第18講 時(shí)變電磁場(chǎng)(2)

1、第18講 時(shí)變電磁場(chǎng)（2）本節(jié)內(nèi)容：一，坡印廷定理和坡印廷矢量二，時(shí)諧場(chǎng)三，復(fù)介電常數(shù)與復(fù)磁導(dǎo)率 一，坡印廷定理和坡印廷矢量電磁場(chǎng)是一種物質(zhì)，并且具有能量。交變場(chǎng)中電場(chǎng)、磁場(chǎng)均隨時(shí)間變化，所以電場(chǎng)能量密度、磁場(chǎng)能量密度也必隨時(shí)間變化，而空間各點(diǎn)電磁能量密度的變化說明能量發(fā)生了轉(zhuǎn)移或轉(zhuǎn)化。電磁能量按照一定的分布形式儲(chǔ)存于空間，并且隨著電磁場(chǎng)的變化在空間傳輸。下面從麥克斯韋方程出發(fā)，導(dǎo)出表征電磁能量守恒和轉(zhuǎn)換關(guān)系的坡印廷定理，以及描述能量轉(zhuǎn)移情況的電磁能流矢量坡印廷矢量。1，電磁能量守恒坡印廷定理（1）由麥克斯韋第一、二方程： （5.5-1） （5.5-2）（5.5-2）-（5.5-1）得： （5

2、.5-3）而：同理： 由矢量恒等式：上式兩邊積分： 即：即： 坡印廷定理下面解釋一下上式各項(xiàng)的物理意義。由焦耳定律，單位體積內(nèi)的損耗功率為，顯然右邊第二項(xiàng)為體積V內(nèi)的損耗功率。左邊為電磁能量的減少率。而體積V內(nèi)電磁能量的減少不外乎兩種原因，一是損耗掉而轉(zhuǎn)化為其它形式的能量，另一是轉(zhuǎn)移到V之外。顯然，式中第一項(xiàng)代表的是通過S流出體積V的功率。若媒質(zhì)為無耗的（），則，此時(shí)，V內(nèi)功率的減少就等于流出V的表面S的功率。坡印廷定理體現(xiàn)了電磁場(chǎng)中的能量守恒關(guān)系。（2）假設(shè)電磁場(chǎng)在一有耗的導(dǎo)電媒質(zhì)中，媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，電場(chǎng)會(huì)在此有耗導(dǎo)電媒質(zhì)中引起傳導(dǎo)電流J=E。根據(jù)焦耳定律，在體積V內(nèi)由于傳導(dǎo)電流引起的功率損

3、耗是 由麥克斯韋方程式 利用矢量恒等式 利用散度定理上式可改寫為 這就是適合一般媒質(zhì)的坡印廷定理。 利用矢量函數(shù)求導(dǎo)公式 對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)，即D=E, B=H, J=E, 可知， 同理， 對(duì)于各向同性的線性媒質(zhì)， 坡印廷定理表示如下： 為了說明上式的物理意義，我們首先假設(shè)儲(chǔ)存在時(shí)變電磁場(chǎng)中的電磁能量密度的表示形式和靜態(tài)場(chǎng)的相同，即。其中，為電場(chǎng)能量密度，為磁場(chǎng)能量密度， 它們的單位都是。另外，引如一個(gè)新矢量 電磁能流與坡印廷矢量因?yàn)榇斫?jīng)曲面S流出體積V的功率，所以被積函數(shù)代表通過單位面積的功率流，或能流密度矢量。令： 坡印廷矢量（W/m²）的方向?yàn)槟芰苛鲃?dòng)的方向，大小為垂直流

4、過單位面積的功率。空間只要有電場(chǎng)和磁場(chǎng)同時(shí)存在，就會(huì)有能量流通。即使在直流情況下也是如此。據(jù)此，坡印廷定理可以寫成 式右邊第一項(xiàng)表示體積V中電磁能量隨時(shí)間的增加率， 第二項(xiàng)表示體積V中的熱損耗功率(單位時(shí)間內(nèi)以熱能形式損耗在體積V中的能量)。 根據(jù)能量守恒定理，上式左邊一項(xiàng)代表單位時(shí)間內(nèi)穿過體積V的表面S流入體積V的電磁能量。因此，面積分左面第一項(xiàng)表示單位時(shí)間內(nèi)流出包圍體積V的表面S的總電磁能量。由此可見，坡印廷矢量S=E×H可解釋為通過S面上單位面積的電磁功率。 在靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)情況下，由于電流為零以及 ，所以坡印廷定理只剩一項(xiàng)S(E×H)·dS=0。由坡印廷定

5、理可知，此式表示在場(chǎng)中任何一點(diǎn)，單位時(shí)間流出包圍體積V表面的總能量為零，即沒有電磁能量流動(dòng)。由此可見，在靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)情況下， S=E×H并不代表電磁功率流密度。 在恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng)情況下， 所以由坡印廷定理可知，V J·EdV=-S(E×H)·dS。因此，在恒定電流場(chǎng)中，S=E×H可以代表通過單位面積的電磁功率流。它說明，在無源區(qū)域中，通過S面流入V內(nèi)的電磁功率等于V內(nèi)的損耗功率。 在時(shí)變電磁場(chǎng)中，S=E×H代表瞬時(shí)功率流密度，它通過任意截面積的面積分P=S(E×H)·dS代表瞬時(shí)功率。 例5.5-1 內(nèi)、外

6、半徑分別為a、b的同軸線，加電壓，端接電阻R，導(dǎo)體上有電流，求輸入到電阻的功率。解：輸入到R的功率等于通過任一橫截面的功率，而 而： 這與電路中的結(jié)果是一致的，但它揭示了能量傳輸?shù)臋C(jī)理。負(fù)載消耗的能量是通過同軸線中的內(nèi)、外導(dǎo)體間電磁場(chǎng)傳輸?shù)?，而不是通過導(dǎo)體傳輸?shù)模瑢?dǎo)體僅起引導(dǎo)作用。例 試求一段半徑為b，電導(dǎo)率為，載有直流電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線表面的坡印廷矢量，并驗(yàn)證坡印廷定理。 解：如圖，一段長(zhǎng)度為l的長(zhǎng)直導(dǎo)線，其軸線與圓柱坐標(biāo)系的z軸重合，直流電流將均勻分布在導(dǎo)線的橫截面上，于是有 在導(dǎo)線表面， 因此，導(dǎo)線表面的坡印廷矢量 它的方向處處指向?qū)Ь€的表面。將坡印廷矢量沿導(dǎo)線段表面積分，二，時(shí)諧場(chǎng)前面的

7、討論是針對(duì)隨時(shí)間任意變化的電磁場(chǎng)進(jìn)行的，在實(shí)際問題中，通常只需要研究隨時(shí)間作正弦變化的電磁場(chǎng)，這種電磁場(chǎng)稱為時(shí)諧場(chǎng)。在線性媒質(zhì)中，即使是按任意規(guī)律隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)，也可按時(shí)間展開成傅立葉級(jí)數(shù)，因此可看作許多個(gè)時(shí)諧場(chǎng)的迭加。研究正弦電磁場(chǎng)，可以象正弦交流電路中的相量一樣，引入一個(gè)復(fù)數(shù)來表示時(shí)諧場(chǎng)，從而使分析、計(jì)算簡(jiǎn)化。復(fù)數(shù)a定義為 式中j是虛數(shù) ; a是a的實(shí)部, a是a的虛部, 即 設(shè)時(shí)諧電磁場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E(t)的一個(gè)坐標(biāo)分量為Ex(t), 它的一般表達(dá)式為： 1， 正弦電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示法時(shí)變電磁場(chǎng)的任一坐標(biāo)分量隨時(shí)間作正弦變化時(shí)，其振幅和初相也都是空間坐標(biāo)的函數(shù)。 以電場(chǎng)強(qiáng)度為例， 在直

8、角坐標(biāo)系中， 式中電場(chǎng)強(qiáng)度的各個(gè)坐標(biāo)分量為 角頻率 初相角與電路理論中的處理相似，利用復(fù)數(shù)或相量來描述正弦電磁場(chǎng)場(chǎng)量，可使數(shù)學(xué)運(yùn)算簡(jiǎn)化：對(duì)時(shí)間變量t進(jìn)行降階(把微積分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程)減元(消去各項(xiàng)的共同時(shí)間因子)。例如因此，我們也把，稱為的復(fù)數(shù)形式。給定函數(shù)，有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)； 反之亦然。由于所以，采用復(fù)數(shù)表示時(shí)，正弦量對(duì)時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)等價(jià)于該正弦量的復(fù)數(shù)形式乘以j，即 同理，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量也可用復(fù)數(shù)表示為 式中稱為電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)振幅矢量或復(fù)矢量，它只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，與時(shí)間t無關(guān)。這樣我們就把時(shí)間t和空間x、y、z的四維(x, y, z, t)矢量函數(shù)簡(jiǎn)化成了空間(x, y, z)的三維函

9、數(shù)，即 若要得出瞬時(shí)值，只要將其復(fù)振幅矢量乘以并取實(shí)部，便得到其相應(yīng)的瞬時(shí)值： 場(chǎng)量與復(fù)振幅具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此，研究電磁場(chǎng)可通過研究其復(fù)振幅進(jìn)行。以后將會(huì)看到研究復(fù)振幅的好處。（注意如何由瞬時(shí)值寫出復(fù)振幅或由復(fù)振幅求瞬時(shí)值）電磁場(chǎng)中的其它物理量，也可用相應(yīng)的復(fù)矢量或標(biāo)量表示。例 將下列用復(fù)數(shù)形式表示的場(chǎng)矢量變換成瞬時(shí)值，或作相反的變換。 例 5 將下列場(chǎng)矢量的復(fù)數(shù)形式寫為瞬時(shí)值形式。 2，復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組既然電磁場(chǎng)量可用復(fù)數(shù)表示，則麥克斯韋方程也可用復(fù)數(shù)表示。以第一方程為例： 可見引入復(fù)振幅后，可把對(duì)時(shí)間的微分運(yùn)算變成代數(shù)運(yùn)算，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。同樣，可把其它方程用復(fù)振幅表示出來，

10、故復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組為： 3、復(fù)數(shù)形式的坡印廷矢量對(duì)正弦電磁場(chǎng)，當(dāng)場(chǎng)矢量用復(fù)數(shù)表示時(shí)： 從而坡印廷矢量瞬時(shí)值可寫為 它在一個(gè)周期T=2/內(nèi)的平均值為 式中稱為復(fù)坡印廷矢量，它與時(shí)間無關(guān)，表示復(fù)功率流密度，其實(shí)部為平均功率流密度(有功功率流密度)，虛部為無功功率流密度。 注意式中的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度是復(fù)振幅值而不是有效值；是E、H的共扼復(fù)數(shù)，稱為平均能流密度矢量或平均坡印廷矢量。 類似地可得到電場(chǎng)能量密度、磁場(chǎng)能量密度和導(dǎo)電損耗功率密度的表示式： 今后主要討論簡(jiǎn)諧場(chǎng)，所研究的場(chǎng)量一般都是復(fù)振幅。為書寫方便，如寫成，和瞬時(shí)值符號(hào)一樣，應(yīng)注意根據(jù)情況區(qū)分是瞬時(shí)值還是復(fù)振幅。如： 由顯然為復(fù)振幅

11、 注意：不能由復(fù)坡印廷矢量乘再取實(shí)部來求的瞬時(shí)值。但由它求平均功率很方便，而實(shí)際問題中通常關(guān)心的是平均功率而非瞬時(shí)功率，故復(fù)坡印廷矢量具有實(shí)用價(jià)值。三，復(fù)介電常數(shù)與復(fù)磁導(dǎo)率 媒質(zhì)在電磁場(chǎng)作用下呈現(xiàn)三種狀態(tài)：極化、磁化和傳導(dǎo)，它們可用一組宏觀電磁參數(shù)表征，即介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。在靜態(tài)場(chǎng)中這些參數(shù)都是實(shí)常數(shù)；而在時(shí)變電磁場(chǎng)作用下，反映媒質(zhì)電磁特性的宏觀參數(shù)與場(chǎng)的時(shí)間變化有關(guān)，對(duì)正弦電磁場(chǎng)即與頻率有關(guān)。研究表明：一般情況下(特別在高頻場(chǎng)作用下)， 描述媒質(zhì)色散特性的宏觀參數(shù)為復(fù)數(shù)，其實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)， 且虛部總是大于零的正數(shù)，即 為了說明復(fù)介電常數(shù)的虛部反映介質(zhì)的極化損耗，現(xiàn)在考慮電介質(zhì)單位體積內(nèi)的極化功率損耗的時(shí)間平均值：可見單位體積的極化損耗與成正比。復(fù)介電常數(shù)與復(fù)磁導(dǎo)率的幅角稱為損耗角，用，表示損耗角正切：對(duì)于具有復(fù)介電常數(shù)的導(dǎo)電媒質(zhì)，考慮到傳導(dǎo)電流J=E, 上式表明，導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳導(dǎo)電流和位移電流可以用一個(gè)等效的位移電流代替；導(dǎo)電