同濟六高數(shù)下教案

1、 第十章 重積分【教學(xué)目標與要求】1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的（直角坐標、極坐標）計算方法。3.掌握計算三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算方法。4.會用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等）。【教學(xué)重點】1.二重積分的計算（直角坐標、極坐標）；2.三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算。3.二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用。【教學(xué)難點】1.利用極坐標計算二重積分；2.利用球坐標計算三重積分；3.物理應(yīng)用中的引力問題。§10. 1 二重積分的概念與性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：二重

2、積分的概念及性質(zhì)重點難點：二重積分的概念及性質(zhì)一、引例 1. 曲頂柱體的體積V設(shè)有一立體, 它的底面是xOy面上的閉區(qū)域D, 其側(cè)面為母線平行于z軸的柱面, 其頂是曲面z=f(x, y)非負連續(xù). 稱為曲頂柱體. 若立體的頂是平行于xoy面的平面。體積=底面積高現(xiàn)在我們來討論如何計算曲頂柱體的體積. （i）分割：用任意曲線網(wǎng)把D分成n個小區(qū)域 ： Ds 1, Ds 2, × × × , Ds n . 分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準線, 作母線平行于z軸的柱面, 這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個細曲頂柱體. （ii）代替：在每個Ds i中任取一點(x i , h

3、i), 以f (x i , h i)為高而底為Ds i的平頂柱體的體積為 f (x i , h i) Dsi (i=1, 2, × × × , n ). （iii）近似和： 整個曲頂柱體體積V . 分割得越細, 則右端的近似值越接近于精確值V, 若分割得"無限細", 則右端近似值會無限接近于精確值V. （iv）取極限：其中的直徑是指中相距最遠的兩點的距離。則. 其中2. 平面薄片的質(zhì)量. 當平面薄板的質(zhì)量是均勻分布時, 質(zhì)量 = 面密度×面積.若平面薄板的質(zhì)量不是均勻分布的. 這時, 薄板的質(zhì)量不能用上述公式算, 應(yīng)如何算該薄板的質(zhì)量

4、M?設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D, 它在點(x, y)處的面密度為, 這里非負連續(xù). 現(xiàn)在要計算該薄片的質(zhì)量M. （i）分割：用任意一組曲線網(wǎng)把D分成n個小區(qū)域： Ds 1, Ds 2, × × × , Ds n . （ii）代替：把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量: m(x i , h i)Ds i . （iii）近似和： 各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值: . 將分割加細, 取極限, 得到平面薄片的質(zhì)量（iv）取極限： 則 . 兩個問題的共性：(1) 解決問題的步驟相同：“分割, 代替, 近似和,取極限”(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同曲頂柱體

5、體積: 平面薄片的質(zhì)量: 二、二重積分的定義及可積性 定義： 設(shè)f(x, y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù). 將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域 Ds 1, Ds 2, × × × , Ds n . 其中Ds i表示第i個小區(qū)域, 也表示它的面積. 在每個Ds i上任取一點(x i, hi), 作和 . 如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l趨于零時, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在閉區(qū)域D上的二重積分, 記作, 即 .f(x, y)被積函數(shù), f(x, y)ds被積表達式, ds面積元素, x, y積分變量, D積分區(qū)域, 積分和. 直角坐標系中的面

6、積元素: 如果在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分D, 那么除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外, 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域. 設(shè)矩形閉區(qū)域Dsi的邊長為Dxi和Dyi, 則Dsi=DxiDyi, 因此在直角坐標系中, 有時也把面積元素ds 記作dxdy, 而把二重積分記作 其中dxdy叫做直角坐標系中的面積元素. 二重積分的幾何意義: 如果f(x, y)³0, 被積函數(shù)f(x, y)可解釋為曲頂柱體的在點(x, y)處的豎坐標, 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積. 如果f(x, y)是負的, 柱體就在xOy 面的下方, 二重積分的絕對值仍等于柱體的體積, 但二重積分的值是負

7、的. 說明：當函數(shù)f(x, y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時, 則f(x, y) 在D上的二重積分必存在。于是我們總假定函數(shù)f(x, y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以f(x, y) 在D上的二重積分都是存在的。例1.利用二重積分定義計算：，其中。三. 二重積分的性質(zhì) 設(shè)D為有界閉區(qū)域，以下涉及的積分均存在。性質(zhì)1 . 性質(zhì)2 設(shè)k為常數(shù)，則性質(zhì)3 ，其中(為D的面積). 性質(zhì)4 設(shè)，且無公共內(nèi)點，則 . 性質(zhì)5.若在D上, f(x, y)£g(x, y), 則 . 特殊：（1）若在D上，則 （2） . 這是因為 性質(zhì)6 設(shè)M、m分別是f(x, y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值, 為D的面積, 則 .

8、 性質(zhì)7(二重積分的中值定理) 設(shè)函數(shù)f(x, y)在閉區(qū)域D上連續(xù), s 為D的面積, 則在D上至少存在一點，使 . 例2.比較下列積分的大?。海渲行〗Y(jié)1.二重積分的定義：，2. 二重積分的性質(zhì)（與定積分性質(zhì)相似）教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意二重積分的定義，性質(zhì)以及應(yīng)用，并且要與定積分的定義、性質(zhì)進行比較，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。作業(yè) P137: 4（1）（3），5（1）（4）§10. 2 二重積分的計算法教學(xué)內(nèi)容：二重積分的計算重點難點：區(qū)域類型的劃分、利用極坐標計算 一、利用直角坐標計算二重積分 X-型區(qū)域: D : j1(x)£y£j

9、2(x), a£x£b . Y -型區(qū)域: D : y1(x)£y£y2(x), c£y£d . 混合型區(qū)域: 設(shè)f(x, y)³0, D=(x, y)| j1(x)£y£j2(x), a£x£b. 此時二重積分在幾何上表示以曲面z=f(x, y)為頂, 以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積. 對于x0Îa, b, 曲頂柱體在x=x0的截面面積為以區(qū)間j1(x0), j2(x0)為底、以曲線z=f(x0, y)為曲邊的曲邊梯形, 所以這截面的面積為 . 根據(jù)平行截面面積為已知的立體體

10、積的方法, 得曲頂柱體體積為 . 即 V=. 可記為 . 類似地, 如果區(qū)域D為Y -型區(qū)域: D : y1(x)£y£y2(x), c£y£d , 則有 . 例1. 計算, 其中D是由直線y=1、x=2及y=x所圍成的閉區(qū)域. 解: 畫出區(qū)域D. 方法一. 可把D看成是X-型區(qū)域: 1£x£2, 1£y£x . 于是. 注: 積分還可以寫成. 解法2. 也可把D看成是Y-型區(qū)域: 1£y£2, y£x£2 . 于是. 例2. 計算, 其中D是由直線y=1、x=-1及y=x所

11、圍成的閉區(qū)域. 解 畫出區(qū)域D, 可把D看成是X-型區(qū)域: -1£x£1, x£y£1. 于是 . 也可D看成是Y-型區(qū)域：-1£y£1, -1£x<y . 于是 . 例3 計算, 其中D是由直線y=x-2及拋物線y2=x所圍成的閉區(qū)域. 解 積分區(qū)域可以表示為D=D1+D2, 其中; . 于是 . 積分區(qū)域也可以表示為D: -1£y£2, y2£x£y+2. 于是 . 討論積分次序的選擇. 例4 求兩個底圓半徑都等于r的直交圓柱面所圍成的立體的體積. 解 設(shè)這兩個圓柱面的方程分

12、別為 x2+y2=r 2及x2+z2=r 2. 利用立體關(guān)于坐標平面的對稱性, 只要算出它在第一卦限部分的體積V1, 然后再乘以8就行了. 第一卦限部分是以D=(x, y)| 0£y£, 0£x£r為底, 以頂?shù)那斨w. 于是 . 二. 利用極坐標計算二重積分 有些二重積分, 積分區(qū)域D 的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便, 且被積函數(shù)用極坐標變量r 、q 表達比較簡單. 這時我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分. 按二重積分的定義. 下面我們來研究這個和的極限在極坐標系中的形式. 以從極點O出發(fā)的一族射線及以極點為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D

13、分為n個小閉區(qū)域, 小閉區(qū)域的面積為: , 其中表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值. 在Dsi內(nèi)取點, 設(shè)其直角坐標為(x i, h i), 則有 , . 于是 , 即 . 若積分區(qū)域可表示為j 1(q)£r£j 2(q), a£q£b, 則 . 討論:如何確定積分限? . . 例5. 計算, 其中D是由中心在原點、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū)域. 解 在極坐標系中, 閉區(qū)域D可表示為 0£r£a , 0£q £2p . 于是 . 注: 此處積分也常寫成. 利用計算廣義積分: 設(shè)D1=(x, y)|x2+y2£

14、R2, x³0, y³0, D2=(x, y)|x2+y2£2R2, x³0, y³0,S=(x, y)|0£x£R, 0£y£R. 顯然D1ÌSÌD2. 由于, 從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式 . 因為 , 又應(yīng)用上面已得的結(jié)果有 , ,于是上面的不等式可寫成. 令R®+¥, 上式兩端趨于同一極限, 從而. 例6 求球體x2+y2+z2£4a2被圓柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積. 解 由對稱性, 立體體積為第一卦

15、限部分的四倍. , 其中D為半圓周及x軸所圍成的閉區(qū)域. 在極坐標系中D可表示為 0£r£2a cosq , . 于是 . 小結(jié)1.二重積分化為累次積分的方法；2. 積分計算要注意的事項。教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意二重積分化為累次積分的方法：分直角坐標和極坐標，以及在計算時要注意事項，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。作業(yè) P154: 1 (2), (4); 2 (1), (3); 6 (2), (4); 12 (1), (3); 13 (3), (4); 14 (1), (2)；15（1）（2）§10.3 三重積分教學(xué)內(nèi)容：三重積分的概念及其計算重點

16、難點：三重積分的計算一、三重積分的概念 定義 設(shè)f(x, y, z)是空間有界閉區(qū)域W上的有界函數(shù). 將W任意分成n個小閉區(qū)域： Dv1, Dv2, × × × , Dvn 其中Dvi表示第i個小閉區(qū)域, 也表示它的體積. 在每個Dvi上任取一點(xi, hi, zi), 作乘積f(x i, h i, z i)Dvi(i=1, 2, × × ×, n)并作和. 如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l趨于零時, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y, z)在閉區(qū)域W上的三重積分, 記作. 即 . 三重積分中的有關(guān)術(shù)語: 積分號,

17、 f(x, y, z)被積函數(shù), f(x, y, z)dv被積表達式, dv體積元素, x, y, z積分變量, W積分區(qū)域. 在直角坐標系中, 如果用平行于坐標面的平面來劃分W, 則Dvi=Dxi DyiDzi , 因此也把體積元素記為dv =dxdydz, 三重積分記作 . 當函數(shù)f (x, y, z)在閉區(qū)域W上連續(xù)時, 極限是存在的, 因此f(x, y, z)在W上的三重積分是存在的, 以后也總假定f(x, y, z)在閉區(qū)域W上是連續(xù)的. 三重積分的性質(zhì): 與二重積分類似. 比如 ; ; , 其中V為區(qū)域W的體積. 二、三重積分的計算 1. 利用直角坐標計算三重積分 三重積分的計算:

18、 三重積分也可化為三次積分來計算. 設(shè)空間閉區(qū)域W可表為 z1(x, y)£z£z2(x, y), y1(x)£y£y2(x), a£x£b, 則 , 即 . 其中D : y1(x)£ y£ y2(x), a£x£b. 它是閉區(qū)域W在xOy面上的投影區(qū)域. 提示: 設(shè)空間閉區(qū)域W可表為 z1(x, y)£z£z2(x, y), y1(x)£y£y2(x), a£x£b, 計算. 基本思想: 對于平面區(qū)域D: y1(x)£y&#

19、163;y2(x), a£x£b內(nèi)任意一點(x, y), 將f(x, y, z)只看作z的函數(shù), 在區(qū)間z1(x, y), z2(x, y)上對z積分, 得到一個二元函數(shù)F(x, y), , 然后計算F(x, y)在閉區(qū)域D上的二重積分, 這就完成了f(x, y, z)在空間閉區(qū)域W上的三重積分. , 則 . 即 . 其中D : y1(x)£ y£ y2(x), a£x£b. 它是閉區(qū)域W在xOy面上的投影區(qū)域. 例1 計算三重積分, 其中W為三個坐標面及平面x+2y+z=1所圍成的閉區(qū)域. 解 作圖, 區(qū)域W可表示為: 0£

20、;z£1-x-2y, , 0£x£1. 于是 . 討論: 其它類型區(qū)域呢? 有時, 我們計算一個三重積分也可以化為先計算一個二重積分、再計算一個定積分. 設(shè)空間閉區(qū)域W=(x, y, z)|(x, y)ÎDz, c1£ z£c2, 其中Dz是豎坐標為z 的平面截空間閉區(qū)域W所得到的一個平面閉區(qū)域, 則有 . 例2 計算三重積分, 其中W是由橢球面所圍成的空間閉區(qū)域. 解 空間區(qū)域W可表為: , -c£ z£c. 于是 . 練習： 例3. 將三重積分化為三次積分, 其中 (1)W是由曲面z=1-x2-y2, z=0所

21、圍成的閉區(qū)域. (2)W是雙曲拋物面xy=z及平面x+y-1=0, z=0所圍成的閉區(qū)域. (3)其中W是由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域. 例4. 將三重積分化為先進行二重積分再進行定積分的形式, 其中W由曲面z=1-x2-y2, z=0所圍成的閉區(qū)域. 2. 利用柱面坐標計算三重積分 設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點, 并設(shè)點M在xOy面上的投影P 的極坐標為P(r, q ), 則這樣的三個數(shù)r、q 、z就叫做點M的柱面坐標, 這里規(guī)定r、q 、z的變化范圍為: 0£r<+¥, 0£q £2p , -¥<z&

22、lt;+¥. 坐標面r=r0, q =q 0, z=z0的意義: 點M 的直角坐標與柱面坐標的關(guān)系: x=rcosq, y=rsinq, z=z . 柱面坐標系中的體積元素: dv=rdrdqdz. 簡單來說, dxdy=rdrdq , dxdydz=dxdy×dz=rdrdq dz. 柱面坐標系中的三重積分: . 例5利用柱面坐標計算三重積分, 其中W是由曲面z=x2+y2與平面z=4所圍成的閉區(qū)域. 解 閉區(qū)域W可表示為: r2£z£4, 0£r£2, 0£q£2p. 于是 . 3. 利用球面坐標計算三重積分

23、設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點, 則點M也可用這樣三個有次序的數(shù)r、j、q 來確定, 其中r為原點O與點M間的距離, j為與z軸正向所夾的角, q為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線段的角, 這里P為點M在xOy面上的投影, 這樣的三個數(shù)r、j 、q 叫做點M的球面坐標, 這里r、j、q 的變化范圍為 0£r<+¥, 0£j<p, 0£q £2p. 坐標面r=r0, j=j0, q=q0的意義， 點的直角坐標與球面坐標的關(guān)系: x=rsinjcosq, y=rsinjsinq, z=rcosj . 球面坐標系中的體積元素:

24、 dv=r2sinjdrdjdq . 球面坐標系中的三重積分: . 例6 求半徑為a的球面與半頂角a為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積. 解 該立體所占區(qū)域W可表示為: 0£r£2acosj, 0£j£a, 0£q£2p. 于是所求立體的體積為 . 提示: 球面的方程為x2+y2+(z-a)2=a2, 即x2+y2+z2=2az. 在球面坐標下此球面的方程為r2=2arcosj, 即r=2acosj. 小結(jié)1.三重積分的定義和計算；2. 換元積分公式。教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意三重積分的定義和計算以及換元積分公式的

25、應(yīng)用，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。作業(yè) P164: 4，5，7，9（1）§10. 4 重積分的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：曲面的面積、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力重點難點：曲面面積、質(zhì)心 一、曲面的面積 設(shè)曲面S由方程 z=f(x, y)給出, D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域, 函數(shù)f(x, y)在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y)和fy(x, y). 現(xiàn)求曲面的面積A . 在區(qū)域D內(nèi)任取一點P(x, y), 并在區(qū)域D內(nèi)取一包含點P(x, y)的小閉區(qū)域ds, 其面積也記為ds. 在曲面S上點M(x, y, f(x, y)處做曲面S的切平面T, 再做以小區(qū)域ds的邊界曲線為準線、母線平行于z軸的柱面. 將含

26、于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近似值, 記為dA. 又設(shè)切平面T的法向量與z軸所成的角為g , 則 , 這就是曲面S的面積元素. 于是曲面S 的面積為 , 或 . 設(shè)dA為曲面S上點M處的面積元素, dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域ds, M在xOy面上的投影為點P(x, y), 因為曲面上點M處的法向量為n=(-fx, -fy, 1), 所以 . 提示: dA與xOy面的夾角為(n, k), dAcos(n, k)=ds, n×k=|n|cos(n, k)=1, cos(n, k)=|n|-1. 討論: 若曲面方程為x=g(y, z)或y=h(z, x),

27、 則曲面的面積如何求？ , 或 . 其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區(qū)域, Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域. 例1 求半徑為R的球的表面積. 提示: , , . 解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍. 上半球面的方程為, 而 , , 所以 . 例2設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面的高度為h=36000km, 運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同. 試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R=6400km). 二、質(zhì)心 設(shè)有一平面薄片, 占有xOy 面上的閉區(qū)域D, 在點P(x, y)處的面密度為r(x, y), 假定m(x, y)在D上連續(xù). 現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標.

28、 在閉區(qū)域D上任取一點P(x, y), 及包含點P(x, y)的一直徑很小的閉區(qū)域ds(其面積也記為ds), 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為 dMx=ym(x, y)ds, dMy=xm(x, y)ds. 平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為 , . 設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標為, 平面薄片的質(zhì)量為M, 則有 , . 于是 , . 提示: 將P(x, y)點處的面積元素ds看成是包含點P的直徑得小的閉區(qū)域. D上任取一點P(x, y), 及包含的一直徑很小的閉區(qū)域ds(其面積也記為ds), 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為 討論: 如果平面薄片是均勻的,

29、即面密度是常數(shù), 則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)如何求？ 求平面圖形的形心公式為 , . 例3 求位于兩圓r=2sinq 和r=4sinq 之間的均勻薄片的質(zhì)心. 解 因為閉區(qū)域D對稱于y軸, 所以質(zhì)心必位于y軸上, 于是. 因為 , , 所以. 所求形心是. 類似地, 占有空間閉區(qū)域W、在點(x, y, z)處的密度為r(x, y, z)(假寬r(x, y, z)在W上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標是 , , , 其中. 例4 求均勻半球體的質(zhì)心. 提示: W: 0£r£a, , 0£q£2p. , . 三、轉(zhuǎn)動慣量 設(shè)有一平面薄片, 占有xOy面上的閉區(qū)域D,

30、 在點P(x, y)處的面密度為m(x, y), 假定r(x, y)在D上連續(xù). 現(xiàn)在要求該薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量. 在閉區(qū)域D上任取一點P(x, y), 及包含點P(x, y)的一直徑很小的閉區(qū)域ds(其面積也記為ds), 則平面薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量的元素分別為 dIx=y2m(x, y)ds , dI y=x2m(x, y)ds . 整片平面薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為 , . 例5 求半徑為a 的均勻半圓薄片(面密度為常量m)對于其直徑邊的轉(zhuǎn)動慣量. 解 取坐標系如圖, 則薄片所占閉區(qū)域D可表示為 D=(x, y)| x2+y2£

31、;a2, y³0而所求轉(zhuǎn)動慣量即半圓薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix , , 其中為半圓薄片的質(zhì)量. 類似地, 占有空間有界閉區(qū)域W、在點(x, y, z)處的密度為r(x, y, z)的物體對于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量為 , , . 例6 求密度為r的均勻球體對于過球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動慣量. 解 取球心為坐標原點, z軸與軸l重合, 又設(shè)球的半徑為a, 則球體所占空間閉區(qū)域 W=(x, y, z)| x2+y2+z2£a2. 所求轉(zhuǎn)動慣量即球體對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量Iz . , 其中為球體的質(zhì)量. 提示: x2+y2=r2sin2jcos2q+r2sin2j sin2q=r2sin2

32、j. 四、引力 我們討論空間一物體對于物體外一點P0(x0, y0, z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力問題. 設(shè)物體占有空間有界閉區(qū)域W, 它在點(x, y, z)處的密度為r(x, y, z), 并假定r(x, y, z)在W上連續(xù). 在物體內(nèi)任取一點(x, y, z)及包含該點的一直徑很小的閉區(qū)域dv(其體積也記為dv). 把這一小塊物體的質(zhì)量rdv近似地看作集中在點(x, y, z)處. 這一小塊物體對位于P0(x0, y0, z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力近似地為 , 其中dFx、dFy、dFz為引力元素dF在三個坐標軸上的分量, , G為引力常數(shù). 將dFx、dFy、dFz在W上分別積

33、分, 即可得Fx、Fy、Fz, 從而得F=(Fx、Fy、Fz). 例7設(shè)半徑為R的勻質(zhì)球占有空間閉區(qū)域W=(x, y, z)|x2+y2+z2£R2). 求它對于位于點M0(0, 0, a) (a>R)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力. 解 設(shè)球的密度為r0, 由球體的對稱性及質(zhì)量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為 ,其中為球的質(zhì)量. 上述結(jié)果表明: 勻質(zhì)球?qū)η蛲庖毁|(zhì)點的引力如同球的質(zhì)量集中于球心時兩質(zhì)點間的引力.小結(jié)1.曲面面積的計算；2. 質(zhì)心的計算；3. 轉(zhuǎn)動慣量的定義和求解。教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意曲面面積的計算，質(zhì)心的計算，轉(zhuǎn)動慣

34、量的定義和求解，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。作業(yè) P175: 1，2，4（1），7（1）第十一章 曲線積分與曲面積分教學(xué)目的：1. 理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。2. 掌握計算兩類曲線積分的方法。3. 熟練掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求全微分的原函數(shù)。4. 了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計算兩類曲面積分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，會用高斯公式計算曲面積分。5. 知道散度與旋度的概念，并會計算。6 會用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量。 教學(xué)重點:1、 兩類曲線積分的計算方法；2、 格林公式及其應(yīng)用；3

35、、 兩類曲面積分的計算方法；4、 高斯公式、斯托克斯公式；5、 兩類曲線積分與兩類曲面積分的應(yīng)用。 教學(xué)難點：1、 兩類曲線積分的關(guān)系及兩類曲面積分的關(guān)系；2、 對坐標的曲線積分與對坐標的曲面積分的計算；3、 應(yīng)用格林公式計算對坐標的曲線積分；4、 應(yīng)用高斯公式計算對坐標的曲面積分；5、 應(yīng)用斯托克斯公式計算對坐標的曲線積分。§11.1 對弧長的曲線積分教學(xué)內(nèi)容：對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)及計算重點難點：對弧長的曲線積分的概念與計算 一、 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量: 設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上, 已知曲線形構(gòu)件在點(x, y)處的線密

36、度為m(x, y). 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量. 把曲線分成n小段, Ds1, Ds2, × × ×, Dsn(Dsi也表示弧長); 任取(xi , hi)ÎDsi, 得第i小段質(zhì)量的近似值m(xi , hi)Dsi; 整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為; 令l=maxDs1, Ds2, × × ×, Dsn®0, 則整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量為 . 這種和的極限在研究其它問題時也會遇到. 定義 設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧, 函數(shù)f(x, y)在L上有界. 在L上任意插入一點列M1, M2, × × ×

37、, Mn-1把L分在n個小段. 設(shè)第i個小段的長度為Dsi, 又(xi, hi)為第i個小段上任意取定的一點, 作乘積f(xi, hi)Dsi, (i=1, 2,× × ×, n ), 并作和, 如果當各小弧段的長度的最大值l®0, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即. 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), L 叫做積分弧段. 設(shè)函數(shù)f(x, y)定義在可求長度的曲線L上, 并且有界. 將L任意分成n個弧段: Ds1, Ds2, × × ×, Dsn, 并

38、用Dsi表示第i段的弧長; 在每一弧段Dsi上任取一點(xi, hi), 作和; 令l=maxDs1, Ds2, × × ×, Dsn, 如果當l®0時, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即 . 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), L 叫做積分弧段. 曲線積分的存在性: 當f(x, y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時, 對弧長的曲線積分是存在的. 以后我們總假定f(x, y)在L上是連續(xù)的. 根據(jù)對弧長的曲線積分的定義,曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分的值, 其中m(x, y)為線密度. 對弧長

39、的曲線積分的推廣: . 如果L(或G)是分段光滑的, 則規(guī)定函數(shù)在L(或G)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和. 例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2, 則規(guī)定 . 閉曲線積分: 如果L是閉曲線, 那么函數(shù)f(x, y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作 . 對弧長的曲線積分的性質(zhì): 性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù), 則 ; 性質(zhì)2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2, 則 ; 性質(zhì)3設(shè)在L上f(x, y)£g(x, y), 則 . 特別地, 有 二、對弧長的曲線積分的計算法 根據(jù)對弧長的曲線積分的定義, 如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x, y), 則曲線形構(gòu)件L的

40、質(zhì)量為 . 另一方面, 若曲線L的參數(shù)方程為x=j(t), y=y (t) (a£t£b),則質(zhì)量元素為 , 曲線的質(zhì)量為 . 即 . 定理 設(shè)f(x, y)在曲線弧L上有定義且連續(xù), L的參數(shù)方程為 x=j(t), y=y(t) (a£t£b), 其中j(t)、y(t)在a, b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且j¢2(t)+y¢2(t)¹0, 則曲線積分存在, 且 (a<b). 證明（略） 應(yīng)注意的問題: 定積分的下限a一定要小于上限b. 討論: (1)若曲線L的方程為y=y(x)(a£x£b), 則=?

41、提示: L的參數(shù)方程為x=x, y=y(x)(a£x£b), . (2)若曲線L的方程為x=j(y)(c£y£d), 則=?提示: L的參數(shù)方程為x=j(y), y=y(c£y£d), . (3)若曲G的方程為x=j(t), y=y(t), z=w(t)(a£t£b), 則=? 提示: . 例1 計算, 其中L是拋物線y=x2上點O(0, 0)與點B(1, 1)之間的一段弧. 解 曲線的方程為y=x2 (0£x£1), 因此 . 例2 計算半徑為R、中心角為2a的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I

42、(設(shè)線密度為m=1). 解 取坐標系如圖所示, 則. 曲線L的參數(shù)方程為 x=Rcosq, y=Rsinq (-a£q<a). 于是 =R3(a-sina cosa). 例3 計算曲線積分, 其中G為螺旋線x=acost、y=asint、z=kt上相應(yīng)于t從0到達2p的一段弧. 解 在曲線G上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2, 并且 , 于是 . 小結(jié): 用曲線積分解決問題的步驟: (1)建立曲線積分; (2)寫出曲線的參數(shù)方程 ( 或直角坐標方程) , 確定參數(shù)的變化范圍; (3)將曲線積分化為定積分; (4)計

43、算定積分. §11.2對坐標的曲線積分教學(xué)內(nèi)容：對坐標的曲線積分的概念、性質(zhì)與計算教學(xué)內(nèi)容：對坐標的曲線積分的概念與計算 一、對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì) 變力沿曲線所作的功: 設(shè)一個質(zhì)點在xOy面內(nèi)在變力F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j的作用下從點A沿光滑曲線弧L移動到點B, 試求變力F(x, y)所作的功. 用曲線L上的點A=A0, A1, A2, × × ×, An-1, An=B把L分成n個小弧段, 設(shè)Ak=(xk , yk), 有向線段的長度為Dsk, 它與x軸的夾角為tk , 則 (k=0, 1, 2, × 

44、15; ×, n-1). 顯然, 變力F(x, y)沿有向小弧段所作的功可以近似為 ;于是, 變力F(x, y)所作的功 , 從而 . 這里t=t(x, y), cost, sint是曲線L在點(x, y)處的與曲線方向一致的單位切向量. 把L分成n個小弧段: L1, L2, × × ×, Ln; 變力在Li上所作的功近似為: F(xi, hi)×Dsi=P(xi, hi)Dxi+Q(xi, hi)Dyi ; 變力在L上所作的功近似為: ; 變力在L上所作的功的精確值: , 其中l(wèi)是各小弧段長度的最大值. 提示: 用Dsi=Dxi,Dyi表示從

45、Li的起點到其終點的的向量. 用Dsi表示Dsi的模. 對坐標的曲線積分的定義: 定義 設(shè)函數(shù)f(x, y)在有向光滑曲線L上有界. 把L分成n個有向小弧段L1, L2, × × ×, Ln; 小弧段Li的起點為(xi-1, yi-1), 終點為(xi, yi), Dxi=xi-xi-1, Dyi=yi-yi-1; (xi, h)為Li上任意一點, l為各小弧段長度的最大值. 如果極限總存在, 則稱此極限為函數(shù) f(x, y)在有向曲線L上對坐標x的曲線積分, 記作, 即, 如果極限總存在, 則稱此極限為函數(shù) f(x, y)在有向曲線L上對坐標x的曲線積分, 記作

46、, 即. 設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線, cost, sint是與曲線方向一致的單位切向量, 函數(shù)P(x, y)、Q(x, y)在L上有定義. 如果下列二式右端的積分存在, 我們就定義 , , 前者稱為函數(shù)P(x, y)在有向曲線L上對坐標x的曲線積分, 后者稱為函數(shù)Q(x, y)在有向曲線L上對坐標y的曲線積分, 對坐標的曲線積分也叫第二類曲線積分. 定義的推廣: 設(shè)G為空間內(nèi)一條光滑有向曲線, cosa, cosb, cosg是曲線在點(x, y, z)處的與曲線方向一致的單位切向量, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在G上有定義. 我們定義(假如各

47、式右端的積分存在) , , . , , .對坐標的曲線積分的簡寫形式: ; . 對坐標的曲線積分的性質(zhì): (1) 如果把L分成L1和L2, 則 . (2) 設(shè)L是有向曲線弧, -L是與L方向相反的有向曲線弧, 則 . 兩類曲線積分之間的關(guān)系: 設(shè)costi, sinti為與Dsi同向的單位向量, 我們注意到Dxi, Dyi=Dsi, 所以Dxi=costi×Dsi, Dyi=sinti×Dsi, , . 即 , 或 . 其中A=P, Q, t=cost, sint為有向曲線弧L上點(x, y)處單位切向量, dr=tds=dx, dy. 類似地有 , 或 . 其中A=P,

48、Q, R, T=cosa, cosb, cosg為有向曲線弧G上點(x, y, z)處單們切向量, dr=Tds =dx, dy, dz , A t為向量A在向量t上的投影. 二、對坐標的曲線積分的計算: 定理: 設(shè)P(x, y)、Q(x, y)是定義在光滑有向曲線L: x=j(t), y=y(t), 上的連續(xù)函數(shù), 當參數(shù)t單調(diào)地由a變到b時, 點M(x, y)從L的起點A沿L運動到終點B, 則 , . 討論: =？提示: . 定理: 若P(x, y)是定義在光滑有向曲線 L: x=j(t), y=y(t)(a£t£b)上的連續(xù)函數(shù), L的方向與t的增加方向一致, 則 . 簡要證明: 不妨設(shè)a£b. 對應(yīng)于t點與曲線L的方向一致的切向量為j¢(t), y¢(t), 所以,從而 . 應(yīng)注意的問題: 下限a對應(yīng)于L的起點, 上限b 對應(yīng)于L的終點, a不一定小于b . 討論: 若空間曲線G由參數(shù)方程x=j(t), y =y (t), z=w(t)給出, 那么曲線積分 =？如何計算? 提示: , 其中a對應(yīng)于G的起點, b對應(yīng)于G的終點. 例題: 例1.計算, 其中L為拋物線y2=x上從點A(1, -1)到點B(1, 1)的一段弧. 解法一: 以x為參數(shù). L分為AO和OB兩部分: AO的方程為, x從1變到0; OB 的方程為, x