三種常用的正交坐標(biāo)系程

1、張量分析張量分析南京工業(yè)大學(xué)南京工業(yè)大學(xué) 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。確定。三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系 在電磁場與波理論中，在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角直角坐坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱；描述坐標(biāo)軸的量稱為為坐標(biāo)變量坐標(biāo)

2、變量。張量分析張量分析南京工業(yè)大學(xué)南京工業(yè)大學(xué)1、直角坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd體積元體積元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zyx,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zyxeee, 點(diǎn)點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeyex yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元 odzd y

3、dxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd張量分析張量分析南京工業(yè)大學(xué)南京工業(yè)大學(xué)2、圓柱面坐標(biāo)系、圓柱面坐標(biāo)系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zeee,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量張量分析張量分析南京工業(yè)大學(xué)南京工業(yè)大學(xué)ddsinddd2relleSrrrdd dsin d drSelle rrdddddrrelleSr3、球面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和

4、體積元, r坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量eeer,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量張量分析張量分析南京工業(yè)大學(xué)南京工業(yè)大學(xué)4、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zereeecossincossinsincos0直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系xeyesinsinsincoscossinoz單位圓單位

5、圓 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 oxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 xeyeeezeeree 第四章第四章 摩擦摩擦已知已知: :（1）圓柱坐標(biāo)系如圖（）圓柱坐標(biāo)系如圖（a），），r =x1， =x2，z =x3。 （2）球坐標(biāo)系如圖（）球坐標(biāo)系如圖（b），）， r =x1， =x2， =x3。x3O x2 x1 z rx3O x2 x1 r 求：兩種坐標(biāo)系中：求：兩種坐標(biāo)系中：（1）gi 通過笛卡兒基通過笛卡兒基 i，j，k 的表達(dá)式，畫出簡圖。的表達(dá)式，畫出簡圖。（2

6、）求）求 gi，說明，說明 gi 和和 gi 的大小與方向有何關(guān)系。的大小與方向有何關(guān)系。（3）由）由 gi 求求 gij，gij， 。2dr推導(dǎo)過程（見黃克智張量分析第二版習(xí)題推導(dǎo)過程（見黃克智張量分析第二版習(xí)題1.13） 第四章第四章 摩擦摩擦解：解：（1） kjigkjigkjig333231323222121312111xxxxxxxxxxxxxxxxxx圓柱坐標(biāo)系：圓柱坐標(biāo)系： 33212211sinsincoscosxzxxxrxxxrxkgjigjig321212221cossinsincosxxxxxxx3O x2 x1 z rg1g2g3 第四章第四章 摩擦摩擦jigkjig

7、kjig3213213213213212232321cossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossinxxxxxxxxxxxxxxxxxxx球坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系： 21332123211coscossinsinsinsincossincossinxxrxxxxrxxxxrxx3O x2 x1 r g1g2g3kjigkjigkjig333231323222121312111xxxxxxxxxxxxxxxxxx 第四章第四章 摩擦摩擦（2）圓柱坐標(biāo)系：圓柱坐標(biāo)系：321213321132321321,gggggggggggggggggg rrrrrkkkkjiji

8、gggggg22321321sincoscossinsincos11cossincossin1gijkjigrrr2221sincos1sincos1gijjikgrrr 3223sincoscossinsincos1gkkkjijigrrr 第四章第四章 摩擦摩擦球坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系： sincossinsinsincossinsinsincossincossinsinsinsincoscoscossinsincossincossincossincossincossincossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossin222222222321321rrrrrr

9、rrrrrrrrrrrrrrjijijiijikjkjikjikjigggggg 第四章第四章 摩擦摩擦1222221cossinsincossincossinsinsinsincossincoscossinsin1cossinsinsinsinsincoscoscossin1gkjiijkkjikjigrrrrrr222222221sinsincoscoscos1coscossincossinsincossinsinsinsin1cossinsincossincossinsinsinsin1gkjiikjkkjijigrrrrrr 第四章第四章 摩擦摩擦3222223sin1cossinsi

10、nsinsin1cossinsin1gjijigrrrrrrr（3） 332313322212312111332313322212312111ggggggggggggggggggggggggggggggggggggijijggjiijjjiixxgxxddddddd2ggrrr 第四章第四章 摩擦摩擦圓柱坐標(biāo)系：圓柱坐標(biāo)系： 100010001,1000000122rgrgijij222222dddddd10000001ddddzrrzrrzrrx3O x2 x1 z rddrdzrdr 第四章第四章 摩擦摩擦球坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系： 222222sin100010001,sin0000001rr

11、grrgijij2222222222dsindddddsin0000001ddddrrrrrrrrx3O x2 x1 r dddrdrr 第四章第四章 摩擦摩擦1.16 已知：圓柱坐標(biāo)系中已知：圓柱坐標(biāo)系中、球坐標(biāo)系中矢量的逆變分量、球坐標(biāo)系中矢量的逆變分量 v i。利用題利用題 1.13 結(jié)果分別求兩個坐標(biāo)系中的協(xié)變分量結(jié)果分別求兩個坐標(biāo)系中的協(xié)變分量 vi 。解：解： jijigvv（1）圓柱坐標(biāo)系）圓柱坐標(biāo)系3221321232110000001vvrvvvvrvvv（2）球坐標(biāo)系）球坐標(biāo)系3222132122321sinsin0000001vrvrvvvvrrvvv 第四章第四章 摩擦

12、摩擦1.17 求：題求：題 1.13 所示圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)所示圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo) xi，與笛卡兒坐標(biāo)，與笛卡兒坐標(biāo) xj的轉(zhuǎn)換系數(shù)的轉(zhuǎn)換系數(shù) 。與與jiij解：解： 1,jiijijijjixx圓柱坐標(biāo)系：圓柱坐標(biāo)系： 33212211sincosxxxxxxxx1000cossin0sincosrrji1000cossin0sincosrrij 第四章第四章 摩擦摩擦球坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系： 21332123211cossinsincossinxxxxxxxxxxx0cossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossinrrrrrji0sincossincossinc

13、ossinsinsinsincoscoscossinrrrrrij 第四章第四章 摩擦摩擦1.18 （1）已知）已知: :笛卡兒坐標(biāo)系中笛卡兒坐標(biāo)系中v 的分量為的分量為v1，v2，v3；求：圓柱坐標(biāo)中求：圓柱坐標(biāo)中 v 的分量的分量 v1，v2，v3。（2）已知）已知: :笛卡兒坐標(biāo)系中笛卡兒坐標(biāo)系中v 的分量為的分量為v1，v2，v3；求：球坐標(biāo)中求：球坐標(biāo)中 v 的分量的分量 v1，v2，v3。解：解： jjiijijivvvv,（1）3213213332312322211312113211000cossin0sincosvvvrrvvvvvv（2） 321321332313322212

14、3121113210cossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossinvvvrrrrrvvvvvv 第四章第四章 摩擦摩擦1.19 試求線元試求線元 dxk 的長度的長度 dsk 。解：解： kkkkkkkkkkkxgxxsdddddddggsss1.20 試求線元試求線元 dxk 與與 dxl 的夾角的夾角kl 。解：解： l lkklkll lkkkllkklklkklgggxgxgxxddddddddcosggssssl lkklkklggg1coskkkkxddd31gsrkkkxddgs 第四章第四章 摩擦摩擦1.38 在笛卡兒坐標(biāo)系中，各向同性材料的彈性關(guān)系為在笛卡兒坐標(biāo)系中，各向同性材料的彈性關(guān)系為 3131221133332323113322221212332211111,11,11,1EEEEEE （1）利用商法則證明此式必定可以表示為一個張量的代數(shù)）利用商法則證明此式必定可以表示為一個張量的代數(shù)運(yùn)算等式，寫出其實(shí)體形式，說明等式中各階張量的階數(shù)。運(yùn)算等式，寫出其實(shí)體形式，說明等式中各階張量的階數(shù)。 （2）將上式表示為可運(yùn)用于任意坐標(biāo)系的張量分量形式。）將上式表示為可運(yùn)用于任意坐標(biāo)系的張量分量形式。 （3）寫出任意坐標(biāo)系中的協(xié)變分量）寫出任意坐標(biāo)系中的協(xié)變分量Dijkl 用用E， 及度量張