高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.5 函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖象學(xué)案 新人教A版必修4

1、1.5函數(shù)yasin(x)的圖象學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解參數(shù)a，對(duì)函數(shù)yasin(x)的圖象的影響；能夠?qū)sin x的圖象進(jìn)行變換得到y(tǒng)asin(x)，xr的圖象(難點(diǎn))2.會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)yasin(x)的簡(jiǎn)圖；能根據(jù)yasin(x)的部分圖象，確定其解析式(重點(diǎn))3.求函數(shù)解析式時(shí)值的確定(易錯(cuò)點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1對(duì)ysin(x)，xr的圖象的影響2(0)對(duì)ysin(x)的圖象的影響3a(a0)對(duì)yasin(x)的圖象的影響4函數(shù)yasin(x)，a0，0中參數(shù)的物理意義基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)ysin 3x的圖象向左平移個(gè)單位所得圖象的解析式是ysin.()(2)y

2、sin x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍所得圖象的解析式是ysin 2x.()(3)ysin x的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍所得圖象的解析式是ysin x()解析(1)錯(cuò)誤ysin 3x的圖象向左平移個(gè)單位得ysinsin.(2)錯(cuò)誤ysin 2x應(yīng)改為ysinx.(3)錯(cuò)誤ysin x應(yīng)改為y2sin x.答案(1)×(2)×(3)×2用“五點(diǎn)法”作y2sin 2x的圖象時(shí)，首先應(yīng)描出的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以是()a0，2b0，c0，2，3，4d0，b2x應(yīng)依次取0，2，所以描出的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以是0，.3函數(shù)yasin(x)1(a0，0)的最大值為

3、5，則a_.4由已知得a15，故a4.4函數(shù)y3sin的頻率為_(kāi)，相位為_(kāi)，初相為_(kāi)x頻率為，相位為x，初相為.合 作 探 究·攻 重 難“五點(diǎn)法”作函數(shù)圖象用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)y2sin在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖. 思路探究列表、描點(diǎn)、連線、成圖是“五點(diǎn)法”作圖的四個(gè)基本步驟，令3x取0，2即可找到五點(diǎn)解先畫(huà)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象令x3x，則x，列表x02xy02020規(guī)律方法1.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)yasin(x)的圖象，五個(gè)點(diǎn)應(yīng)是使函數(shù)取得最大值、最小值以及曲線與x軸相交的點(diǎn)2用“五點(diǎn)法”作函數(shù)yasin(x)圖象的步驟是：第一步：列表：x02xy0a0a0第二步：在同一坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)第

4、三步：用光滑曲線連接這些點(diǎn)，形成圖象跟蹤訓(xùn)練1已知f(x)1sin，畫(huà)出f(x)在上的圖象解列表：x2x0f(x)211112三角函數(shù)圖象之間的變換(1)將函數(shù)ycos的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則所得圖象的解析式為_(kāi)(2)將ysin x的圖象怎樣變換可得到函數(shù)y2sin1的圖象？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352114】思路探究(1)依據(jù)左加右減；上加下減的規(guī)則寫(xiě)出解析式(2)法一：ysin x縱坐標(biāo)伸縮橫坐標(biāo)伸縮和平移向上平移法二：左右平移橫坐標(biāo)伸縮縱坐標(biāo)伸縮上下平移(1)ycos 2x3(1)ycos的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得ycoscos(2x)cos 2x，再向下平移3個(gè)

5、單位長(zhǎng)度得ycos 2x3的圖象(2)法一：(先伸縮法)把ysin x的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到y(tǒng)2sin x的圖象；將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得y2sin 2x的圖象；將所得圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，得y2sin 2的圖象；將所得圖象沿y軸向上平移1個(gè)單位，得y2sin1的圖象法二：(先平移法)將ysin x的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，得ysin的圖象；將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得ysin的圖象；把所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)2倍，得到y(tǒng)2sin的圖象；將所得圖象沿y軸向上平移1個(gè)單位，得y2sin1的圖象規(guī)律方法由ysin x的圖象，

6、通過(guò)變換可得到函數(shù)yasin(x)(a0，0)的圖象，其變化途徑有兩條：(1)ysin xysin(x)ysin(x)yasin(x)(2)ysin xysin xysinxsin(x)yasin(x)提醒：兩種途徑的變換順序不同，其中變換的量也有所不同：(1)是先相位變換后周期變換，平移|個(gè)單位(2)是先周期變換后相位變換，平移個(gè)單位，這是很易出錯(cuò)的地方，應(yīng)特別注意跟蹤訓(xùn)練2(1)要得到y(tǒng)cos的圖象，只要將ysin 2x的圖象()a向左平移個(gè)單位b向右平移個(gè)單位c向左平移個(gè)單位d向右平移個(gè)單位(2)把函數(shù)yf(x)的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再把縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)

7、的倍，所得圖象的解析式是y2sin，則f(x)的解析式是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352115】af(x)3cos xbf(x)3sin xcf(x)3cos x3df(x)sin 3x(1)a(2)a(1)因?yàn)閥cossinsinsin 2，所以將ysin 2x的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)cos的圖象(2)y2siny3siny3siny3sin3sin3cos x已知函數(shù)圖象求解析式(1)已知函數(shù)f(x)acos(x)b的部分圖象如圖1­5­1所示，則函數(shù)f(x)的解析式為()圖1­5­1ay2cos4 by2cos4cy4cos2dy4cos2(2)函數(shù)

8、f(x)asin(x)中a0，0，|，且圖象如圖1­5­2所示，求其解析式圖1­5­2思路探究由最大(小)值求a和b，由周期求，由特殊點(diǎn)坐標(biāo)解方程求.(1)a(1)由函數(shù)f(x)的最大值和最小值得ab6，ab2，所以a2，b4，函數(shù)f(x)的周期為×44，又0，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)f(x)的圖象上所以62cos4，所以cos1，所以2k，kz，所以2k，kz，又|所以，所以f(x)2cos4.(2)法一：(五點(diǎn)作圖原理法)由圖象知，振幅a3，t，所以2，又由點(diǎn)，根據(jù)五點(diǎn)作圖原理(可判為“五點(diǎn)法”中的第一點(diǎn))×20得，所以f(x)3si

9、n.法二：(方程法)由圖象知，振幅a3，t，所以2，又圖象過(guò)點(diǎn)，所以f3sin0，所以sin0，k(kz)，又因?yàn)閨，所以k0，所以f(x)3sin.法三：(變換法)由圖象知，振幅a3，t，所以2，且f(x)asin(x)是由y3sin 2x向左平移個(gè)單位而得到的，解析式為f(x)3sin3sin.規(guī)律方法確定函數(shù)yasin(x)的解析式的關(guān)鍵是的確定，常用方法有：(1)代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)a，已知)或代入圖象與x軸的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)(2)五點(diǎn)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口“五點(diǎn)”的x的值具體如下：“第一點(diǎn)”(

10、即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x0；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為x；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)為x；“第五點(diǎn)”為x2.跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)asin(x)，xr的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為m，求f(x)的解析式解由最低點(diǎn)m，得a2.在x軸上兩相鄰交點(diǎn)之間的距離為，故，即t，2.由點(diǎn)m在圖象上得2sin2，即sin1，故2k(kz)，2k(kz)又，.故f(x)2sin.三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用探究問(wèn)題1如何求函數(shù)yasin(x)與yacos(x)的對(duì)稱軸方程？提示：與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數(shù)yas

11、in()和yacos(x)的圖象的對(duì)稱軸通過(guò)函數(shù)圖象的最值點(diǎn)且垂直于x軸函數(shù)yasin(x)對(duì)稱軸方程的求法：令sin(x)±1，得xk(kz)，則x(kz)，所以函數(shù)yasin(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x(kz)；函數(shù)yacos(x)對(duì)稱軸方程的求法：令cos(x)±1，得xk(kz)，則x(kz)，所以函數(shù)yacos(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x(kz)2如何求函數(shù)yasin(x)與yacos(x)的對(duì)稱中心？提示：與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數(shù)yasin(x)和yacos(x)圖象的對(duì)稱中心即函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)函數(shù)yasin(x)對(duì)稱中心的求法：令sin(x)0，得x

12、k(kz)，則x(kz)，所以函數(shù)yasin(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(kz)成中心對(duì)稱；函數(shù)yacos(x)對(duì)稱中心的求法：令cos(x)0，得xk(kz)，則x(kz)，所以函數(shù)yacos(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(kz)成中心對(duì)稱(1)已知函數(shù)f(x)sin(0)，若ff，且f(x)在區(qū)間上有最小值，無(wú)最大值，則()a.b. c.d.(2)已知函數(shù)f(x)sin(x)(0,0)是r上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)m對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352116】思路探究(1)先由題目條件分析函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱性，何時(shí)取到最小值，再列方程求的值(2)先由奇偶性求，再由圖象的對(duì)稱性和單調(diào)性求

13、.(1)b(1)因?yàn)閒f，所以直線x是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，又因?yàn)閒(x)在區(qū)間上有最小值，無(wú)最大值，所以當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最小值所以2k，kz，解得8k，(kz)又因?yàn)閠，所以12，又因?yàn)?，所以k1，即8.(2)由f(x)是偶函數(shù)，得f(x)f(x)，即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，f(x)在x0時(shí)取得最值，即sin 1或1.依題設(shè)0，解得.由f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)m對(duì)稱，可知sin0，即k，解得，kz.又f(x)在上是單調(diào)函數(shù)，所以t，即.2，又0，k1時(shí)，；k2時(shí)，2.故，2或.母題探究：1.將本例(2)中“偶”改為“奇”，“其圖象關(guān)于點(diǎn)m對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)”改為“在

14、區(qū)間上為增函數(shù)”，試求的最大值解因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(0)sin 0，又0，所以0因?yàn)閒(x)sin x在上是增函數(shù)所以，于是，解得0，所以的最大值為.2本例(2)中增加條件“1”，求函數(shù)yf2(x)sin 2x，x的最大值解由條件知f(x)sincos 2x由x得2x，sin 2xyf2(x)sin 2xcos22xsin 2x1sin22xsin 2x(sin 2x)2所以當(dāng)sin 2x時(shí)ymax.規(guī)律方法1.正弦余弦型函數(shù)奇偶性的判斷方法正弦型函數(shù)yasin(x)和余弦型函數(shù)yacos(x)不一定具備奇偶性對(duì)于函數(shù)yasin(x)，當(dāng)k(kz)時(shí)為奇函數(shù)，當(dāng)k±(kz)

15、時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)于函數(shù)yacos(x)，當(dāng)k(kz)時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)k±(kz)時(shí)為奇函數(shù)2與正弦、余弦函數(shù)有關(guān)的單調(diào)區(qū)間的求解技巧(1)結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象，熟記它們的單調(diào)區(qū)間(2)確定函數(shù)yasin(x)(a0，0)單調(diào)區(qū)間的方法：采用“換元”法整體代換，將x看作一個(gè)整體，可令“zx”，即通過(guò)求yasin z的單調(diào)區(qū)間而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間若0，則可利用誘導(dǎo)公式先將x的系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù)，再求單調(diào)區(qū)間當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1函數(shù)ysin的周期、振幅、初相分別是()a3，b6，c3，3，d6，3，bysin的周期t6，振幅為，初相為.2函數(shù)f(x)sin的圖象的一條對(duì)稱軸是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352117】ax bxcxdxcfsinsin，所以直線x是函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸3函數(shù)ycos x圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到圖象的解析式為ycos x，則的值為_(kāi)函數(shù)ycos xycosx.所以.4由y3sin x的圖象變換到y(tǒng)3sin的圖象主要有兩個(gè)過(guò)程：先平移后伸縮和先伸縮后平移，前者需向左平移_個(gè)單位，后者需向左平移_個(gè)單位. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352118】y3sin xy3siny3sin，y3sin xy3siny3sin3sin.5已知函數(shù)f(x)3sin3(xr)，用五點(diǎn)法畫(huà)