巧解圓中最值問題

1、巧解圓中的最值問題 求最值是常見的數(shù)學(xué)問題，幾何最值又是各地中考中的熱門話題.隨著直線型問題逐漸被我們熟悉，圓中的最值問題也走進(jìn)了我們的視野. 基本模型 如圖1、2，平面內(nèi)有一定點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，連結(jié)并延長(zhǎng)，分別交圓于兩點(diǎn)，則為的最小值，為的最大值，即最小值為，最大值為. 類型1 定點(diǎn)定長(zhǎng)定圓例1 如圖3，在中，將繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，分別是的中點(diǎn)，連結(jié)，則旋轉(zhuǎn)時(shí)長(zhǎng)度的最大值是( ).(a) (b) (c) (d) 分析連結(jié)，點(diǎn)是定點(diǎn)，點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，欲求長(zhǎng)度的最大值，就得知道的運(yùn)動(dòng)軌跡.在這里，可以利用點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，得出是定值，到定點(diǎn)的距離等于定值，由圓的定義可以聯(lián)想到運(yùn)動(dòng)軌跡是圓

2、.再結(jié)合基本模型，可以得出長(zhǎng)度的最大值為，所以選d. 例2 (2015年寧波考綱)如圖4，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過，畫直線，并連結(jié). (1)求二次函數(shù)的解析式和直線的解析式. (2)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作內(nèi)接正方形，使得邊落在軸上，點(diǎn)在上，交軸于點(diǎn). 求該正方形的邊長(zhǎng); 將線段延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)，那么點(diǎn)是的中點(diǎn)嗎?請(qǐng)說明理由. (3)在(2)的條件下，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)始終為的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出線段的最大值.分析 (1)二次函數(shù)解析式為直線解析式為(2)，不是；(3)本題中，是定點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由題意，得所以的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)以為圓心，為半徑的圓，所以的最

3、大值為類型2 定線定角定圓例3 (2016年寧波考綱)如圖5，在等腰中，點(diǎn)為等腰所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍為 . 分析 根據(jù)條件可知線段是定值，且所對(duì)的張角是定值，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可知，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在過點(diǎn)三點(diǎn)的圓周上(不與重合). 又因?yàn)?，所以恰好是直徑。連結(jié)并延長(zhǎng)交圓分別為，故最小，最大，所以的取值范圍為 例4 (2013年武漢中考題)如圖6，、是正方形的邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)。若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段長(zhǎng)度的最小值是 。 分析在確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡時(shí)，需要我們先去證明。因?yàn)?，易證，得到，由正方形對(duì)稱性可知，得到，所以. 再考慮到、是邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)的

4、軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，連接，故可求得長(zhǎng)度的最小值是. 例5 (2016年寧波考綱)如圖7，半徑為3 , 的頂點(diǎn)，在上，點(diǎn)在內(nèi)，且，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為（ ）(a) (b) (c) (d) 分析 是定點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的難點(diǎn).延長(zhǎng)交圓于點(diǎn),連結(jié)并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)，連結(jié). 因?yàn)?，所以為定值，即為定? 因?yàn)榘霃綖?，所以，符合定線定角定圓這種類型，故點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是過三點(diǎn)的圓弧且在內(nèi)部. 不妨設(shè)圓心為，連結(jié)，因?yàn)樗砸椎盟詾橹苯侨切?，且因?yàn)樗运宰钚≈禐槔? (2016年寧波考綱)邊長(zhǎng)為3的等邊的頂點(diǎn)在軸的正半軸上移動(dòng)，頂點(diǎn)在射線上移動(dòng)，則頂點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為 . 分析 此題定點(diǎn)是點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)是點(diǎn)，盡管是確定的，但由于點(diǎn)都是在動(dòng)的，故確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)難度仍較大. 不妨換個(gè)角度來看問題，正難則反，把正看成是不動(dòng)的，此時(shí)平面直角坐標(biāo)系在動(dòng)，原點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足，而所對(duì)的邊是不變的，符合定線定角定圓這種類型，所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是過點(diǎn)三點(diǎn)的圓弧(優(yōu)弧上)，取圓心，連結(jié) 因?yàn)?，所?, 即是邊長(zhǎng)為2的正三角形，.連結(jié)并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)，此時(shí)最大，最大值為 從上面的幾個(gè)例子中可以發(fā)現(xiàn)，模型中難度最大的就是如何判斷動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓.盡管不外乎利用