一元二次方程根的分布

1、一元二次方程根的分布教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生掌握一元二次方程實(shí)根分布問題的處理，加強(qiáng)求解一元二次不等轉(zhuǎn)化、圖形問題式及不等式組，初步訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力。教學(xué)重點(diǎn)：利用二次函數(shù)的圖象，把一元二次方程根的分布轉(zhuǎn)化代數(shù)表達(dá)式(不等式組) 計(jì)算 參數(shù)取值范圍。教學(xué)難點(diǎn)：圖形問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)表達(dá)式(不等式組)并求解。一、問題的提出若方程變式1變式2變式3x2 (m 2)x (m 5)。的兩根均為正數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.兩根一正一負(fù)時(shí)情況怎樣？兩實(shí)根均大于5時(shí)情況又怎樣？一根大于2,另一根小于-1時(shí)情況又怎樣？問題：能否從二次函數(shù)圖形角度去觀察理解？若能試比較兩種方法的優(yōu)劣 .方程ax2 bx c 0(a 0

2、)的實(shí)根，如若從二次函數(shù)圖形角度去觀察理解，其實(shí) 質(zhì)就是對應(yīng)的二次函數(shù)f(x) ax2 bx c 0(a 0)的拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).1 .二次方程有且只有一個(gè)實(shí)根屬于(m,n)的充要條件若m,n其中一個(gè)是方程的根，則由韋達(dá)定理可求出另一根.ax2bx c的圖象有以若m,n不是二次方程ax2 bx c 0的根，二次函數(shù)f (x) 下幾種可能：(3) a 0,m xi n X2(4) a0, Xim X2 n由圖象可以看出，f(x)在X m處的值f(m)與在X n處的值f(n)符號總是相反， 即f(m) f(n) 0;反之，若f(m) f(n) 0 , f (x)的圖象的相對位置只能是圖中四

3、種情 況之一.所以得出結(jié)論：若m, n都不是方程aX2 bX c 0 (a 0)的根，記f (x) aX2 bX c,則f (x) 0有 且只有一個(gè)實(shí)根屬于(m, n)的充要條件是f (m) f (n) 0 .2 .二次方程兩個(gè)根都屬于(m,n)的充要條件方程ax2 bc c 0 (a 0)的兩個(gè)實(shí)根都屬于(m, n),則二次函數(shù)f (x) ax2 bx c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)或相切于點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)或切點(diǎn)的橫坐標(biāo) 都大于m小于n,它的圖象有以下幾種情形：(3) a 0, mx1x2 n(4) a 0, mXiX2 n由此可得出結(jié)論：方程ax2 bx c 0 (a 0)的兩個(gè)實(shí)根都屬于區(qū)間(m

4、,n)的充要條件是:b2 4ac 0af (m) 0af (n) 0b m - n 2a 這里 f(x) ax2 bx c .同理可得出：3 .二次方程ax2 bx c 0的兩個(gè)實(shí)根分別在區(qū)間(m, n)的兩側(cè)(一根小于m , 另一根大于n)的充要條件是：af (m) 0af(n) 0這里 f (x) ax2 bx c .4 .二次方程ax2 bx c 0的兩個(gè)實(shí)根都在(m,n)的右側(cè)的充要條件是：af (n) 0b n2a次方程ax2 bx cb2 4ac 00的兩個(gè)實(shí)根都在(m,n)的左側(cè)(兩根都小于m )的充要條件是:b2 4ac 0af (m) 0b 一 m2a這里 f (x) ax2

5、 bx c .二.例題選講例1 .設(shè)A 2,4) , b xx2 ax 4 0,若B A ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.變式：已知方程x2 + (3m-1)x + (3 m-2)=0的兩個(gè)根都屬于(-3, 3),且其中至少有一個(gè) 根小于1,求m的取疝范圍.例 2已知方4x2 2(m 1)x (2m 3) 0(m R) 有兩個(gè)負(fù)根，求m 的取值范圍例3.求實(shí)數(shù)m的范圍，使關(guān)于x的方程x2 2(m 1)x 2m 6 0 .(1)有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比2大，一個(gè)比2小.(2 )有兩個(gè)實(shí)根，且滿足014.(3 )至少有一個(gè)正根.例5.已知二次方程mx2 (2m 1)x m 2 0的兩個(gè)根都小于1,求m的取值范圍

6、.例6.設(shè)關(guān)于x的方程4x 2x 1 b 0(b R),( 1)若方有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b 的取值范圍；( 2)當(dāng)方有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方的解。三鞏固練習(xí)1 已知二次程(3m 1)x2 (2m 3)x m 4 0有且只有一個(gè)實(shí)根屬于( -1, 1)， 求m 的取值范圍2.已知方程m 22x (2m 1) 2x m 0在(，1)上有兩個(gè)根，求m的取值范圍.3已知二次程(2m 1)x2 2mx (m 1) 0有且只有一個(gè)實(shí)根屬于(1， 2) ，且x 1,x 2都不是方程的根，求m的取值范圍.4 已知關(guān)于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有兩根，其中一根在區(qū)間( 1

7、， 0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1， 2)內(nèi)，求 m的范圍 .(2) 若方程兩根均在區(qū)間(0， 1)內(nèi)，求m 的范圍 .5若關(guān)于x 的方程x2+(a-1)x+1=0 有兩相異實(shí)根，且兩根均在區(qū)間0,2上，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍參考答案例1 .4 0有兩個(gè)實(shí)根，故此題不妨用求根公式來解決.法一：分析：觀察到方程x2 ax 解：因x2 ax 4 0有兩個(gè)實(shí)根故B A等價(jià)于xi2且x2 4,即法二：圖象法變式：解：原方程即為(x + 1)(x + 3m-2)=0,所以方程兩根分別為-1,2-3m,而-1在(-3,1)上，則由題意，另一根滿足 -3<2-3m<3- 1 <m< 5 .

8、33例2.解：依題意有4(m 1)2 4 4(2m 3) 0(m 1) 0m 11 .2m 3 0例 3.解：設(shè) y f (x) x2 2(m 1)x 2m 6.(1)依題意有 f(2) 0,即 4 4(m 1) 2m 6 0,得 m 1 .(2 )依題意有f (0) 2m 6 075f (1) 4m 5 0 斛得：一 m -.54f (4) 10m 14 0(3)方程至少有一個(gè)正根，則有三種可能：0m1或 m 5有兩個(gè)正根，此時(shí)可得 f(0) 0 ,即 m 33 ml.2(m_1) 0m 12有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，此時(shí)可得f(0) 0,得m 3.有一個(gè)正根，另一根為0,此時(shí)可得 6 2m 0

9、 m 3.2(m 1) 0綜上所述，得m 1 .例5.解一：二次方程兩個(gè)根都小于1,其充要條件為(2m 1)2 4m(m 2) 0mm (2m 1) m 2 0(2)2m 12m(1)即為 8m2 12m 1 0,它的解集是(，37 3-7, 44(2)即為m(2m 1) 0,它的解集是(，)(0,). 2(3)的解集是(，0) (L ).4所以，m的取值范圍是(，1)，).24).解二：二次方程mx2 (2m 1)x m 2 0有兩個(gè)根的充要條件是設(shè)兩根為X1，X2 ,由于X1,X2都小于1,即X1 1 0處1 0 ,其充要條件為:(X1 1) (X2 1) 0(X1 1)(X2 1) 0即

10、X1 X22 0X1X2 (X1 X2) 1 0因此，方程兩個(gè)根都小于1的充要條件是:(2m 1)2 4m(m2m 12 0 mm 2 2m 12) 0m m以下同解法一(略).解三：令y x 1 ,原方程轉(zhuǎn)化為m(y 1)22my (4m 1)y 2m 1因?yàn)樵匠虄筛夹∮?,所以方程(2m 1)(y 1) m 2 0,即)的兩個(gè)實(shí)根都小于0,其充要條件是:04m 1 0m2m 1同樣可求出m的取值范圍（略）.例6.分析：可用換元法，設(shè)2x t,原方程化為二次方程t2 2t b 0,但要注意t 0, 故原方程有解并不等價(jià)于方程 t2 2t b 0有解，而等價(jià)于方程 t2 2tb 0在 （0

11、,）內(nèi)有解.另外，方程有解的問題也可以通過參變分離轉(zhuǎn)化為求值域的問題， 它 的原理是：若關(guān)于x的方程a f（x）有解，則a f（x）的值域.解：（1）原方程為b 4x 2x 1 ,4x 2x 1 （2x）2 2 2x （2x 1）2 11,當(dāng)b 1,）時(shí)方程有實(shí)數(shù)解；（2）當(dāng)b 1時(shí)，2x 1, .方程有唯一解x 0;當(dāng) b 1 時(shí)，（2x 1）2 1 b 2x 1.2x 0,1 VTT 0, 2x 1 Vfb 的解為 x log2（1 、）；令1、,1 b 0. 1 b 11 b 0,當(dāng) 1 b 0t,2x 1 d1b的解為 x log2（1；綜合、，得1）當(dāng)1 b 0時(shí)原方程有兩解：x l

12、og2（1 /b）；2）當(dāng)b 0或b1時(shí)，原方程有唯一解x log2（1 vTb）；3）當(dāng)b 1時(shí)，原方程無解。鞏固練習(xí)1.解：易知x1 = -1是方程的一個(gè)根，則另一根為x2 =m-4 一、一一. 一3m-41 ,所以原方程有且 3m1僅有一個(gè)實(shí)根屬于（-1,1）當(dāng)且僅當(dāng)-1< :m-4 <1, 3m-im< - 2 或 m>2.解：令t54 ,m的取值氾圍為（-,-2二當(dāng) x （,1）時(shí)，t （0,2）.)U(m-43m1 +1>0m-4彳八3m-1 -1 <054 , +).4m-53m-12m+3 3m-1>0>02m 1 .022m(2

13、m 1)2 4m2 0m2 0m(9m 2) 0由于t 2x是映射的函數(shù)，所以*在（，1）上有兩個(gè)值，則t在（0,2）上有兩個(gè)對應(yīng)的值.因而方程mt2 （2m 1）t m 0在（0, 2）上有兩個(gè)不等實(shí)根，具充要條件 為(1) (3)(4)由（1）得： m 1 ,4由仔：m0,由仔：m0或由(4)仔：1m62 m92 m -,91一.211一，一. 21二即m的取值范圍為(-,1).49 43.解：設(shè) f(x) = (2m 1)x2 2mx (m 1),由于 f(x)是二次函數(shù)，所以 2m+1 豐 0-1mw- 2 .f(x) =0在(1, 2)上有且僅有一個(gè)實(shí)根當(dāng)且僅當(dāng) f(1) f(2)<0(5m+3)(m-2)<0-< <m<2.5綜上得：m的取值范圍是(-3 , - 1 )U(- 1 , 2). 5224.解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(1, 0)和(1,2)內(nèi)，則f(0)2m10,f( 1)20,f (1)4m20,f(2)6m501 m 2m R,1 m 25 m -6(2)據(jù)拋