第8章 灰色系統(tǒng)預(yù)測

1、經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法第八章灰色預(yù)測模型第八章灰色預(yù)測模型1.1.什么是灰色系統(tǒng)什么是灰色系統(tǒng)一、灰色系統(tǒng)一、灰色系統(tǒng)二、灰數(shù)二、灰數(shù)某個只知道大概的范圍而不知道其確切值的數(shù)，稱為灰數(shù)。某個只知道大概的范圍而不知道其確切值的數(shù)，稱為灰數(shù)?；覕?shù)不是一個數(shù)，而是一個數(shù)集，一個數(shù)的區(qū)間，記灰數(shù)為灰數(shù)不是一個數(shù)，而是一個數(shù)集，一個數(shù)的區(qū)間，記灰數(shù)為若若 ai 在灰數(shù)在灰數(shù) 中取值中取值，則則 ai 為為 的一個可能的白化值，的一個可能的白化值，記為記為)(ia經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法三、灰色系統(tǒng)理論的基本觀點三、灰色系統(tǒng)理論的基本觀點 1 1、灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為任何隨機過程都是一定幅度值范圍、灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為任何

2、隨機過程都是一定幅度值范圍、一定時區(qū)內(nèi)變化的灰色量，所以隨機過程是一個灰色過程。一定時區(qū)內(nèi)變化的灰色量，所以隨機過程是一個灰色過程。 在處理手法上，灰色過程是通過對原始數(shù)據(jù)的整理來尋找在處理手法上，灰色過程是通過對原始數(shù)據(jù)的整理來尋找數(shù)的規(guī)律，這叫數(shù)的生成。數(shù)的規(guī)律，這叫數(shù)的生成。 2 2、灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為：盡管客觀系統(tǒng)表象復(fù)雜，數(shù)據(jù)離亂，、灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為：盡管客觀系統(tǒng)表象復(fù)雜，數(shù)據(jù)離亂，但它總是有整體功能的，總是有序的，對原始數(shù)據(jù)作累加處理但它總是有整體功能的，總是有序的，對原始數(shù)據(jù)作累加處理后，便出現(xiàn)了明顯的指數(shù)規(guī)律。這是由于大多數(shù)系統(tǒng)是廣義的后，便出現(xiàn)了明顯的指數(shù)規(guī)律。這是由于大多數(shù)系

3、統(tǒng)是廣義的能量系統(tǒng)，而指數(shù)規(guī)律便是能量變化的一種規(guī)律。能量系統(tǒng)，而指數(shù)規(guī)律便是能量變化的一種規(guī)律。經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法2.2.生成數(shù)的主法生成數(shù)的主法隨機過程在灰色系統(tǒng)里被稱為灰色量，灰色系統(tǒng)對灰色量隨機過程在灰色系統(tǒng)里被稱為灰色量，灰色系統(tǒng)對灰色量的處理既不找概率分布，也不尋求統(tǒng)計特征，而是通過數(shù)據(jù)處的處理既不找概率分布，也不尋求統(tǒng)計特征，而是通過數(shù)據(jù)處理方法來尋找數(shù)據(jù)表現(xiàn)的規(guī)律，這種數(shù)據(jù)處理方法稱為生成法，理方法來尋找數(shù)據(jù)表現(xiàn)的規(guī)律，這種數(shù)據(jù)處理方法稱為生成法，灰色系統(tǒng)中主要有累加生成和累減生成。灰色系統(tǒng)中主要有累加生成和累減生成。一、累加生成一、累加生成記原始序列為：記原始序列為：n)(,

4、2),(,1)(0000XXXX)(,2),(,1)(1)(1)1(1nXXXX生成序列為：生成序列為：其中：其中：)() 1()(011)0()1(KXKXiXXKi經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法例例10.6571.1229.53)9()8()9(929.5315.1224.40)8()7()8(824.4085.1139.28)7()6()7(739.2864. 875.19)6()5()6(675.1986. 698.12)5()4()5(598.1224. 465. 8)4() 3()4(465. 839. 326. 5) 3()2() 3(326. 598. 228. 2)2() 1 ()2(2

5、28. 2) 1 () 1 (101101101101101101101101101XXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXK累計生成序列累計生成序列10.65,29.53,24.40,39.28,75.19,89.12,65. 8 ,26. 5 ,28. 2)(1KX經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法累減生成累減生成例例10.65,29.53,24.40,39.28,75.19,89.12,65. 8 ,26. 5 ,28. 2)(0KX令令K0，X1(0)=071.1229.5310.65)9()9()9(915.1224.4039.52)7()8()8(885.1139.28

6、24.40)6()7()7(764. 875.1939.28)5()6()6(686. 689.1275.19)4()5()5(524. 465. 889.12) 3()4()4(439. 326. 565. 8)2() 3() 3(398. 228. 226. 5) 1 ()2()2(228. 2028. 2)0() 1 () 1 (1011011011011011011011011011XXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXK累計生成序列累計生成序列71.12,15.12,85.11,64. 8 ,86. 6 ,24. 4 ,39. 3 ,98. 2 ,28

7、. 2)(1KX經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法3.3.關(guān)聯(lián)度關(guān)聯(lián)度關(guān)聯(lián)度分析是分析系統(tǒng)中各因素關(guān)聯(lián)程度的方法。計算關(guān)聯(lián)關(guān)需先計算關(guān)聯(lián)度分析是分析系統(tǒng)中各因素關(guān)聯(lián)程度的方法。計算關(guān)聯(lián)關(guān)需先計算關(guān)聯(lián)系數(shù)。關(guān)聯(lián)系數(shù)。關(guān)聯(lián)系數(shù)計算方法：關(guān)聯(lián)系數(shù)計算方法：設(shè)參考序列為設(shè)參考序列為)() 3(),2(),1 ()(00000nXXXXKX被比較序列為被比較序列為)(),3(),2()(nXXXKXiiii關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為：關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為：)()(maxmaxp)()()()(maxmaxp)()(minmin)(0000KXKXKXKXKXKXKXKXKniiiii其中：其中：（1）為第）為第K點點X0與與Xi的絕對差

8、。的絕對差。)()(0KXKXi（接下頁）（接下頁）經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法)()(minmin0KXKXi（3）是兩級最大差，其含義與最小差相似。）是兩級最大差，其含義與最小差相似。（4）p稱為分辨率稱為分辨率0p1，一般采取，一般采取P0.5（5）對單位不一，初值不同的序列，在計算關(guān)聯(lián)系數(shù)前應(yīng)首選進(jìn)行初值化，）對單位不一，初值不同的序列，在計算關(guān)聯(lián)系數(shù)前應(yīng)首選進(jìn)行初值化，即將該序列所有數(shù)據(jù)分別除以第一個數(shù)據(jù)。即將該序列所有數(shù)據(jù)分別除以第一個數(shù)據(jù)。2、關(guān)聯(lián)度、關(guān)聯(lián)度被比較序列與參考序列的關(guān)聯(lián)度是各類關(guān)聯(lián)系數(shù)的平均值，即被比較序列與參考序列的關(guān)聯(lián)度是各類關(guān)聯(lián)系數(shù)的平均值，即（2）為兩級最小差。其中是

9、第）為兩級最小差。其中是第一級最小差，表示在一級最小差，表示在Xi序列上找各點與序列上找各點與X0的最小差。的最小差。)()(minmin0KXKXini)()(min0KXKXi)()(minmin0KXKXi為第二級最小差，表示在各序列找出的最小差基礎(chǔ)上尋求所有序列中的最為第二級最小差，表示在各序列找出的最小差基礎(chǔ)上尋求所有序列中的最小差。小差。nKiiKnr1)(1經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法例例設(shè)參考序列為設(shè)參考序列為Y0（8，8.88，16，18，24，32），），被比較序列為被比較序列為Y1（10，11.66，18.34，20，23.4，30）Y2（5，5.625，5.375，6.875，8

10、.125，8.75）求其關(guān)聯(lián)度：求其關(guān)聯(lián)度：611111)(61)(1KnKKKnr7988. 0)5294. 06360. 08180. 08714. 09445. 01 (6449. 02rr1、r2表明表明X1和和X0的關(guān)聯(lián)程度大于的關(guān)聯(lián)程度大于X2與與X0的關(guān)聯(lián)程度。的關(guān)聯(lián)程度。經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法4. . GM（1.1）預(yù)測模型預(yù)測模型一、一、GMGM（1.11.1）模型）模型設(shè)時間序列設(shè)時間序列X0有幾個觀察值，有幾個觀察值，n)(,2),(,1)(0000XXXX累加生成序列累加生成序列n)(,2),(,1)(0101XXXX，生成序列，生成序列X1滿足：滿足：UaxdtdX11式

11、中式中a稱發(fā)展灰數(shù)，稱發(fā)展灰數(shù)，U稱內(nèi)生控制灰數(shù)。稱內(nèi)生控制灰數(shù)。設(shè)設(shè)為待估參數(shù)向量為待估參數(shù)向量ua，利用最小二乘法求解可得，利用最小二乘法求解可得YnBBBTT1)(其中其中1)() 1(2/11)3()2(2/11)2() 1 (2/1111111nXnXXXXXB)()4()3()2(0000nXXXXYnaueauXiXai) 1 () 1(01)() 1() 1(110iXiXiX經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法二、模型檢驗二、模型檢驗灰色預(yù)測模型檢驗一般有殘差檢驗，關(guān)聯(lián)度檢驗和后驗差檢驗?；疑A(yù)測模型檢驗一般有殘差檢驗，關(guān)聯(lián)度檢驗和后驗差檢驗。1.1.殘差檢驗殘差檢驗首先按模型計算首先按模型計

12、算) 1(1iX，其次將，其次將) 1(1iX累減生成累減生成)(0iX，最后計算，最后計算原始序列原始序列)(0iX)(0iX與與的絕對殘差的絕對殘差），（niiXiXi,1,2,)()()(000及相對誤差及相對誤差), 2 , 1( ,/00ni%(i)X(i)2.2.關(guān)聯(lián)度檢驗關(guān)聯(lián)度檢驗按關(guān)聯(lián)度計算方法算出按關(guān)聯(lián)度計算方法算出 與原始序列與原始序列 的關(guān)聯(lián)系數(shù)，然后算出關(guān)聯(lián)的關(guān)聯(lián)系數(shù)，然后算出關(guān)聯(lián)度，根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)度，根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)p=0.5p=0.5時，關(guān)聯(lián)度大于時，關(guān)聯(lián)度大于0.60.6便是滿意的。便是滿意的。)(0iX)(0iX經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法3.3.后驗差檢驗后驗差檢驗（1 1）

13、首先計算原始序列的平均值）首先計算原始序列的平均值（2 2）再計算原始序列的均方差）再計算原始序列的均方差（3 3）再次計算殘差的均值）再次計算殘差的均值（4 4）然后再求殘差的均方差，式中）然后再求殘差的均方差，式中（5 5）計算方差比）計算方差比（6 6）計算小誤差概率）計算小誤差概率niiXnX100)(111nSiS其中其中2001) 1 (XXS)(0i)(1)(00ini122nSS2002)(iS12SSC 1006745. 0)( SiP。01000,6745. 0,)(SePSSieii即即令令不不合合格格勉勉強強合合格格合合格格則則有有若若 好好195%65. 065. 0

14、50. 035. 0c70. 070. 080. 095. 00PSpi，小于若相關(guān)誤差，關(guān)聯(lián)度、后驗差檢驗在允許范圍之內(nèi)，則可用所建模型進(jìn)若相關(guān)誤差，關(guān)聯(lián)度、后驗差檢驗在允許范圍之內(nèi)，則可用所建模型進(jìn)行預(yù)測，否則應(yīng)進(jìn)行殘差修正。行預(yù)測，否則應(yīng)進(jìn)行殘差修正。經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法例：某縣皮棉產(chǎn)量如表，試建立例：某縣皮棉產(chǎn)量如表，試建立GN(1.1)預(yù)測模型，并預(yù)測第預(yù)測模型，并預(yù)測第8期皮棉產(chǎn)量。期皮棉產(chǎn)量。序序 號號123456產(chǎn)量產(chǎn)量( (百萬擔(dān)百萬擔(dān)) )2.673.133.253.363.563.72解：令解：令X0(1)、 X0(2)、 X0(3)、 X0(4)、 X0(5)、 X0(6

15、)對立于原始序列數(shù)據(jù)對立于原始序列數(shù)據(jù)第一步，構(gòu)造累加生成序列：第一步，構(gòu)造累加生成序列：生成序列生成序列X1=2.67，5.80，9.05，12.41，15.97，19.69第二步，構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣第二步，構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B和數(shù)據(jù)向量和數(shù)據(jù)向量Yn：183.17119.14173.101425.71235.41)69.1997.15(211)97.1541.12(211)41.1205.9(211)05.980.5(211)80.567.2(211)6()5(21)5()4(21)4()3(211)3()2(211)2()1 (211111111111XXXXXXXXXXBTTnXXY72. 356

16、. 326. 325. 313. 3)6()2(00，經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法第三步，計算第三步，計算BTB，(BTB)-1Yn：541.5441.5446375.707183.17119.14173.101425. 71235. 41111183.1719.1473.10425. 7235. 4BBT226382. 1094319. 0094319. 0008667. 0541.5441.5446375.707)(11BBT02.172836.19072. 356. 336. 325. 313. 31111183.1719.1473.10425. 7235. 4nTYB925663. 204387

17、9. 002.172836.190226382. 1094319. 0094319. 0008667. 0)(1nTTYBBB即即a=-0.043879 u=2.925663經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法第四步，得出預(yù)測模型：第四步，得出預(yù)測模型：6757663457691345796au66.5656942.67(1)925663. 2043879. 00438801(1)0011.e.)(iX.XauXXdtdxi.第五步：殘差檢驗：第五步：殘差檢驗：（1）計算：）計算：69.196757.663457.69)6(668.196757.663457.69)6(597.156757.663457.69)

18、5(443.126757.663457.69)4(303. 96757.663457.69)3(278. 56757.663457.69)2(167. 26757.663457.69) 1 (0504388. 01504388. 01404388. 01304388. 01204388. 01104388. 0101eXieXieXieXieXieXieXi經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法（2 2）累減生成序列：）累減生成序列：)(0iX71. 3,54. 3,40. 3,25. 3,10. 3,67. 2) 1 (71. 397.1568.19)5()6()6(54. 343.1297.15)4()5()

19、5(40. 303. 943.12) 3()4()4(25. 378. 503. 0)2() 3() 3(11. 367. 278. 5) 1 ()2()2(67. 2) 1 (0110110110110110)1(10XXXXXXXXXXXXXXXXXX原始序列原始序列72. 3,56. 3,36. 3,25. 3,13. 3,67. 20X（3）計算絕對誤差及相對誤差序列：）計算絕對誤差及相對誤差序列：絕對誤差序列絕對誤差序列00，0.02，0.04，0.02，0.01相對誤差序列相對誤差序列0/2.67100%，0.02/3.13 100%，0/3.25 100%，0.04/ 3.361

20、00%，0.02/3.56 100%，0.01/3.72 100%=0.064%,0,1.19%,0.56%,0.27%相對誤差小于相對誤差小于1.19%，模型精確度高。，模型精確度高。經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法第六步，進(jìn)行關(guān)聯(lián)度檢驗：第六步，進(jìn)行關(guān)聯(lián)度檢驗：（1）計算序列）計算序列X0與與X0的絕對誤差的絕對誤差(i)：04. 001. 0 ,02. 0 ,04. 0 , 0 ,02. 0 , 0max)(max001. 0 ,02. 0 ,04. 0 , 0 ,02. 0 , 0min)(min01. 071. 372. 3)6()6()6(02. 054. 356. 3)5()5()5(04.

21、040. 336. 3)4()4()4(025. 325. 3) 3() 3() 3(02. 011. 313. 3)2()2()2(067. 267. 2) 1 () 1 () 1 (000000000000iiXXXXXXXXXXXX經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法（2 2）計算關(guān)聯(lián)系數(shù)：）計算關(guān)聯(lián)系數(shù)：由于只有兩個序列，故不再尋第二級最小及最大：由于只有兩個序列，故不再尋第二級最小及最大：15.004.0004.05.0)3(50.04.005.002.004.05.0)2(104.05.0004.05.00)1()5.0,2, 1()(max)()(max)(min)(piiPiiPii（3 3）計

22、算關(guān)聯(lián)度：）計算關(guān)聯(lián)度：67.05.004.001.004.05.0)6(50.05.004.002.004.05.0)5(33.05.004.004.004.05.0)4(niinr167.0)67.05.033.015.01(61)(1r=0.67 是滿足是滿足 p=0.5 時的檢驗準(zhǔn)則時的檢驗準(zhǔn)則 r0.6 的。的。經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法第六步，后驗差檢驗：第六步，后驗差檢驗：（1）計算）計算82. 372. 356. 336. 325. 313. 367. 2610X（2 2）計算）計算X0序列均方差：序列均方差：3671. 016)28. 372. 3()28. 313. 3()28.

23、367. 2(1)(2222001nXiXS（3 3）計算殘差的均值：）計算殘差的均值：015. 001. 002. 004. 0002. 00)(61i（4 4）計算殘差的均方差：）計算殘差的均方差：0252. 016)015. 001. 0()015. 002. 0()015. 00(1)(22222niS經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法（5 5）計算）計算C C：0414. 03671. 00152. 012SSC（6 6）計算小誤差概率：）計算小誤差概率：S00.67450.36710.247635. 01005. 0 ,005. 0 ,025. 0 ,015. 0 ,005. 0 ,15. 0)(

24、01，CPSeie故故都都小小于于所所有有有較好的預(yù)測精度。有較好的預(yù)測精度。故模型故模型6757.663457.691)(04388. 01ieiX第八步，模型經(jīng)檢驗合格后可用于預(yù)測，預(yù)測公式為：第八步，模型經(jīng)檢驗合格后可用于預(yù)測，預(yù)測公式為：)() 1() 1(1)1(0iXiXiX本例中本例中i i=7=7 23. 46757.66e3457.696757.663457.69)7()8()8(74388. 084388. 01)1(0eXXX即該縣第八期皮棉產(chǎn)量為即該縣第八期皮棉產(chǎn)量為4.234.23百萬擔(dān)。百萬擔(dān)。經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法有關(guān)建模的問題說明有關(guān)建模的問題說明（1 1）給定原始

25、序列）給定原始序列X X0 0中的數(shù)據(jù)不一定要全部用來建立模型，對中的數(shù)據(jù)不一定要全部用來建立模型，對原始序列的取舍不同，可得模型不同，即原始序列的取舍不同，可得模型不同，即a a、u u的值不同。的值不同。（2 2）建模的數(shù)據(jù)取舍應(yīng)保證建模序列等時距、相連，不得有跳）建模的數(shù)據(jù)取舍應(yīng)保證建模序列等時距、相連，不得有跳躍出現(xiàn)。躍出現(xiàn)。（3 3）一般建模數(shù)據(jù)序列應(yīng)當(dāng)由最新數(shù)據(jù)及其相鄰數(shù)據(jù)構(gòu)成，當(dāng)）一般建模數(shù)據(jù)序列應(yīng)當(dāng)由最新數(shù)據(jù)及其相鄰數(shù)據(jù)構(gòu)成，當(dāng)再出現(xiàn)新數(shù)據(jù)時，可采取兩種處理方法：一是將新信息加入原再出現(xiàn)新數(shù)據(jù)時，可采取兩種處理方法：一是將新信息加入原始序列中，重估參數(shù)；二是去掉原始序列中最老的

26、一個數(shù)據(jù)，始序列中，重估參數(shù)；二是去掉原始序列中最老的一個數(shù)據(jù)，再加上最新數(shù)據(jù)，所形成序列和原序列維數(shù)相等，再重估參數(shù)。再加上最新數(shù)據(jù)，所形成序列和原序列維數(shù)相等，再重估參數(shù)。經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法三、三、GMGM（1.11.1）的區(qū)間預(yù)測）的區(qū)間預(yù)測設(shè)原始序列：設(shè)原始序列：母列：母列：子列：子列：)8(),2(),1(0000XXXX)8(),7(),6(),5()8(),5(),4()8(),4(),3()8(),3(),2(000040000300002000010XXXXXXXXXXXXXXXXX)()()()()()()()()()(4)1.1(403)1.1(302)1.1(201)1

27、.1(10)1.1(0lkxhXlkxhXlkxhXlkxhXlkxhXGMGMGMGMGM)(),(minmaxlkXlkX預(yù)測區(qū)間預(yù)測區(qū)間經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法例：某地區(qū)年平均降雨量數(shù)據(jù)如下表：例：某地區(qū)年平均降雨量數(shù)據(jù)如下表：123456789X(0)(1)390.6X(0)(2)412X(0)(3)320X(0)(4)559.2X(0)(5)380.8X(0)(6)542.4X(0)(7)553X(0)(8)310X(0)(9)5611011121314151617X(0)(10)300X(0)(11)632X(0)(12)540X(0)(13)406.2X(0)(14)313.8X(0)

28、(15)576X(0)(16)587.6X(0)(17)318.5規(guī)定規(guī)定320，并認(rèn)為，并認(rèn)為x(0)(i) 為旱災(zāi)，試作災(zāi)變預(yù)測。為旱災(zāi)，試作災(zāi)變預(yù)測。解：給定數(shù)列為解：給定數(shù)列為),5 .318, 6 .587,576, 8 .313, 2 .406 ,540,632,300,561,310,553, 4 .542, 8 .380, 2 .559,320,412, 6 .390( )17(),16(),15(),14(),13(),12(),11(),10( ),9(),8(),7(),6(),5(),4(),3(),2(),1 ()0()0()0()0()0()0()0()0()0()

29、0()0()0()0()0()0()0()0()0(xxxxxxxxxxxxxxxxxx經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策方法按照按照x(0)(i)320為異常值，有為異常值，有x(0)為為x(0)=(320,310,300,313.8,318.5) =(x(0)(1)， x(0)(2)， x(0)(3)， x(0)(4)， x(0)(5) =(x(0) (3)， x(0) (8)， x(0) (10)， x(0) (14)， x(0) (17)。為此，有為此，有或者寫為或者寫為P=(p(1)，p(2)， p(3)， p(4)， p(5)=(3，8，10，14，17)。將將P中數(shù)據(jù)作中數(shù)據(jù)作1次累加生成，得次累加生成，得P(1)有有41) 1 () 1 () 1 () 1 () 1 (31) 1 () 1 () 1 () 1 (21) 1 () 1 () 1