2021年人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊課件：《9.1.2分層隨機(jī)抽樣》(含答案)

1、人教必修二第九章9.1.2分層隨機(jī)抽樣問題導(dǎo)入 問題一：一家家具廠要為樹人中學(xué)高一年級制作課桌椅，他們事先想了解全體高一年級學(xué)生的平均身高，以便設(shè)定可調(diào)節(jié)課桌椅的標(biāo)準(zhǔn)高度。已知樹人中學(xué)高一年級有712名學(xué)生，其中男生有326名，女生有386名。如果要通過抽查的方法調(diào)查高一年級學(xué)生的平均身高，你有什么辦法？應(yīng)該怎么抽取樣本？可以用簡單隨機(jī)抽樣的抽簽法或者隨機(jī)數(shù)法。抽簽法：先給712名學(xué)生編號，例如1712進(jìn)行編號；然后把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片（也可以是卡片、小球等）上作為號簽，并將這些小紙片放在一個不透明的盒里，充分?jǐn)嚢?；最后從盒中不放回地逐個抽取號簽，使與號簽上的編號對應(yīng)的學(xué)生

2、進(jìn)入樣本，直到抽足樣本所需要的人數(shù)。問題二：針對以上抽樣方法，你發(fā)現(xiàn)了什么不足之處？隨機(jī)數(shù)法：先給712名學(xué)生編號，例如1712進(jìn)行編號；用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生1712范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號，使與編號對應(yīng)的學(xué)生進(jìn)入樣本；重復(fù)上述過程，直到抽足樣本所需要的人數(shù)。抽樣調(diào)查最核心的問題就是樣本的代表性。簡單隨機(jī)抽樣是使總體中每一個個體都有相等的機(jī)會被抽中，但因為抽樣的隨機(jī)性，有可能會出現(xiàn)比較“極端”的樣本。例如，在問題一的調(diào)查中，可能出現(xiàn)樣本中50個個體大部分來自高個子或者矮個子的情形。這種“極端”樣本的平均數(shù)會大幅度偏離總體平均數(shù)，從而使得估計出現(xiàn)誤差。問題導(dǎo)入 問題三：在樹人

3、中學(xué)高一年級有712名學(xué)生，其中男生有326名，女生有386名。針對以上不足，能否利用這個額外信息改進(jìn)簡單隨機(jī)抽樣方法，減少“極端數(shù)據(jù)”，從而提高對整個年級平均身高的估計？ 我們知道，影響身高的因素有很多，性別是一個主要因素。高中男生普遍高于女生，而相同性別的身高差異相對較小。 那我們就可以利用性別和身高的這種關(guān)系，把高一年級學(xué)生分成男生和女生兩個身高有明顯差異的群體，對兩個群體分別進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，然后匯總作為總體的一個樣本。 由于在男生和女生兩個群體中都抽取了相應(yīng)的個體，這樣就能有效地避免“極端”樣本。問題導(dǎo)入 思考：對男生、女生分別進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，樣本量在男生、女生中應(yīng)分別分配？ 顯然

4、，為了使樣本的結(jié)構(gòu)與總體的分布相近，人數(shù)多的群體應(yīng)多抽一些，人數(shù)少的應(yīng)少抽一些。 因此，按男生、女生在全體學(xué)生中所占的比例進(jìn)行分配是比較合理的方式。 即 這樣無論是男生還是女生，每個學(xué)生抽到的概率都相等。當(dāng)總樣本量為50時，可以計算出從男生、女生分別應(yīng)抽取的人數(shù)為問題導(dǎo)入 總樣本量全體學(xué)生數(shù)男生人數(shù)男生樣本量總樣本量全體學(xué)生數(shù)女生人數(shù)女生樣本量2350712326男n2750712386女n我們按照上述方法抽取了一個容量為50的樣本，其觀測數(shù)據(jù)如下（單位：cm）問題導(dǎo)入 2 .1657123866 .1603266 .170通過計算，得出男生和女生身高的樣本平均數(shù)分別為170.6，160.6.

5、根據(jù)男生、女生身高的樣本平均數(shù)以及它們各自的人數(shù)，可以估計總體平均數(shù)為即估計樹人中學(xué)高一年級學(xué)生的平均身高在165.2cm左右。上面我們按照性別變量，把高一年級學(xué)生劃分為男生、女生兩個身高差異較小的子總體分別進(jìn)行抽樣，進(jìn)而得到總體的估計。 分層隨機(jī)抽樣（或類型抽樣）定義一般地，按一個或多個變量把總體劃分為若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個字總體中獨立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個子總體稱為層。在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配。知識探究（一）：分層隨

6、機(jī)抽樣 問題一：根據(jù)以上定義，你能總結(jié)出分層隨機(jī)抽樣的步驟嗎？ 分層抽樣的步驟：(1)將總體按一定的標(biāo)準(zhǔn)分層；(2)計算抽樣比；(3)按抽樣比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；(4)在每一層進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣;(5)綜合每層抽取的樣本，組成總樣本.知識探究（一）：分層隨機(jī)抽樣 開始分層分層計算抽樣計算抽樣比比定層抽取容量定層抽取容量抽樣抽樣組樣組樣結(jié)束問題二：抽樣比怎樣計算？關(guān)于分層隨機(jī)抽樣，你認(rèn)為還有那些需要特別注意的？（1）分層通常是根據(jù)總體的差異來分層;將同類型的個體歸為一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；（2）分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層

7、中進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比與抽樣比相等或相近。由此可見：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層隨機(jī)抽樣的方法.知識探究（一）：分層隨機(jī)抽樣 總體量樣本容量抽樣比 問題三：在分層隨機(jī)抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)嗎？在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n。知識探究（一）：分層隨機(jī)抽樣 niinNiiNmiimMiiMnNmMynnyyyyYNNYYYYxmmxxxxXMMXXXXyyyYYYxxxXXX121121121121212121211;121;112,1,;1,1,平均數(shù)分別

8、為層的總體平均數(shù)和樣本第平均數(shù)分別為層的總體平均數(shù)和樣本則第量值；層樣本的各個個體的變表示第用層各個個體的變量值，表示第，用值樣本的各個個體的變量層表示第用層各個個體的變量值，表示第，我們用知識探究（一）：分層隨機(jī)抽樣 nmyxwNMYXWniimiiNiiMii1111;均數(shù)分別為則總體平均數(shù)和樣本平WyNMNxNMMNMyNxMYyXx估計總體平均數(shù)因此我們可以用，層的總體平均數(shù)可以估計第層的樣本平均數(shù)用第，層的總體平均數(shù)可以估計第層的樣本平均數(shù)由于第2211ywynmnxnmmyNMNxNMMNMnmNnMm可得抽樣中，在比例分配的分層隨機(jī)計總體平均數(shù)以直接用樣本平均數(shù)估層隨機(jī)抽樣中，我

9、們可因此，在比例分配的分思考：與考察簡單隨機(jī)抽樣估計效果類似，小明也想通過多次抽樣考察一下分層隨機(jī)抽樣的估計效果。他用比例分配的分層隨機(jī)抽樣，從高一年級的學(xué)生中抽取了10個樣本量為50的樣本，計算出樣本平均數(shù)如下表所示。與上一節(jié)“探究”中相同樣本量的簡單隨機(jī)抽樣的結(jié)果比較，小明有了一個重要的發(fā)現(xiàn)。你是否也有所發(fā)現(xiàn)？知識探究（一）：分層隨機(jī)抽樣 我們把分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)與簡單隨機(jī)抽樣的平均數(shù)用右圖進(jìn)行對比，其中紅線表示整個年級學(xué)生身高的平均數(shù)。知識探究（一）：分層隨機(jī)抽樣 從試驗結(jié)果看，分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)圍繞總體平均數(shù)波動，與簡單隨機(jī)抽樣的結(jié)果比較，分層抽樣并沒有明顯優(yōu)于簡單隨機(jī)抽樣。但

10、相對而言，分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)波動幅度更均勻，簡單隨機(jī)抽樣中出現(xiàn)了（第2個）偏離總體平均數(shù)的幅度較大的樣本平均數(shù)，即出現(xiàn)了比較“極端”的樣本，而分層隨機(jī)抽樣沒有出現(xiàn)。 實際上，在個體之間差異較大的情形下，只要選取的分層變量合適，使得各層間差異明顯、層內(nèi)差異不大，分層隨機(jī)抽樣的效果一般會好于簡單隨機(jī)抽樣，也好于很多其他抽樣方法。 分層隨機(jī)抽樣的組織實施也比簡單隨機(jī)抽樣方便，而且除了能得到總體的估計外，還能得到每層的估計。 在實際抽樣調(diào)查中，由于實際問題的復(fù)雜性，除了要考慮獲得的樣本的代表性，還要考慮調(diào)查實施中人力、物力、時間等因素，因此通常會把多種抽樣方法組合起來使用。例如，在分層抽樣中，不

11、同的層內(nèi)除了用簡單隨機(jī)抽樣外，還可以用其他的抽樣方法，有時層內(nèi)還需要再進(jìn)行分層，等等。知識探究（一）：分層隨機(jī)抽樣 問題四：對比簡單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣，你能找到什么異同？知識探究（一）：分層隨機(jī)抽樣 類 別共同點各自特點聯(lián) 系適 用范 圍 簡 單隨 機(jī)抽 樣（1）抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等（2）每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個抽取各層抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣總體個數(shù)較少分 層隨 機(jī)抽 樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取 總體由差異明顯的幾部分組成 例、一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人，為了了

12、解這個單位職工與身體狀態(tài)有關(guān)的某項指標(biāo)，要從中抽取100名職工作為樣本，若職工年齡與這項指標(biāo)有關(guān)，應(yīng)該怎樣抽?。拷猓河帽壤峙涞姆謱与S機(jī)抽樣來抽取樣本，步驟如下：(1)分層按年齡將500名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲及50歲以上的職工(2)確定每層抽取個體的個數(shù)抽樣比為100/5001/5，則在不到35歲的職工中抽取125(1/5)25(人)；在35歲至49歲的職工中抽取280(1/5)56(人)；在50歲及50歲以上的職工中抽取95(1/5)19(人)(3)在各層分別按隨機(jī)數(shù)法抽取樣本(4)匯總每層抽樣，組成樣本總結(jié)： 用比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的操作步

13、驟知識探究（一）：分層隨機(jī)抽樣 小試牛刀 1、某高中共有900人，其中高一年級300人，高二年級200人，高三年級400人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取容量為45的樣本，那么高一、高二、高三各年級抽取的人數(shù)分別為( ) A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D.15,10,202、某班有男生36人,女生24人,從全班抽取一個容量為10的樣本,分析某種身體素質(zhì)指標(biāo),已知這種身體素質(zhì)指標(biāo)與性別有關(guān). 問應(yīng)采取什么樣抽樣方法？并寫出抽樣過程.D小試牛刀 解：因為這種身體素質(zhì)指標(biāo)與性別有關(guān)，所以男生,女生身體素質(zhì)指標(biāo)差異明顯，因而采用分層抽樣的方法.具體過程如下：（1）將60人分為2層，

14、其中男,女生各為一層.（2）按照樣本容量的比例隨機(jī)抽取各層應(yīng)抽取的樣本. 361/6=6（人），241/6=4（人） 因此男,女生各抽取人數(shù)分別為6人和4人.（3）利用簡單隨機(jī)抽樣方法分別在36名男生中抽取6人, 24名女生中抽取4人. (4)將這10人組到一起，即得到一個樣本.知識探究（二）：獲取數(shù)據(jù)的途徑 問題一：如果要了解某電視節(jié)目在你所在地區(qū)（城市、鄉(xiāng)鎮(zhèn)或村莊）的收視率，那么需要獲取相關(guān)的數(shù)據(jù)。你認(rèn)為有哪些途徑可以獲取數(shù)據(jù)？獲取數(shù)據(jù)的途徑1、通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)；2、通過試驗獲取數(shù)據(jù)；3、通過觀察獲取數(shù)據(jù)；4、通過查詢獲取數(shù)據(jù)。課堂鞏固 1、下列問題中，采用怎樣的抽樣方法比較合理：從10臺

15、冰箱中抽取3臺進(jìn)行質(zhì)量檢查；某學(xué)校有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名。為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本。2、某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)品數(shù)量之比為2:3:5,現(xiàn)用分層抽樣方法抽取一個容量為n的樣本,樣本中A型產(chǎn)品有16種,那么此樣本容量n=_.分層隨機(jī)抽樣 簡單隨機(jī)抽樣80課堂鞏固 3、某校有老師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為n的樣本，已知女學(xué)生中抽取的人數(shù)為80，則n=（ ） 4、某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年級的學(xué)生比為4：

16、3：2：1，用分層抽樣的方法抽取一個容量為200人的樣本，則應(yīng)抽取三年級的學(xué)生為（ ）人。5、某中學(xué)高一年級有學(xué)生600人，高二年級有學(xué)生450人，高三年級有學(xué)生750人，每個學(xué)生被抽到的可能性均為0.2,若該校取一個容量為n的樣本，則n= （ ） 6、常見的獲取數(shù)據(jù)的途徑有（ ） 19240360調(diào)查、試驗、觀察、查詢課堂鞏固 7、某公司有1 000名員工，其中：高層管理人員為50名，屬于高收入者；中層管理人員為150名，屬于中等收入者；一般員工為800名，屬于低收入者.要對這個公司員工的收入情況進(jìn)行調(diào)查，欲抽取100名員工，應(yīng)當(dāng)怎樣進(jìn)行抽樣？解：我們可以采用分層抽樣的方法，按照收入水平分成三層：高收入者、中等收