精選小學(xué)六年下冊(cè)小升初銜接班數(shù)學(xué)常用的巧算和速算方法

1、小升初銜接班【數(shù)學(xué)】常用的巧算和速算方法一、【順逆相加】用“順逆相加”算式可求出若干個(gè)連續(xù)數(shù)的和。例如著名的大數(shù)學(xué)家高斯（德國(guó)）小時(shí)候就做過的“百數(shù)求和”題，可以計(jì)算為：所以，123499100=101×100÷2=5050。又如，計(jì)算“3+5+7+97+99=？”，可以計(jì)算為:所以，3+5797+99=（993）×49÷2= 2499。這種算法的思路，見于書籍中最早的是我國(guó)古代的張丘建算經(jīng)。張丘建利用這一思路巧妙地解答了“有女不善織”這一名題：“今有女子不善織，日減功，遲。初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖。問織幾何？”題目的意思是：有位婦女不善于織

2、布，她每天織的布都比上一天減少一些，并且減少的數(shù)量都相等。她第一天織了5 尺布，最后一天織了1 尺，一共織了30 天。問她一共織了多少布？張丘建在算經(jīng)上給出的解法是：“并初末日織尺數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得?！薄按鹪唬憾ヒ徽伞薄?這一解法，用現(xiàn)代的算式表達(dá)，就是:1 匹=4 丈，1 丈=10 尺，90 尺=9 丈=2 匹1 丈。（答略）張丘建這一解法的思路，據(jù)推測(cè)為：如果把這婦女從第一天直到第30 天所織的布都加起來，算式就是51在這一算式中，每一個(gè)往后加的加數(shù)，都會(huì)比它前一個(gè)緊挨著它的加數(shù)，要遞減一個(gè)相同的數(shù)，而這一遞減的數(shù)不會(huì)是個(gè)整數(shù)。若把這個(gè)式子反過來，則算式便是:1+5.此時(shí)，每

3、一個(gè)往后的加數(shù)，就都會(huì)比它前一個(gè)緊挨著它的加數(shù)，要遞增一個(gè)相同的數(shù)。同樣，這一遞增的相同的數(shù)，也不是一個(gè)整數(shù)。假若把上面這兩個(gè)式子相加，并在相加時(shí)，利用“對(duì)應(yīng)的數(shù)相加和會(huì)相等”這一特點(diǎn)，那么，就會(huì)出現(xiàn)下面的式子：所以，加得的結(jié)果是6×30=180（尺）但這婦女用30 天織的布沒有180 尺，而只有180 尺布的一半。所以，這婦女30 天織的布是:180÷2=90（尺）.將上面式子綜合起來，便是：.可見，這種解法的確是簡(jiǎn)單、巧妙和饒有趣味的。二、【分組計(jì)算】一些看似很難計(jì)算的題目，采用“分組計(jì)算”的方法，往往可以使它很快地解答出來。例如：求1 到10 億這10 億個(gè)自然數(shù)的數(shù)

4、字之和。這道題是求“10 億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和”，而不是“10 億個(gè)自然數(shù)之和”。什么是“數(shù)字之和”？例如，求1 到12 這12 個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和，算式是：12345+6+78+9+10+1+1+1+12=5l。顯然，10 億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和，如果一個(gè)一個(gè)地相加，那是極麻煩，也極費(fèi)時(shí)間（很多年都難于算出結(jié)果）的。怎么辦呢？我們不妨在這10 億個(gè)自然數(shù)的前面添上一個(gè)“0”，改變數(shù)字的個(gè)數(shù)，但不會(huì)改變計(jì)算的結(jié)果。然后，將它們兩兩分組：0 和999 999 999；1 和999 999 998；2 和999 999 997；3 和999 999 996；4 和999 999 995；5 和999

5、 999 994； 依次類推，可知除最后一個(gè)數(shù)：1000000000 以外，其他的自然數(shù)與添上的0 共10 億個(gè)數(shù)，共可以分為5 億組，各組數(shù)字之和都是81，如：0+9+9+9+999999=811+9+9999+9+9+98=81最后的一個(gè)數(shù)1，000，000，000 不成對(duì)，它的數(shù)字之和是1。所以，此題的計(jì)算結(jié)果是：（81×500 000 000）1=40 500 000 0001=40 500 000 001三、【由小推大】“由小推大”是一種數(shù)學(xué)思維方法，也是一種速算、巧算技巧。遇到有些題數(shù)目多，關(guān)系復(fù)雜時(shí)，我們可以從數(shù)目較小的特殊情況入手，研究題目特點(diǎn)，找出一般規(guī)律，再推出題

6、目的結(jié)果。例如：(1).計(jì)算下面方陣中所有的數(shù)的和。這是個(gè)“100×100”的大方陣，數(shù)目很多，關(guān)系較為復(fù)雜。不妨先化大為小，再由小推大。先觀察“5×5”的方陣，如下圖（圖4.1）所示: 容易看到，對(duì)角線上五個(gè)“5”之和為25。這時(shí)，如果將對(duì)角線下面的部分（右下部分）用剪刀剪開，如圖4.2 那樣拼接，那么將會(huì)發(fā)現(xiàn)，這五個(gè)斜行，每行數(shù)之和都是25。所以，“5×5”方陣的所有數(shù)之和為:25×5=125，即:53=125。于是，很容易推出大的數(shù)陣“100×100”的方陣所有數(shù)之和為:1003=1000000。（2）.把自然數(shù)中的偶數(shù)，像圖4.3 那樣

7、排成五列。最左邊的叫第一列，按從左到右的順序，其他叫第二、第三第五列。那么2016 出現(xiàn)在哪一列：因?yàn)閺? 到2016，共有偶數(shù)2016÷2=1008（個(gè)）。從前到后，是每8 個(gè)偶數(shù)為一組，每組都是前四個(gè)偶數(shù)分別在第二、三、四、五列，后四個(gè)偶數(shù)分別在第四、三、二、一列（偶數(shù)都是按由小到大的順序）。所以，由1008÷8=125，可知這1008 個(gè)偶數(shù)恰好可以分為125 組。故2016 應(yīng)排在第一列。四、【湊整巧算】用“湊整方法”巧算，常常能使計(jì)算變得比較簡(jiǎn)便、快速。例如：（1）99.9+11.1=（9010）+（9+1）（0.9+0.1）=111（2）9979986=（9+1

8、）（973）（9982）=101001000=1110（3）125125125125120125125125=125125125125（120+5）125125+125-5=125×8-5=1000-5=995五、【巧妙試商】除數(shù)是兩位數(shù)的除法，可以采用一些巧妙試商方法，提高計(jì)算速度。（1） 用“商五法”試商。當(dāng)除數(shù)（兩位數(shù)）的10 倍的一半，與被除數(shù)相等（或相近）時(shí)，可以直接試商“5”。如70÷14=5，125÷25=5。當(dāng)除數(shù)一次不能除盡被除數(shù)的時(shí)候，有些可以用“無除半商五”。“無除”指被除數(shù)前兩位不夠除，“半商五”指若被除數(shù)的前兩位恰好等于（或接近）除數(shù)的一

9、半時(shí)，則可直接商“ 5”。例如1248÷24=52，2385÷45=53（2）同頭無除商八、九。“同頭”指被除數(shù)和除數(shù)最高位上的數(shù)字相同?！盁o除”仍指被除數(shù)前兩位不夠除。這時(shí)，商定在被除數(shù)高位數(shù)起的第三位上面，再直接商8 或商9。5742÷58=99，4176÷48=87。（3）用“商九法”試商。當(dāng)被除數(shù)的前兩位數(shù)字臨時(shí)組成的數(shù)小于除數(shù)，且前三位數(shù)字臨時(shí)組成的數(shù)與除數(shù)之和，大于或等于除數(shù)的10 倍時(shí)，可以一次定商為“9”。一般地說，假如被除數(shù)為m，除數(shù)為n，只有當(dāng)9nm10n 時(shí)，n 除m 的商才是9。同樣地，10nmn11n。這就是我們上述做法的根據(jù)。

10、例如4508÷49=92，6480÷72=90。（4）用差數(shù)試商。當(dāng)除數(shù)是11、12、1318 和19，被除數(shù)前兩位又不夠除的時(shí)候，可以用“差數(shù)試商法”，即根據(jù)被除數(shù)前兩位臨時(shí)組成的數(shù)與除數(shù)的差來試商的方法。若差數(shù)是1 或2，則初商為9；差數(shù)是3 或4，則初商為8；差數(shù)是5 或6，則初商為7；差數(shù)是7 或8，則初商是6；差數(shù)是9 時(shí)，則初商為5。若不準(zhǔn)確，只要調(diào)小1 就行了。例如1476÷18=82（18 與14 差4，初商為8，經(jīng)試除，商8正確）；1278÷17=75（17 與12 的差為5，初商為7，經(jīng)試除，商7 正確）。為了便于記憶，我們可將它編成

11、下面的口訣：差一差二商個(gè)九，差三差四八當(dāng)頭；差五差六初商七，差七差八先商六；差數(shù)是九五上陣，試商快速無憂愁。六、【恒等變形】恒等變形是一種重要的思想和方法，也是一種重要的解題技巧。它利用我們學(xué)過的知識(shí)，去進(jìn)行有目的的數(shù)學(xué)變形，常常能使題目很快地獲得解答。例如：（1）183268=（1832-32）（68+32）=1800100=1900（2）359.7-9.9=（359.7+0.1）-（9.9+o.1）=359.8-10=349.8七、【拆數(shù)加減】在分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算中，把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減或相加，使隱含的數(shù)量關(guān)系明朗化，并抵消其中的一些分?jǐn)?shù)，往往可大大地簡(jiǎn)化運(yùn)算。（1）、拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減。

12、例如：（2）、拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加。例如：八、【同分子分?jǐn)?shù)加減】同分子分?jǐn)?shù)的加減法，有以下的計(jì)算規(guī)律：分子相同，分母互質(zhì)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加（減）時(shí)，它們的結(jié)果是用原分母的積作分母，用原分母的和（或差）乘以這相同的分子所得的積作分子。分子相同，分母不是互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加減，也可按上述規(guī)律計(jì)算，只是最后需要注意把得數(shù)約簡(jiǎn)為既約（最簡(jiǎn)）分?jǐn)?shù)。例如：（注意：分?jǐn)?shù)減法要用減數(shù)的原分母減去被減數(shù)的原分母。）由上面的規(guī)律還可以推出，當(dāng)分子都是1，分母是連續(xù)的兩個(gè)自然數(shù)時(shí)，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，就是這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的積.即：.根據(jù)這一關(guān)系，我們也可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程。例如：.九、【先借后還】“先借后還”是一條重要的數(shù)學(xué)解題思想和解

13、題技巧。例如：（1）、做這道題，按先通分后相加的一般辦法，勢(shì)必影響解題速度。現(xiàn)在從“湊整”著眼，采用“先借后還”的辦法，很快就將題目解答出來了。（2）、.按一般方法解答此題，顯然是十分麻煩的。但“先借”個(gè)使它湊整成1，“再還”個(gè)，題目很快就解答出來了。十、【個(gè)數(shù)折半】下面的幾種情況下，可以運(yùn)用“個(gè)數(shù)折半”的方法，巧妙地計(jì)算出題目的得數(shù)。（1）分母相同的所有真分?jǐn)?shù)相加。求分母相同的所有真分?jǐn)?shù)的和，可采用“個(gè)數(shù)折半法”，即用這些分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)除以2，就能得出結(jié)果。 這一方法，也可以敘述為分母相同的所有真分?jǐn)?shù)相加，只要用最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子除以2，就能得出結(jié)果。（2）分母為偶數(shù)，分子為奇數(shù)的所有同分母的真

14、分?jǐn)?shù)相加，也可用“個(gè)數(shù)折半法”求得數(shù)。比方：（2） 分母相同的所有既約真分?jǐn)?shù)（最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)）相加，同樣可用“個(gè)數(shù)折半法”求得數(shù)。比方：十一、【帶分?jǐn)?shù)減法】帶分?jǐn)?shù)減法的巧算，可用下面的兩個(gè)方法。（1）減數(shù)湊整。例如：； （2）交換位置。例如：在這兩種方法中，第（1）種“湊整”法，也可以運(yùn)用到帶分?jǐn)?shù)的加法中去。例如：【帶分?jǐn)?shù)乘法】有些特殊的帶分?jǐn)?shù)相乘，可以采用一些特殊的巧算方法。（1）.相乘的兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)整數(shù)部分相同，分?jǐn)?shù)部分的和是1，則乘積也是個(gè)帶分?jǐn)?shù)，它的整數(shù)部分是一個(gè)因數(shù)的整數(shù)部分乘以比它大1 的數(shù)，分?jǐn)?shù)部分是兩個(gè)因數(shù)的分?jǐn)?shù)部分的乘積。例如： ； （2）.相乘的兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)整數(shù)部分相差1，分?jǐn)?shù)部分

15、和為1，則積也是個(gè)帶分?jǐn)?shù)，它用較大數(shù)的整數(shù)部分的平方，減去分?jǐn)?shù)部分的平方，所得的差就是這兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)的乘積。例如： ; （注：這是根據(jù)“（ab）（a-b）=a2-b2”推出來的。）（1） 相乘的兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分都是1，分子也都是1，分母相差1，則乘積也是個(gè)帶分?jǐn)?shù)。這個(gè)帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分是1，分子是2，分母與較大因數(shù)的分母相同。例如: ; ; ; （這是因?yàn)楫?dāng)a為自然數(shù)時(shí)，的緣故?？勺约和茖?dǎo)）十二、【兩分?jǐn)?shù)相除】有些分?jǐn)?shù)相除，可以采用以下的巧算方法：（1） 分子、分母分別相除。在個(gè)別情況下，分?jǐn)?shù)除法可沿用整數(shù)除法的做法：用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。不過，這只有在被除數(shù)的分子、分母

16、，分別是除數(shù)的分子、分母的整數(shù)倍數(shù)的情況下，計(jì)算才比較簡(jiǎn)便。例如：； （2） 分母相除，一次得商。在兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)相除的算式中，當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)的整數(shù)與分母調(diào)換了位置，而它們的分子又相同時(shí)，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法法則，只要用原除數(shù)的分母除以被除數(shù)的分母，所得的數(shù)就是它們的商。例如：； （注：用除法法則可以推出這種方法，略。）十三、小數(shù)的速算與巧算湊整法【知識(shí)提要】湊整法是小數(shù)加減法速算與巧算運(yùn)用的主要方法。用的時(shí)候主要看末位。但是小數(shù)計(jì)算中“小數(shù)點(diǎn)”一定要對(duì)齊?！纠}精講】例1、 計(jì)算5.6+2.38+4.4+0.62?！痉治觥?.6 與4.4 剛好湊成10，2.38 與0.62 剛好湊成3，這樣先湊整運(yùn)算起來會(huì)更加簡(jiǎn)便。【解答】原式=（5.6+4.4）+（2.38+0.62）=10+3=13【評(píng)注】湊整，特別是“湊十”、“湊百”等，是加減法速算的重要方法。例2、計(jì)算：1.999+19.99+199.9+1999?！痉治觥恳?yàn)樾?shù)計(jì)算起來容易出錯(cuò)。剛好1999 接近整千數(shù)2000，其余各加數(shù)看做與它接近