（時(shí)間管理）第章平穩(wěn)時(shí)間序列分析

1、（時(shí)間管理）第章平穩(wěn)時(shí)間序列分析45 / 45第 3 章平穩(wěn)時(shí)間序列分析本章教學(xué)內(nèi)容和要求：了解時(shí)間序列分析的方法性工具； 理解且掌握 ARMA 模型的性質(zhì)；掌握時(shí)間序列建模的方法步驟及預(yù)測；能夠利用軟件進(jìn)行模型的識別、參數(shù)的預(yù)計(jì)以及序列的建模和預(yù)測。本章教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：利用軟件進(jìn)行模型的識別、參數(shù)的預(yù)計(jì)以及序列的建模和預(yù)測。計(jì)劃課時(shí)：21（講授 16 課時(shí),上機(jī) 3 課時(shí)、習(xí)題 3 課時(shí)）教學(xué)方法和手段：課堂講授和上機(jī)操作§3.1 方法性工具壹個(gè)序列經(jīng)過預(yù)處理被識別為平穩(wěn)非白噪聲序列,那就說明該序列是壹個(gè)蘊(yùn)含著關(guān)聯(lián)信息的平穩(wěn)序列。于統(tǒng)計(jì)上, 我么通常是建立壹個(gè)線性模型來擬合該序列的

2、發(fā)展,借此提取 該 序 列 中 的 有 用 信 息 。ARMA(autoregressionmovingaverage)模型是目前最常用的壹個(gè)平穩(wěn)序列擬合模型。時(shí)間序列分析中壹些常用的方法性工具能夠使我們的模型表達(dá)和序列分析更加簡潔、方便。壹、差分運(yùn)算（壹）p 階差分相距壹期的倆個(gè)序列值之間的減法運(yùn)算稱為 1 階差分運(yùn)算。記為的 1 階差分：對 1 階差分后的序列再進(jìn)行壹次 1 階差分運(yùn)算稱為 2 階差分,記2 為的 2 階差分：2=-以此類推,對 p-1 階差分厚序列再進(jìn)行壹次 1 階差分運(yùn)算稱為 p 階差分。記p 為的 p 階差分：p=p-1-p-1（二）k 步差分相距 k 期的倆個(gè)序列值

3、之間的減法運(yùn)算稱為 k 步差分運(yùn)算。記k 為的 k 步差分：k=例：簡單的序列：6,9,15,43,8,17,20,38,4,10,1 階差分：,即 1 階差分序列：3,6,28,-35,9,3,18,-34,6,2 階差分：2=-=32=-=222=-=-40即 2 階差分序列2：3,22,-63,-54,-6,16,-52,-40,2 步差分：222即 2 步差分序列：9,34,-7,-26,12,21,-16,-28二、延遲算子（滯后算子）（壹）定義延遲算子類似于壹個(gè)時(shí)間指針,當(dāng)前序列值乘以壹個(gè)延遲算子,就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時(shí)間向過去撥去了壹個(gè)時(shí)刻。記 B 為延遲算子,有（二）性質(zhì)1.

4、2.3.若 c 為任壹常數(shù),有4.對任意倆個(gè)序列和,有5.,其中（三）用延遲算子表示差分運(yùn)算1.p 階差分=例如上例中, 因此,15-18+6=3 43-30+9=222.k 步差分k=三、線性差分方程于實(shí)踐序列的時(shí)域分析中,線性差分方程是非常重要的, 也是極為有效的工具,事實(shí)上,任何壹個(gè) ARMA 模型均是壹個(gè)現(xiàn)象差分方程。因此,ARMA 模型的性質(zhì)往往取決于差分方程的性質(zhì)。為了更好地討論 ARMA 模型的性質(zhì),先簡單介紹差分方程的壹般性質(zhì)。常系數(shù)微分方程是描述連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動態(tài)性工具,相應(yīng)的,描述離散型時(shí)間系統(tǒng)的主要工具就是常系數(shù)差分方程。（壹）線性差分方程的定義定義：稱如下形式的方程為序

5、列的線性差分方程：（1）式中,為實(shí)數(shù)；為 t 的已知函數(shù)。特別地,若,則差分方程（2）稱為齊次線性差分方程。否則,成為非齊次線性差分方程。（一）齊次線性差分方程的解設(shè),帶入齊次線性差分方程（2）得, 方程倆邊同除以, 得特征方程（3）這是壹個(gè)壹元 p 次方程,應(yīng)該至少有 p 個(gè)非零實(shí)根,稱這p 個(gè)實(shí)根為特征方程（3）的特征根,不防記作.特征根的取值情況不同,齊次線性差分方程的解會有不同的表達(dá)形式。1、為 p 個(gè)不同的實(shí)根,（2）的解為,為任意常數(shù)。2、中有相同實(shí)根。假設(shè)為 d 個(gè)相同實(shí)根,為不同實(shí)根,則（2）的解為, 為任意常數(shù)。3、中有復(fù)根（自己見）（三）非齊次線性差分方程的解線性差分方程（

6、1）的解是齊次線性差分方程（2）的通解+非齊次線性差分方程（1）的壹個(gè)特解組成。例1、求解以下線性差分方程設(shè)代人得,同除以得,得所以,齊次方程的通解為= 例 2、求解以下線性差分方程(1) 、求齊次方程的通解設(shè)代人得,同除以得,得所以,齊次方程的通解為=(2) 、求非齊次方程的特解（非唯壹,求解方式可多種, 只要找到壹個(gè)解滿足方程即可）設(shè)代入原方程得：2c=9,c=9/2,即為原方程的壹個(gè)特解（3）、所以原方程的解四、時(shí)間序列模型和線性差分方程（意義）線性差分方程于實(shí)際序列分析中有重要的應(yīng)用,常用的時(shí)序模型和某些模型自協(xié)方差函數(shù)合自關(guān)聯(lián)系數(shù)均能夠視為線性差分方程,而線性差分方程對應(yīng)的特征根的性

7、質(zhì)對判斷模型的平穩(wěn)性有非常重要的意義。§3.2ARMA 模型的性質(zhì)壹、AR 模型（壹）定義：具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為 p 階自回歸模型, 簡記為AR(P)：1. AR(P)的三個(gè)限制條件：（1）,保證了模型的最高階數(shù)為 p。（2）,要求隨機(jī)干擾序列為零均值白噪聲序列。（3）,說明當(dāng)期的隨機(jī)干擾和過去的序列值無關(guān)。通常情況下,記 AR(P)模型為2.中心化的 AR(P)模型如果則之上自回歸模型稱為中心化的 AR(P)模型：,后面的分析均是針對中心化的模型進(jìn)行的。3.用延遲算子表示 AR(P)： 成為 p 階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式。自回歸模型描述了后壹時(shí)刻的行為和前面時(shí)刻的行為有關(guān)。（二）格林函

8、數(shù)（Green 函數(shù)）設(shè)為平穩(wěn) AR(P)模型的特征根,即的特征根。任取帶入特征方程：設(shè)為特征多項(xiàng)式的根。任取帶入方程得：,倆邊同時(shí)除以得:可見,AR(P)模型自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根是齊次線性差分 方程的特征根的倒數(shù)。即由為特征多項(xiàng)式的根可知所以,（為常數(shù)）稱為格林函數(shù),代入原模型得,可見,格林（Green）函數(shù)是前 j 個(gè)時(shí)刻以前進(jìn)入系統(tǒng)的隨機(jī)擾動對系統(tǒng)當(dāng)下的行為即序列值影響的權(quán)數(shù)。根據(jù)待定系數(shù)法（略）能夠推ft格林函數(shù)的遞推公式： 其中,例如：對于 AR(1)模型,P=1對于 AR(2)模型,P=2練習(xí) AR(3)模型格林函數(shù)。AR(3)：P=3（二）AR 模型平穩(wěn)性判別要擬合壹個(gè)平穩(wěn)序列,

9、用來擬合的模型顯然應(yīng)該是平穩(wěn)的,AR 模型是常用的用來擬合平穩(wěn)序列的模型之壹, 但且非所有的 AR 模型均是平穩(wěn)的,因此需要判別模型的平穩(wěn)性。例如,考察如下四個(gè)模型的平穩(wěn)性（1）（2）（3）（4）擬合這四個(gè)序列的序列值,且繪制時(shí)序圖,可初步判斷（1）、（3）平穩(wěn),（2）、（4）不平穩(wěn)（見課件圖形）。時(shí)序圖檢驗(yàn)比較粗糙,準(zhǔn)確的方法有以下倆種：特征根判別和自回歸系數(shù)判別法。1.特征根判別對于壹個(gè)自回歸系統(tǒng)（格林函數(shù)表示法）要使平穩(wěn),必須是隨著,擾動項(xiàng)對的以下逐漸減少,直至趨于 0,即系統(tǒng)隨著時(shí)間的增長回到均衡位置,那么該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的,因此用格林函數(shù)表示就是時(shí),才能使,即特征根均于單位圓內(nèi),或者的

10、根均于單位圓外。這就是說,要判斷壹個(gè)模型是否平穩(wěn),需解氣特征方程, 判斷特征根的情況。那么,是否能夠直接從模型額形式或自回歸系數(shù)的大小來判斷？2.自回歸系數(shù)判別法及平穩(wěn)域的概念（1）對于 AR(1)模型：特征方程為=0,由得,時(shí),模型平穩(wěn),平穩(wěn)域?yàn)椋?）對于 AR(2)模型特征方程為,根據(jù) AR(2)模型平穩(wěn)的條件由根和系數(shù)的關(guān)系得,則即又即之上（1）、（2）、（3）三個(gè)條件的圖形為1-圖中陰影部分為 AR(2)模型的平穩(wěn)域,即模型平穩(wěn)時(shí)自回歸系數(shù)所滿足的條件組成的區(qū)域。例：分別用用特征根和自回歸系數(shù)法判別以下四個(gè)模型的平穩(wěn)性。（1）1.特征根法：<1,所以該模型平穩(wěn)2.自回歸系數(shù)法：,

11、所以模型平穩(wěn)（2）1.特征根法：>1,所以該模型不平穩(wěn)2.自回歸系數(shù)法：,所以模型不平穩(wěn)（3）,所以模型平穩(wěn)（4）1.特征根法：,所以該模型不平穩(wěn)2.自回歸系數(shù)法：,所以模型不平穩(wěn)可見于圖形檢驗(yàn)是壹致的。（四）平穩(wěn) AR 模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)1 均值平穩(wěn)倆邊取期望：,得對于中心化的 AR(p)模型,由于,所以均值2.方差,取方差對于平穩(wěn)序列,由于時(shí),收斂,所以存于所以,平穩(wěn)序列方差有界,等于常數(shù).例：求 AR(1)模型的方差由前面可知,AR(1)模型的格林函數(shù)為, 所以方差A(yù)R(2)模型的方差（略）3.協(xié)方差函數(shù)于平穩(wěn)模型倆邊同時(shí)乘以,再取期望得：,因?yàn)樗?自協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為：例 1：

12、求平穩(wěn) AR(1)模型的自協(xié)方差函數(shù)遞推公式為：,例 2：求平穩(wěn) AR(2)模型的自協(xié)方差函數(shù)遞推公式為：,當(dāng)時(shí),（,自協(xié)方差函數(shù)和自關(guān)聯(lián)系數(shù)的對稱性）,所以,4.自關(guān)聯(lián)函數(shù)拖尾（1）遞推公式：由于,于自協(xié)方差等式倆邊同時(shí)除以方 差函數(shù),就得到自關(guān)聯(lián)系數(shù)的遞推公式：例 1：求平穩(wěn) AR(1)模型的自關(guān)聯(lián)系數(shù)因?yàn)椋?所以=,例 2：求平穩(wěn) AR(2)模型的自關(guān)聯(lián)系數(shù),（2）自關(guān)聯(lián)系數(shù)的性質(zhì)1）拖尾性：始終有非零取值,不會于大于某個(gè)常數(shù)之后 恒等于 02）負(fù)指數(shù)衰減：隨著時(shí)間的推移,會迅速衰減,衰減速度為（負(fù)指數(shù)：<1,短期關(guān)聯(lián)性）,為的特征根,可視為 p 階齊次差分方程。例：考察下面四個(gè)

13、AR 模型的自關(guān)聯(lián)圖（1）（2）（3）（4）由之上判斷可知之上四個(gè)模型均平穩(wěn),擬合其自關(guān)聯(lián)圖,均呈現(xiàn)ft拖尾性和負(fù)指數(shù)衰減的特征。見課件 54 頁。5.偏自關(guān)聯(lián)函數(shù)截尾（1）含義：對于平穩(wěn)的 AR(p)模型,滯后 k 自關(guān)聯(lián)系數(shù)實(shí)際上且不是和之間單純的關(guān)聯(lián)關(guān)系,因?yàn)橥瑫r(shí)仍受到中間k-1 個(gè)隨機(jī)變量的影響,而這 k-1 個(gè)隨機(jī)變量又均和具有關(guān)聯(lián)關(guān)系,所以,自關(guān)聯(lián)系數(shù)實(shí)際摻雜了其他變量對和關(guān)系的影響,偏自關(guān)聯(lián)系數(shù)則是單純測度對的影響。具體說,對于平穩(wěn)序列,滯后 k 偏自關(guān)聯(lián)系數(shù)就是指于給定中間 k-1 個(gè)隨機(jī)變量的條件下,或者說,于剔除了中間 k-1 個(gè)隨機(jī)變量的干擾之后,對的影響的關(guān)聯(lián)度量?？梢?/p>

14、,偏自關(guān)聯(lián)系數(shù)的定義和回歸分析中偏回歸系數(shù)的定義非常相似,因此能夠從線性回歸的角度,得到偏自關(guān)聯(lián)系數(shù)的另壹層含義。（2）計(jì)算假定為中心化平穩(wěn)序列,用過去的 k 期序列值對作 k 階自回歸擬合,即：由之上分析可知,即為排除中間 k-1 個(gè)變量的干擾之后,對的影響的單純度量,因此可根據(jù)回歸系數(shù)的求法求ft的值（過程略）對于 AR(1)模型對于 AR(2)模型（3）偏自關(guān)聯(lián)系數(shù) p 步截尾性能夠證明,偏自關(guān)聯(lián)系數(shù)具有 p 步截尾性的特征,前面學(xué)過 AR(p)模型自關(guān)聯(lián)系數(shù)具有拖尾性,這是倆條判斷 AR(p) 模型的主要依據(jù),即如果模型自關(guān)聯(lián)系數(shù)具拖尾偏自關(guān)聯(lián)系數(shù) p 步截尾則該模型為 p 階自回歸模

15、型。例,考察如下四個(gè)平穩(wěn) AR(p)模型的偏自關(guān)聯(lián)系數(shù)（1）（2）（3）（4）序號模型(p 步截尾)（拖尾）1234見課件 58 頁四個(gè)模型的偏自關(guān)聯(lián)系數(shù)圖。(計(jì)算課后 98頁第 3 題),作業(yè)：匯總 AR(1)、AR(2)模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì),包括均值、方差、自協(xié)方差函數(shù)、自關(guān)聯(lián)系數(shù)、偏自關(guān)聯(lián)系數(shù)。統(tǒng) 計(jì) 性質(zhì)AR(1):AR(2):,二、MA 模型（壹）定義1.定義：具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為 q 階移動平均模型, 簡記為 MA(q)：2. MA(q)的限制條件：（1）,保證了模型的最高階數(shù)為 q。（2）,要求隨機(jī)干擾序列為零均值白噪聲序列。2.中心化的 MA(q)模型如果則之上移動平均模型稱為中心

16、化的 MA(q)模型：,后面的分析均是針對中心化的模型進(jìn)行的。3.用延遲算子表示 MA(q)：成為 q 階移動平均系數(shù)多項(xiàng)式。（二）MA 模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)1.常數(shù)均值當(dāng)時(shí)(有限階),當(dāng)時(shí),2.常數(shù)方差3.自協(xié)方差函數(shù)只和滯后階數(shù)關(guān)聯(lián),且 q 階截尾例如：MA（1）MA（2）模型：4.自關(guān)聯(lián)函數(shù) q 階截尾例如：MA（1）MA（2）模型：5.偏自關(guān)聯(lián)函數(shù)拖尾MA 模型的拖尾（證明略） 綜上,得ft以下結(jié)論：第一,有限階的 MA 模型壹定是平穩(wěn)的（因?yàn)榫岛头讲罹鶠槌?shù)）第二,MA 模型 q 階截尾,拖尾（AR 模型是拖尾,p 階截尾）例3.6：繪制下列MA 模型的自關(guān)聯(lián)系數(shù)和偏自關(guān)聯(lián)系數(shù), 直觀考

17、察 MA 模型自關(guān)聯(lián)系數(shù)的截尾性和偏自關(guān)聯(lián)系數(shù)的拖尾性。（1）（2）（3）（4）圖形見課件 61 頁62 頁。（三）MA 模型的可逆性例 3.6 四個(gè) MA 模型中,（1）和（2）具有相同的自關(guān)聯(lián)圖,經(jīng)計(jì)算自關(guān)聯(lián)系數(shù)也相同；模型（3）和（4）也具有相同的自關(guān)聯(lián)圖,經(jīng)計(jì)算系數(shù)也相同。即和模型不是壹壹對應(yīng)的關(guān)系,這種自關(guān)聯(lián)系數(shù)的不唯壹給我們將來的工作帶來麻煩。因?yàn)閷砦覀兪峭ㄟ^樣本自關(guān)聯(lián)系數(shù)顯示ft額特征選擇合適的模型擬合序列的發(fā)展,如果自關(guān)聯(lián)系數(shù)和模型之間不是壹壹對應(yīng)關(guān)系,就導(dǎo)致序列和模型之間不是壹壹對應(yīng)的。為了保證壹個(gè)給定的對應(yīng)唯壹壹個(gè) MA 模型,就要給模型施加約束條件可逆性。1、可逆的定義

18、能夠驗(yàn)證。倆個(gè) MA（1）模型具有如下結(jié)構(gòu)關(guān)系時(shí),其相同（1）（2）AR 模型的形式要想使之上模型收斂,必須保證,即而模型（2）可寫作,要寫成收斂的 AR 模型,需保證,即定義：若壹個(gè) MA 模型能夠表示稱為收斂的 AR 模型形式, 那么該 MA 模型稱為可逆 MA 模型,壹個(gè)唯壹對應(yīng)壹個(gè)可逆的 MA 模型。2、MA（q）模型的逆轉(zhuǎn)形式及可逆函數(shù)MA 模型可寫作設(shè)為 MA(q)模型的特征根,即的特征根。任取帶入特征方程：（1）設(shè)為特征多項(xiàng)式的根。任取帶入方程得：,倆邊同時(shí)除以得:（2）可見,MA(q)模型移動平均系數(shù)多項(xiàng)式的根是齊次線性差分方程的特征根的倒數(shù)。即由為特征多項(xiàng)式的根可知所以,（為

19、常數(shù)）之上為 MA 模型的逆轉(zhuǎn)形式,即把 MA 模型寫作無窮階的 AR模型。其中為可逆函數(shù)。同理,根據(jù)待定系數(shù)法（略）能夠推ft可逆函數(shù)的遞推公式：其中,例如：對于 MA(1)模型,q=1對于 MA(2)模型,q=2練習(xí) MA(3)模型可逆函數(shù)。MA(3)：q=3總結(jié)：AR（p）模型的傳遞形式：是把 AR 模型寫作無窮階的 MA 模型。MA（q）模型的逆轉(zhuǎn)形式：是把 MA 模型寫作無窮階的 AR模型3、可逆性判別（1）特征根判別對于壹個(gè)移動平均系統(tǒng)（逆轉(zhuǎn)形勢） 要使可逆,即之上形式收斂,則需時(shí),才能使,即特征根均于單位圓內(nèi),或者的根均于單位圓外。這就是說,要判斷壹個(gè) MA 模型是否可逆,需解其

20、特征方程,判斷特征根的情況。那么,是否能夠直接從模型的形式或移動平均系數(shù)的大小來判斷？2.移動平均系數(shù)判別法（1）對于 MA(1)模型：特征方程為=0, 由得,時(shí),模型可逆（2）對于 MA(2)模型特征方程為,根據(jù) MA(2)模型可逆的條件由根和系數(shù)的關(guān)系得,則即又即三、ARMA 模型（壹）定義1.定義：具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動平均模型, 簡記為：2.限制條件：（1）, 保證了模型的自回歸最高階數(shù)為 p,移動平均最高階數(shù)為 q。（2）,要求隨機(jī)干擾序列為零均值白噪聲序列。（3）,說明當(dāng)期的隨機(jī)干擾和過去的序列值無關(guān)。2.中心化的模型如果,則之上自回歸模型稱為中心化的 ARMA(p,q)

21、模型：,后面的分析均是針對中心化的模型進(jìn)行的。3.用延遲算子表示 ARMA(p,q)： 成為 p 階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式。成為 q 階移動平均系數(shù)多項(xiàng)式當(dāng) q=0 時(shí),ARMA(p,q)模型就退化成了 AR(p)模型。當(dāng) p=0時(shí),ARMA(p,q)模型就退化成了 MA(q)模型。所以,AR(p)和MA(q)模型實(shí)際上是 ARMA(p,q)模型的特例。他們統(tǒng)稱為ARMA(p,q)模型。而 ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)也正是 AR(p)和 MA(q)模型統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的有機(jī)結(jié)合。（二）平穩(wěn)條件和可逆條件1.平穩(wěn)條件：對于 ARMA(p,q)模型,令顯然是壹個(gè)均值為零、方差為的平穩(wěn)序列,于是 ARMA(p,q)模型可寫作如下形式：。和分析 AR(p)模型平穩(wěn)性完全類似,容易推ft ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性條件是：P 階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根均于單位圓外,或者齊次線性差分方程的特征根均于單位圓內(nèi)。即 ARMA(p,q