整數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

1、全免費(fèi) ，免注冊(cè) ，無(wú)限資料無(wú)限下載歡迎您訪問(wèn)嘉興數(shù)學(xué)教學(xué)網(wǎng)第二節(jié) 整數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用（1）基礎(chǔ)知識(shí)整數(shù)的性質(zhì)有很多，這里我們著重討論整數(shù)的整除性、整數(shù)的奇偶性，質(zhì)數(shù)與合數(shù)、完全平方數(shù)及整數(shù)的尾數(shù)等幾個(gè)方面的應(yīng)用。1整除的概念及其性質(zhì)在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中如果不加特殊說(shuō)明，我們所涉及的數(shù)都是整數(shù)，所采用的字母也表示整數(shù)。定義：設(shè)是給定的數(shù)，若存在整數(shù)，使得則稱(chēng)整除，記作，并稱(chēng)是的一個(gè)約數(shù)(因子)，稱(chēng)是的一個(gè)倍數(shù)，如果不存在上述，則稱(chēng)不能整除記作 。由整除的定義，容易推出以下性質(zhì)：(1)若且，則(傳遞性質(zhì))；(2)若且，則即為某一整數(shù)倍數(shù)的整數(shù)之集關(guān)于加、減運(yùn)算封閉。若反復(fù)運(yùn)用這一性質(zhì)，易知及，則對(duì)于

2、任意的整數(shù)有。更一般，若都是的倍數(shù)，則。或著，則其中；(3)若，則或者，或者，因此若且，則；(4)互質(zhì)，若，則；(5)是質(zhì)數(shù)，若，則能整除中的某一個(gè)；特別地，若是質(zhì)數(shù)，若，則；(6)(帶余除法)設(shè)為整數(shù)，則存在整數(shù)和，使得，其中，并且和由上述條件唯一確定；整數(shù)被稱(chēng)為被除得的(不完全)商，數(shù)稱(chēng)為被除得的余數(shù)。注意：共有種可能的取值：0,1，。若，即為被整除的情形；易知，帶余除法中的商實(shí)際上為（不超過(guò)的最大整數(shù)），而帶余除法的核心是關(guān)于余數(shù)的不等式：。證明的基本手法是將分解為與一個(gè)整數(shù)之積，在較為初級(jí)的問(wèn)題中，這種數(shù)的分解常通過(guò)在一些代數(shù)式的分解中取特殊值而產(chǎn)生，下面兩個(gè)分解式在這類(lèi)論證中應(yīng)用很多

3、，見(jiàn)例1、例2。若是正整數(shù)，則；若是正奇數(shù)，則；（在上式中用代）(7)如果在等式中取去某一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均為的倍數(shù)，則這一項(xiàng)也是的倍數(shù)；(8)n個(gè)連續(xù)整數(shù)中，有且只有一個(gè)是n的倍數(shù)；(9)任何n個(gè)連續(xù)的整數(shù)之積一定是n!的倍數(shù)，特別地，三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)之積能被6整除；2奇數(shù)、偶數(shù)有如下性質(zhì)：(1)奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)，偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)；即任意多個(gè)偶數(shù)的和、差、積仍為偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和、差仍為奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和、差為偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)的和為奇數(shù)，和為偶數(shù)；（2）奇數(shù)的平方都可以表示成的形式，偶數(shù)的平方可以表示為或的形式；（3）任何一個(gè)正整數(shù)，都可以

4、寫(xiě)成的形式，其中為負(fù)整數(shù)，為奇數(shù)。（4）若有限個(gè)整數(shù)之積為奇數(shù)，則其中每個(gè)整數(shù)都是奇數(shù)；若有限個(gè)整數(shù)之積為偶數(shù)，則這些整數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；兩個(gè)整數(shù)的和與差具有相同的奇偶性；偶數(shù)的平方根若是整數(shù)，它必為偶數(shù)。3完全平方數(shù)及其性質(zhì)能表示為某整數(shù)的平方的數(shù)稱(chēng)為完全平方數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)平方數(shù)。平方數(shù)有以下性質(zhì)與結(jié)論：（1）平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只可能是0,1，4,5，6,9；（2）偶數(shù)的平方數(shù)是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方數(shù)被8除余1，即任何平方數(shù)被4除的余數(shù)只有可能是0或1；（3）奇數(shù)平方的十位數(shù)字是偶數(shù)；（4）十位數(shù)字是奇數(shù)的平方數(shù)的個(gè)位數(shù)一定是6；（5）不能被3整除的數(shù)的平方被3除余1，能被3整數(shù)的數(shù)的平方能被3

5、整除。因而，平方數(shù)被9也合乎的余數(shù)為0,1，4,7，且此平方數(shù)的各位數(shù)字的和被9除的余數(shù)也只能是0,1，4,7；（6）平方數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)；（7）任何四個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積加1，必定是一個(gè)平方數(shù)。（8）設(shè)正整數(shù)之積是一個(gè)正整數(shù)的次方冪（），若（）1，則都是整數(shù)的次方冪。一般地，設(shè)正整數(shù)之積是一個(gè)正整數(shù)的次方冪（），若兩兩互素，則都是正整數(shù)的k次方冪。4整數(shù)的尾數(shù)及其性質(zhì)整數(shù)的個(gè)位數(shù)也稱(chēng)為整數(shù)的尾數(shù)，并記為。也稱(chēng)為尾數(shù)函數(shù)，尾數(shù)函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若，則；（6）；（7）；（8）5整數(shù)整除性的一些數(shù)碼特征（即常見(jiàn)結(jié)論）（1）若一個(gè)整數(shù)的未位數(shù)字能被2（或5）整除

6、，則這個(gè)數(shù)能被2（或5）整除，否則不能；（2）一個(gè)整數(shù)的數(shù)碼之和能被3（或9）整除，則這個(gè)數(shù)能被3（或9）整除，否則不能；（3）若一個(gè)整數(shù)的未兩位數(shù)字能被4（或25）整除，則這個(gè)數(shù)能被4（或25）整除，否則不能；（4）若一個(gè)整數(shù)的未三位數(shù)字能被8（或125）整除，則這個(gè)數(shù)能被8（或125）整除，否則不能；（5）若一個(gè)整數(shù)的奇位上的數(shù)碼之和與偶位上的數(shù)碼之和的差是11的倍數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被11整除，否則不能。6質(zhì)數(shù)與合數(shù)及其性質(zhì)1正整數(shù)分為三類(lèi)：（1）單位數(shù)1；（2）質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）：一個(gè)大于1的正整數(shù)，如果它的因數(shù)只有1和它本身，則稱(chēng)為質(zhì)（素）數(shù)；（3）如果一個(gè)自然數(shù)包含有大于1而小于其本身的因子，

7、則稱(chēng)這個(gè)自然數(shù)為合數(shù)。2有關(guān)質(zhì)（素）數(shù)的一些性質(zhì)（1）若，則的除1以外的最小正因數(shù)是一個(gè)質(zhì)（素）數(shù)。如果，則；（2）若是質(zhì)（素）數(shù)，為任一整數(shù)，則必有或（）1；（3）設(shè)為個(gè)整數(shù)，為質(zhì)（素）數(shù)，且，則必整除某個(gè)（）；（4）（算術(shù)基本定理）任何一個(gè)大于1的正整數(shù)，能唯一地表示成質(zhì)（素）因數(shù)的乘積（不計(jì)較因數(shù)的排列順序）；（5）任何大于1的整數(shù)能唯一地寫(xiě)成的形式，其中為質(zhì)（素）數(shù)（）。上式叫做整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式；（6）若的標(biāo)準(zhǔn)分解式為，的正因數(shù)的個(gè)數(shù)記為，則。典例分析例1證明：被1001整除。證明：所以整除。例2對(duì)正整數(shù)，記為的十進(jìn)制表示中數(shù)碼之和。證明：的充要條件是。證明：設(shè)（這里，且），則，于是有

8、對(duì)于，知，故式右端個(gè)加項(xiàng)中的每一個(gè)都是9的倍數(shù)，從而由整除的性質(zhì)可知它們的和也能被9整除，即。由此可易推出結(jié)論的兩個(gè)方面。例3設(shè)是一個(gè)奇數(shù)，證明L對(duì)于任意正整數(shù)，數(shù)不能被整除。證明：時(shí)，結(jié)論顯然成立。設(shè)，記所說(shuō)的和為A，則：。由k是正奇數(shù)，從而結(jié)于每一個(gè)，數(shù)被整除，故被除得余數(shù)為2，從而A不可能被整除（注意）。例4設(shè)是正整數(shù)，證明：（）（）。證明：首先，當(dāng)時(shí)，易知結(jié)論成立。事實(shí)上，時(shí)，結(jié)論平凡；當(dāng)時(shí)，結(jié)果可由推出來(lái)（注意）。最后，的情形可化為上述特殊情形：由帶余除法而，由于，從而由若是正整數(shù)，則知；而，故由上面證明了的結(jié)論知（注意時(shí)結(jié)論平凡），從而當(dāng)時(shí)，也有（）（）。這就證明了本題的結(jié)論。 例

9、5設(shè)正整數(shù)滿足，證明：不是質(zhì)（素）數(shù)。證法一：由，可設(shè)其中。由意味著有理數(shù)的分子、分母約去了某個(gè)正整數(shù)后得既約分?jǐn)?shù)，因此，同理，存在正整數(shù)使得因此，是兩個(gè)大于1的整數(shù)之積，從而不是素?cái)?shù)。注：若正整數(shù)適合，則可分解為及的形式，這一結(jié)果在某些問(wèn)題的解決中很有作用。證法二：由，得，因此，因?yàn)槭钦麛?shù)，故也是整數(shù)。若它是一個(gè)素?cái)?shù)，設(shè)為，則由可見(jiàn)整除，從而素?cái)?shù)整除或。不妨設(shè)，則，結(jié)合推出，而這是不可能的（因?yàn)椋?。?求出有序整數(shù)對(duì)（）的個(gè)數(shù)，其中，是完全平方數(shù)。（1999年美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）解：由于，可得：。又，于是若是完全平方數(shù)，則必有。然而，于是必有，即，此時(shí)，。所以所求的有序整數(shù)對(duì)（）共有98對(duì)：

10、。例7證明：若正整數(shù)滿足，則和都是完全平方數(shù)。（2006年山東省第二屆夏令營(yíng)試題）證法一：已知關(guān)系式即為（）（）若（或者說(shuō)中有一個(gè)為0時(shí)），結(jié)論顯然。不妨設(shè)且，令，則，從而，將其代入得因?yàn)?，所以，從而；而式又可?xiě)成；因?yàn)榍?，所以所以，從而。所以，所以，從而為完全平方?shù)。所以也是完全平方數(shù)。證法二：已知關(guān)系式即為（）（）論證的關(guān)鍵是證明正整數(shù)與互素。記（，）。若，則有素因子，從而由知。因?yàn)槭撬財(cái)?shù)，故，結(jié)合知，從而由得1，這是不可能的。故，從而由推知正整數(shù)與都是完全平方數(shù)。例8證明不存在正整數(shù)，使2n2+1，3n2+1，6n2+1都是完全平方數(shù)。證明：假設(shè)存在這樣的正整數(shù)，使2n2+1，3n2+1

11、，6n2+1都是完全平方數(shù)，那么（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）也必定是完全平方數(shù)。而（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）36n6+36n4+11n2+1；36n6+36n4+9n2；36n6+36n4+12n3+9n2+6n+1；所以（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）與（2n2+1）（3n2+1）（6n2+1）為完全平方數(shù)矛盾。例9數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記，求所有的正整數(shù)，使得能被8整除（2005年上海競(jìng)賽試題）解：記注意到，可得因此，Sn+2除以8的余數(shù)，完全由Sn+1、Sn除以8的余數(shù)確定，故由(*)式可以算出各項(xiàng)除以8的余數(shù)依次是1,3，0,5，7,0，1,3，它是

12、一個(gè)以6為周期的數(shù)列，從而故當(dāng)且僅當(dāng)練習(xí)題1證明：如果和都是大于3的素?cái)?shù)，則6是的因子。證明：因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以2是的因子。又因?yàn)?，除?的余數(shù)各不相同，而與都不能被3整數(shù)。于是6是的因子。2設(shè)，證明：；解：由，故（）。又因?yàn)?，從而，于是由整除的性質(zhì)知。3證明：對(duì)于任意正整數(shù)，數(shù)不能被整除。證明：只需證2（）2（）即可。因?yàn)槿羰钦麛?shù)，則；若是正奇數(shù)，則；故；， 所以2（）。又因?yàn)?，所?，所以2（）2即（）2（）命題得證。4已知為正奇數(shù)，求證：。證明：因?yàn)槿羰钦麛?shù)，則；若是正奇數(shù)，則；所以，從而；，從而；，從而；又且，所以。5設(shè)a、b、c為滿足不等式1abc的整數(shù)，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能數(shù)組（a，b，c）.（1989年上海競(jìng)賽試題）解  （ab-1）（bc-1）（ca-1）=a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1，abc|（ab-1）（bc-