中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題題型歸納

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載中考二次函數(shù)綜合壓軸題型歸類一、常考點匯總1、兩點間的距離公式 ： ABy AyB2x AxB22、中點坐標(biāo) ：線段 AB 的中點 C 的坐標(biāo)為：xAxByA yB2，2直線 y k1 x b1 （ k1 0 ）與 yk 2 xb2 （ k20 ）的位置關(guān)系：（ 1）兩直線平行k1k2 且 b1b2（ 2）兩直線相交k1 k2（ 3）兩直線重合k1 k2 且 b1 b2（ 4）兩直線垂直k1k213、一元二次方程有整數(shù)根問題，解題步驟如下： 用和參數(shù)的其他要求確定參數(shù)的取值范圍； 解方程，求出方程的根；（兩種形式：分式、二次根式） 分析求解：若是分式，分母是分子的因數(shù)；若是二次

2、根式，被開方式是完全平方式。例：關(guān)于 x 的一元二次方程x 22 m1 xm 20 有兩個整數(shù)根，m5 且 m 為整數(shù)，求 m 的值。4、二次函數(shù)與x 軸的交點為整數(shù)點問題。（方法同上）例：若拋物線ymx23m1 x3 與 x 軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m 為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式。5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下：已知關(guān)于 x 的方程 mx23(m1)x2m30（ m 為實數(shù)），求證：無論m 為何值，方程總有一個固定的根。解：當(dāng) m 0 時， x1；當(dāng) m 0時，m323 m 1， x1 231 ；0 ， x2m、 x2m綜上所述：無論m 為何值，方

3、程總有一個固定的根是1。6、函數(shù)過固定點問題，舉例如下：已知拋物線 yx2mxm2 （ m 是常數(shù)），求證：不論m 為何值，該拋物線總經(jīng)過一個固定的點，并求出固定點的坐標(biāo)。解：把原解析式變形為關(guān)于m 的方程 y x 22m 1x ；學(xué)習(xí)必備歡迎下載yx 22 0 ，解得：y1；1x0x 1 拋物線總經(jīng)過一個固定的點（1， 1）。（題目要求等價于：關(guān)于m 的方程 yx 22m 1 x 不論 m 為何值，方程恒成立）axb有無數(shù)解a0小結(jié) ：關(guān)于 x 的方程b07、路徑最值問題（待定的點所在的直線就是對稱軸）（ 1）如圖，直線 l1 、 l 2 ，點 A 在 l 2 上，分別在和最小。l1 、 l

4、 2 上確定兩點M 、N，使得AMMN之（ 2）如圖，直線l1 、 l 2 相交，兩個固定點A 、 B ，分別在 l1 、 l 2 上確定兩點 M 、 N ，使得BMMNAN 之和最小。（ 3）如圖， A、B 是直線 l 同旁的兩個定點，線段 a ，在直線 l 上確定兩點 E 、 F （ E 在 F 的左側(cè) ），使得四邊形 AEFB 的周長最小。8、在平面直角坐標(biāo)系中求面積的方法：直接用公式、割補(bǔ)法三角形的面積求解常用方法：如右圖，S· PM· x=1/2 · AN· y PAB=1/2學(xué)習(xí)必備歡迎下載9、函數(shù)的交點問題：二次函數(shù)（y ax2 bx c

5、）與一次函數(shù)（y kx h ）（1）解方程組yax2c 可求出兩個圖象交點的坐標(biāo)。bxyhkx（2）解方程組yax2c ，即 ax 2 bk x c h0 ，bxyhkx通過可判斷兩個圖象的交點的個數(shù)有兩個交點僅有一個交點沒有交點00010、方程法（ 1）設(shè)：設(shè)主動點的坐標(biāo)或基本線段的長度（ 2）表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)的數(shù)量（ 3）列方程或關(guān)系式11、幾何分析法特別是構(gòu)造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時，利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何要求幾何分析跟平行有關(guān)的平移圖形勾股定理逆定理跟直角有關(guān)的利用相似、全等、平圖形行、對頂角、

6、互余、互補(bǔ)等跟線段有關(guān)的利用幾何中的全等、圖形中垂線的性質(zhì)等。利用相似、全等、平跟角有關(guān)的圖行、對頂角、互余、形互補(bǔ)等涉及公式y(tǒng)1y2l 1 l 2k1 k2 、 kx2x1ABy AyB 2x AxB 2ABy AyB 2x AxB 2應(yīng)用圖形平行四邊形矩形梯形直角三角形直角梯形矩形等腰三角形全等等腰梯形y【例題精講】一 基礎(chǔ)構(gòu)圖：BOAxCD學(xué)習(xí)必備歡迎下載y= x22x3 （以下幾種分類的函數(shù)解析式就是這個）和 最小，差最大在對稱軸上找一點P，使得 PB+PC 的和最小，求出P 點坐標(biāo)在對稱軸上找一點P，使得 PB-PC 的差最大，求出P 點坐標(biāo)求面積最大連接 AC, 在第四象限找一點P

7、，使得ACP 面積最大，求出P 坐標(biāo) 討論直角三角連接 AC, 在對稱軸上找一點P，使得ACP 為直角三角形，求出 P 坐標(biāo)或者在拋物線上求點P，使 ACP 是以 AC 為直角邊的直角三角形 討論等腰三角連接 AC, 在對稱軸上找一點P，使得ACP 為等腰三角形，求出 P坐標(biāo) 討論平行四邊形1、點 E 在拋物線的對稱軸上，點F 在拋物線上，且以 B， A， F ，E 四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點F 的坐標(biāo)yBOAxCDyBOAxCDyBOAxCD二 綜合題型例 1(中考變式） 如圖，拋物線 yx 2bx c 與 x 軸交與 A(1,0),B(-3，0) 兩點， 頂點為 D。交Y軸于C(

8、1) 求該拋物線的解析式與ABC 的面積。學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2) 在拋物線第二象限圖象上是否存在一點 M ，使 MBC 是以 BCM 為直角的直角三角形，若存在，求出點 P 的坐標(biāo)。若沒有，請說明理由(3) 若 E 為拋物線 B、 C 兩點間圖象上的一個動點 (不與 A、 B 重合 )，過 E 作 EF 與 X 軸垂直，交BC 于 F ，設(shè) E 點橫坐標(biāo)為x.EF 的長度為 L ，求 L 關(guān)于 X 的函數(shù)關(guān)系式？關(guān)寫出X 的取值范圍？當(dāng) E 點運動到什么位置時，線段EF 的值最大，并求此時E 點的坐標(biāo)？(4) 在（ 5）的情況下直線 BC 與拋物線的對稱軸交于點 H 。當(dāng) E 點運動到什么位置

9、時 ,以點 E、 F、 H 、 D 為頂點的四邊形為平行四邊形？(5) 在（ 5）的情況下點E 運動到什么位置時，使三角形BCE 的面積最大？例 2考點： 關(guān)于面積最值如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、 C 的坐標(biāo)分別為 ( 1，0) 、 ( 0，3 ) ，點 B 在 x 軸上已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、 B、 C 三點，且它的對稱軸為直線x 1，點 P 為直線 BC 下方的二次函數(shù)圖象上的一個動點（點P 與 B、 C 不重合），過點 P 作 y 軸的平行線交BC 于點 F（ 1）求該二次函數(shù)的解析式；y（ 2）若設(shè)點 P 的橫坐標(biāo)為 m，試用含 m 的代數(shù)式表示線段PF 的長；（ 3）求 PB

10、C 面積的最大值，并求此時點P 的坐標(biāo)A OFBxC學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 3考點：討論等腰如圖，已知拋物線y12 bx c 與 y 軸相交于 C，與 x 軸相交于 A、B，點 A 的坐標(biāo)為（ 2， 0），2x點 C 的坐標(biāo)為（ 0， 1）（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）點 E 是線段 AC 上一動點，過點 E 作 DE x 軸于點 D，連結(jié) DC，當(dāng) DCE 的面積最大時，求點 D 的坐標(biāo)；（ 3）在直線BC 上是否存在一點P，使 ACP 為等腰三角形，若存在，求點說明理由P 的坐標(biāo)，若不存在，yyDxB OAB OAxECC備用圖例 4 考點：討論直角三角 如圖，已知點A （一 1，0）和點

11、 B（ 1， 2），在坐標(biāo)軸上確定點P，使得ABP 為直角三角形，則滿足這樣條件的點P共有（）(A） 2個（B） 4個 （C）6個（ D） 7個 已知：如圖一次函數(shù)y 1 x1 的圖象與 x 軸交于點 A，與 y 軸交于點 B；二次函數(shù)y 1 x222bx c 的圖象與一次函數(shù)y1x1 的圖象交于 B、C 兩點，與 x 軸交于 D、E 兩點且 D 點坐標(biāo)為（ 1，20）學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 1）求二次函數(shù)的解析式；（ 2）求四邊形 BDEC 的面積 S；（ 3）在 x 軸上是否存在點 P，使得 PBC 是以 P 為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點 P，若不存在，請說明理由yC2BxAO

12、DE例 5考點：討論四邊形已知：如圖所示， 關(guān)于 x 的拋物線 y ax 2 x c（ a0）與 x 軸交于點 A（ 2，0），點 B（ 6，0），與 y 軸交于點 C（ 1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標(biāo)；（ 2）在拋物線上有一點D，使四邊形ABDC 為等腰梯形，寫出點D 的坐標(biāo)，并求出直線AD 的解析式；（ 3）在（ 2）中的直線 AD 交拋物線的對稱軸于點 M，拋物線上有一動點 P，x 軸上有一動點 Q是否存在以 A、 M、 P、 Q 為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點 Q 的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由yCAOBx綜合練習(xí)：1、平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線yax24ax

13、4ac 與x 軸交于點A、點B，與y 軸的正半軸交于點 C，點A 的坐標(biāo)為 (1, 0)，OB OC，拋物線的頂點為D 。(1) 求此拋物線的解析式；(2) 若此拋物線的對稱軸上的點P 滿足 APB ACB ，求點 P 的坐標(biāo)；(3)Q 為線段BD上一點，點A 關(guān)于 AQB的平分線的對稱點為A，若QAQB2 ，求點Q的坐標(biāo)和此時QAA的面積。學(xué)習(xí)必備歡迎下載2、在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知二次函數(shù) yax2 +2ax c 的圖像與 y 軸交于點 C 0，3，與 x軸交于 A、B 兩點，點 B 的坐標(biāo)為3，0 。（ 1） 求二次函數(shù)的解析式及頂點D 的坐標(biāo)；（ 2） 點 M 是第二象限內(nèi)拋

14、物線上的一動點，若直線OM 把四邊形 ACDB 分成面積為 1： 2 的兩部分，求出此時點 M 的坐標(biāo)；（ 3） 點 P 是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：點P 在何處時 CPB 的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點P 的坐標(biāo)。3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，拋物線y2 x2 2 x 與 x 軸負(fù)半軸交于點 A ，頂點為 B ，m且對稱軸與x 軸交于點 C 。（ 1）求點 B 的坐標(biāo)（用含 m 的代數(shù)式表示）；（ 2） D 為 OB 中點，直線 AD 交 y 軸于 E ，若 E （ 0， 2），求拋物線的解析式；（ 3）在（ 2）的條件下，點M 在直線 OB 上，且使得AMC 的周長

15、最小，P 在拋物線上， Q 在直線 BC 上，若以 A、 M、 P、 Q 為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P 的坐標(biāo)。學(xué)習(xí)必備歡迎下載4、已知關(guān)于 x 的方程 (1 m) x2(4 m) x3 0 。（1） 若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m 的取值范圍；（ 2） 若正整數(shù) m 滿足 8 2m2 ，設(shè)二次函數(shù)y (1m) x2(4 m) x 3 的圖象與 x 軸交于A、B 兩點，將此圖象在x 軸下方的部分沿x 軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象；請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線 ykx3 與此圖象恰好有三個公共點時，求出 k 的值（只需要求出兩個滿足題意的k 值即可）。5 如圖，拋

16、物線 y=ax 2+2ax+c （ a0）與 y 軸交于點 C（ 0， 4），與 x 軸交于點 A （ 4， 0）和 B （ 1）求該拋物線的解析式；（ 2）點 Q 是線段 AB 上的動點，過點Q 作 QE AC ，交 BC 于點 E，連接 CQ當(dāng) CEQ 的面積最大時，求點Q 的坐標(biāo)；（ 3）平行于 x 軸的動直線l 與該拋物線交于點P，與直線 AC 交于點 F，點 D 的坐標(biāo)為（ 2，0）問是否有直線 l ，使 ODF 是等腰三角形？若存在，請求出點 F 的坐標(biāo)；若不存在，請說 明理由學(xué)習(xí)必備歡迎下載三、中考二次函數(shù)代數(shù)型綜合題題型一、拋物線與x 軸的兩個交點分別位于某定點的兩側(cè)2例 1已

17、知二次函數(shù)yx ( m 1) x m 2 的圖象與 x 軸相交于 A（ x1， 0）， B（ x2， 0）兩點，且x1 x2（ 1）若 x1x2 0，且 m為正整數(shù)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（ 2）若 x1 1，x2 1，求 m的取值范圍；（ 3）是否存在實數(shù) m，使得過 A、 B 兩點的圓與y 軸相切于點C（ 0， 2），若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；1MD1（ 4）若過點 D（ 0， 2 ）的直線與（ 1）中的二次函數(shù)圖象相交于M、N兩點，且DN 3，求該直線的表達(dá)式題型二、 拋物線與x 軸兩交點之間的距離問題2例 2 已知二次函數(shù)y= x +mx+m-5 ，（ 1）求證：不論

18、m取何值時，拋物線總與 x 軸有兩個交點；（ 2）求當(dāng) m取何值時，拋物線與 x 軸兩交點之間的距離最短題型三、拋物線方程的整數(shù)解問題例 1已知拋物線yx22( m1)xm20 與x 軸的兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且 m 5，則整數(shù) m的值為 _例 2已知二次函數(shù) yx 22mx 4m8（ 1）當(dāng) x 2 時，函數(shù)值y 隨 x 的增大而減小，求m 的取值范圍；2（ 2）以拋物線y x 2mx4m8 的頂點 A 為一個頂點作該拋物線的內(nèi)接正AMN （M，N兩點在拋物線上），請問： AMN的面積是與 m 無關(guān)的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；y（ 3）若拋物線 y x 22mx

19、4m8 與 x 軸交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求整數(shù) m 的值OxA學(xué)習(xí)必備歡迎下載題型四、拋物線與對稱，包括：點與點關(guān)于原點對稱、拋物線的對稱性、數(shù)形結(jié)合例 1已知拋物線yx2bxc （其中 b>0， c0）與 y 軸的交點為A，點 A 關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為B(m,n)，且 AB=2.(1) 求 m,b 的值(2) 如果拋物線的頂點位于x 軸的下方，且BO=20 。求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（友情提醒：請畫圖思考）題型五、拋物線中韋達(dá)定理的廣泛應(yīng)用（線段長、定點兩側(cè)、點點關(guān)于原點對稱、等等）例 1已知：二次函數(shù)yx24xm 的圖象與 x 軸交于不同的兩點A（ x1 ，0）、B（ x2

20、，0）（ x1 x2 ），其頂點是點 C，對稱軸與 x 軸的交于點 D（ 1）求實數(shù) m的取值范圍；（ 2）如果（ x1 +1）（ x2 +1） =8，求二次函數(shù)的解析式；（ 3）把（ 2）中所得的二次函數(shù)的圖象沿y 軸上下平移，如果平移后的函數(shù)圖象與x 軸交于點A1 、B1 ，頂點為點C1，且A1 B1C1 是等邊三角形，求平移后所得圖象的函數(shù)解析式綜合提升1已知二次函數(shù)的圖象與x 軸交于A， B兩點，與y 軸交于點C（ 0，4），且|AB|23，圖象的對稱軸為 x1（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若二次函數(shù)的圖象都在直線y x m的下方，求m的取值范圍2已知二次函數(shù)y2 2xmx m（1）

21、若該二次函數(shù)圖象與x 軸的兩個交點A、 B分別在原點的兩側(cè)，并且AB5，求 m的值；（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象與y 軸的交點為 C，二次函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點對稱的兩點M、N，且 SMNC 27，求 m的值學(xué)習(xí)必備歡迎下載223. 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x 2( k 1) x k 0 有兩個整數(shù)根， k 5 且 k 為整數(shù)（1）求 k 的值；（2）當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于x 的二次函數(shù)2 2( k 1) x k2y x的圖象沿 x軸向左平移 4 個單位，求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式；（3）根據(jù)直線 y x b 與（ 2）中的兩個函數(shù)圖象交點的總個數(shù)，求b 的取值范圍4已知二次

22、函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（ 1， 0）和點 B（2， 1），且與 y 軸交點的縱坐標(biāo)為 m（1）若 為定值，求此二次函數(shù)的解析式；mx 軸還有異于點 A 的另一個交點，求m的取值范圍；（2）若二次函數(shù)的圖象與（3）若二次函數(shù)的圖象截直線y x 1 所得線段的長為 22，求 m的值四、中考二次函數(shù)定值問題1. 如圖，已知二次函數(shù) L1： y=x2 4x+3 與 x 軸交于 A B 兩點（點 A 在點 B 左邊），與 y 軸交于點C（ 1）寫出二次函數(shù) L1 的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)；（ 2）研究二次函數(shù) L2： y=kx 2 4kx+3k （k0）寫出二次函數(shù) L2 與二次函數(shù) L1 有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；若直線y=8k 與拋物線L2 交于 E、F 兩點，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由學(xué)習(xí)必備歡迎下載2.線如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A( 2，O)、B(2 ， 0) 、C(0， l) 三點，過坐標(biāo)原點y=kx 與拋物線交于M、 N 兩