(qū)間間 ba,內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就說說)(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba,上上可可導(dǎo)導(dǎo).函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等. 左右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)左右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù) ( ) , f xa b在閉區(qū)間上可導(dǎo)的定義21例例6 6.0)(處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( f

12、f即即.0)(點點不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù) xxfy22五、五、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義xyo)(xfy CT0 xM曲線)(xfy 在點),(00yx的切線斜率為)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲線過上升;若,0)(0 xf曲線過下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切線與 x 軸平行,稱為駐點駐點;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切線與 x 軸垂直 .曲線在點處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0時 xf23例例7 7.,)

13、2 ,21(1方方程程和和法法線線方方程程并并寫寫出出在在該該點點處處的的切切線線斜斜率率處處的的切切線線的的在在點點求求等等邊邊雙雙曲曲線線xy 解解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即242.物理意義物理意義非均勻變化量的瞬時變化率非均勻變化量的瞬時變化率.變速直線運動變速直線運動: :路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時速度路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時速度.lim)(0dtdststvt 交

14、流電路交流電路: :電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強度電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強度.lim)(0dtdqtqtit 非均勻的物體非均勻的物體: :質(zhì)量對長度質(zhì)量對長度(面積面積,體積體積)的導(dǎo)數(shù)為物體的線的導(dǎo)數(shù)為物體的線(面面,體體)密度密度.251111例例7. 問曲線3xy 哪一點有垂直切線 ? 哪一點處的切線與直線131xy平行 ? 寫出其切線方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x對應(yīng),1y則在點(1,1) , (1,1) 處與直線131xy平行的切線方程分別為),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原點 (0 , 0) 有垂直切線

15、26六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系證證,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxf)(lim00 xfxyx . 00)( limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx.)(0連連續(xù)續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)xxf定理定理 若若y=f(x)y=f(x)在在 點可導(dǎo)，則點可導(dǎo)，則y=f(x)y=f(x)在在 處一定連續(xù)處一定連續(xù). .0 x0 x27在點處右右 導(dǎo)數(shù)存在0 x定理定理2. 函數(shù))(xf)(xf在點0 x必 右右 連續(xù).(左左)(左左)由定理1和定理2,可得:)(xf在閉區(qū)間 a , b 上可導(dǎo),)(baCxf注意:可導(dǎo)的條件要比連續(xù)強,存在處處連續(xù)但是處處不可導(dǎo)的函數(shù).28連續(xù)函數(shù)

16、不存在導(dǎo)數(shù)舉例連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例.,)()()(,)(. 1000函數(shù)在角點不可導(dǎo)函數(shù)在角點不可導(dǎo)的角點的角點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點若若連續(xù)連續(xù)函數(shù)函數(shù)xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的的角角點點為為處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在xfxx 反例反例:xy 在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).xyoxy 29)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可導(dǎo)不可導(dǎo)有無窮導(dǎo)數(shù)有無窮導(dǎo)數(shù)在點在點稱函數(shù)稱函數(shù)但但連續(xù)連續(xù)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x3

17、1 xyxy0130., )()(. 30點點不不可可導(dǎo)導(dǎo)則則指指擺擺動動不不定定不不存存在在在在連連續(xù)續(xù)點點的的左左右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都函函數(shù)數(shù)xxf例如例如,0, 00,1sin)( xxxxxf.0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x011/1/xy31.)()(,)(. 4000不可導(dǎo)點不可導(dǎo)點的尖點的尖點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點符號相反符號相反的兩個單側(cè)導(dǎo)數(shù)的兩個單側(cè)導(dǎo)數(shù)且在點且在點若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 32七、小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì): 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線

18、的斜率切線的斜率;4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù).6. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.33思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 函數(shù) 在某點 處的導(dǎo)數(shù))(xf0 x)(0 xf )(xf 區(qū)別:)(xf 是函數(shù) ,)(0 xf 是數(shù)值;聯(lián)系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系 ? )()(00 xfxf？與導(dǎo)函數(shù)342. 設(shè))(0 xf 存在 , 則._)()(lim

19、000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff則._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若),(x時, 恒有,)(2xxf問)(xf是否在0 x可導(dǎo)?解解:由題設(shè))0(f00)0()(xfxfx0由夾逼準(zhǔn)則0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可導(dǎo), 且0)0( f355. 設(shè)0,0,sin)(xxaxxxf, 問 a 取何值時,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a時,1)0( f此時)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x顯然該函數(shù)在 x = 0

20、連續(xù) .36作業(yè)作業(yè) P86 1 , 5 , 6, 11, 16 , 18 37牛頓牛頓(1642 1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家 , 物理學(xué)家, 天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù) (微分) 術(shù) ,次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)一書 (1736年出版).他還著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和廣義算術(shù)等 .38萊布尼茲萊布尼茲(1646 1716)德國數(shù)學(xué)家, 哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人 , 他在學(xué)藝雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓, 所用微積分符號也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓 . 他還設(shè)計了作乘法的計算機 , 系統(tǒng)地

21、闡述二進(jìn)制計數(shù)法 ,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來 .39一一、 填填空空題題：1 1、 設(shè)設(shè))(xf在在0 xx 處處可可導(dǎo)導(dǎo)，即即)(0 xf 存存在在，則則 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已已知知物物體體的的運運動動規(guī)規(guī)律律為為2ts ( (米米) )，則則該該物物體體在在 2 t秒秒時時的的速速度度為為_ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 設(shè)設(shè)321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 則則它它們們的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)分分別別為為dxdy1= =_ _ _ _ _ _ _ _

22、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，dxdy2= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，dxdy3= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .練練習(xí)習(xí)題題404 4、 設(shè)設(shè)2)(xxf , ,則則 )(xff_ _； )(xff_._.5 5、 曲 線曲 線xey 在 點在 點)1,0(處 的 切 線 方 程 為處 的 切 線 方 程 為_._.二、二、 在下列各題中均假定在下列各題中均假定)(0 xf 存在，按照導(dǎo)數(shù)的定存在，按照導(dǎo)數(shù)的定義觀察下列極限，分析并指出義觀察下列極限，分析并指出A表示什么？表示什么？ 1 1、Axxxfxfxx 00)()(lim0； 2 2、Ahhfh )(lim0，其中，其中)0(0)0(ff 且且存在；存在； 3 3、Ahhxfhxfh )()(lim000. .三、證明：若三、證明：若)(xf為偶函數(shù)且為偶函數(shù)且)0(f 存在，則存在，則0)0( f. .41四、四、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 0,00,1sin)(xxxxxfk問問k k滿足什么條滿足什么條件，件，)(xf在