一元二次不等式及其解法

1、3.2.1 一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的概念我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式叫做一元二次不等式 破疑點(diǎn)：(1)在一元二次不等式的表達(dá)式中，一定有條件a0，即二次項(xiàng)的系數(shù)不為零(2)對于ax2bxc>0(或<0)的形式，如果不指明是二次不等式，那么它也可能是一次不等式，應(yīng)特別注意分類討論練習(xí)：判斷下列不等式中哪些是一元二次不等式x2>0；x2x5；x35x6>0；mx25y<0(m為常數(shù))；ax2bxc>0.解析是不是，因?yàn)閤3的最高次數(shù)是3，不符合定義不是當(dāng)m0時(shí)，它是一元一次不等式，當(dāng)m0，它含有兩個(gè)未知數(shù)x，y.不一定

2、是當(dāng)a0時(shí)，它不符合一元二次不等式的定義；當(dāng)a0時(shí)，是2一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做這個(gè)一元二次不等式的解 ，其解的集合，稱為這個(gè)一元二次不等式的解集 破疑點(diǎn)：(1)解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要寫成集合或區(qū)間的形式(2)一元二次不等式解集的形式是在a>0的條件下給出的，若a<0，應(yīng)將不等式兩邊同乘以1轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，再求解練習(xí)：畫出函數(shù)yx22x3的圖象，觀察圖象回答問題：(1)x_時(shí)，y0，方程x22x30的根為_(2)x_時(shí)，y>0，不等式x22x3>0的解集為_；(3)x_時(shí)，y<0，不等式x22x3

3、<0的解集為_答案(1)1,3x11，x23(2)x|x<1或x>3x|x<1或x>3(3)x|1<x<3x|1<x<3解析方程x22x30的兩根分別是x11，x23，函數(shù)yx22x3的圖象如圖所示由圖象可知，當(dāng)x1,3時(shí)，y0，方程x22x30的根為x11，x23.當(dāng)xx|x<1或x>3時(shí)，y>0，不等式x22x3>0的解集為x|x<1或x>3當(dāng)xx|1<x<3時(shí)，y<0，不等式x22x3<0的解集為x|1<x<33一元二次不等式的解法一元二次不等式經(jīng)過變形，可以化成

4、以下兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：(1)ax2bxc0(a0)；(2)ax2bxc0(a0)上述兩種形式的一元二次不等式的解集，可通過方程ax2bxc0的根確定設(shè)b24ac，則：0時(shí)，方程ax2bxc0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，設(shè)x1x2，則不等式(1)的解集為x|xx1或xx2，不等式(2)的解集為x|x1xx2；0時(shí)，方程ax2bxc0有兩個(gè)相等的根，即x1x2，此時(shí)不等式(1)的解集為xR|x，不等式(2)的解集為；0時(shí)，方程ax2bxc0無實(shí)數(shù)根，則不等式(1)的解集為R；不等式(2)的解集為.對于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a0)的不等式，可以先依據(jù)不等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù)，再參照上述兩種形式

5、求解也可以直接參照a0的情形畫出圖象，對比圖象上的正負(fù)值區(qū)間寫出解集練習(xí)：解不等式6x23x2>0.解析原不等式可化為3x26x2<0，364×3×212>0，方程3x26x20的兩實(shí)根分別為x11，x21，原不等式的解集為x|1<x<1考點(diǎn)一：簡單的一元二次不等式的解法例1、 解下列不等式：(1)2x23x2>0；(2)x23x5>0；(3)6x2x20；(4)4x214x；(5)2x24x7<0. 解析(1)(3)24×2×(2)25>0，方程2x23x20有兩個(gè)不同實(shí)根，分別是，2，原不等式的解

6、集為x|x>2，或x<(2)(3)24×5920<0，x23x5>0的解集為R.(3)原不等式可化為6x2x20，124×6×(2)49>0，方程6x2x20有兩個(gè)不同實(shí)根，分別是，原不等式的解集為x|x(4) 原不等式可化為4x24x10，即(2x1)20. 原不等式的解集是x|x(5)(4)24×2×740<0，不等式2x24x7<0的解集為.跟蹤練習(xí)：不等式x24x50的解集為_ 答案 解析16204<0，方程x24x50無實(shí)根，原不等式的解集為.考點(diǎn)二：一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用例2、 某熱

7、帶風(fēng)暴中心B位于海港城市A東偏南30°的方向，與A市相距400 km.該熱帶風(fēng)暴中心B以40km/h的速度向正北方向移動，影響范圍的半徑是350 km.問：從此時(shí)起，經(jīng)多少時(shí)間后A市將受熱帶風(fēng)暴影響，大約受影響多長時(shí)間？解析如圖，以A市為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)B400，BAx30°，臺風(fēng)中心B的坐標(biāo)為(200，200)，xh后臺風(fēng)中心B到達(dá)點(diǎn)P(200，40x200)處由已知，A市受臺風(fēng)影響時(shí)，有|AP|350，即(200)2(40x200)23502，整理得16x2160x3750，解這個(gè)不等式得，3.75x6.25，A市受臺風(fēng)影響的時(shí)間為6.253.752

8、.5.故在3.75h后，A市會受到臺風(fēng)的影響，時(shí)間長達(dá)2.5h.跟蹤練習(xí)：汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車后還要向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”剎車距離是分析事故的一個(gè)重要因素，在一個(gè)限速40km/h以內(nèi)的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時(shí)剎車，但還是相碰了事后現(xiàn)場測得甲車的剎車略超過12m，乙車的剎車略超過10m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間有如下關(guān)系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2.問：超速行駛應(yīng)負(fù)主要責(zé)任的是誰？解析要分清誰是應(yīng)付主要責(zé)任者，就需分析行車速度，要弄清速度問題，就要利用剎車距離函數(shù)與實(shí)

9、測數(shù)據(jù)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，由題意列出不等式甲：0.1x0.01x212，乙：0.05x0.005x210，x0，解得x甲30 km/h，x乙40 km/h，經(jīng)比較知乙車超過限速，應(yīng)付主要責(zé)任.考點(diǎn)三：“三個(gè)二次”關(guān)系的應(yīng)用例3、 若不等式ax2bxc0的解集是x|x2，求不等式cx2bxa<0的解集 解析解法一：由ax2bxc0的解集為x|x2，知a<0，又()×2<0，則c>0.又，2為方程ax2bxc0的兩個(gè)根，. . 又，ba，ca.不等式cx2bxa<0化為(a)x2(a)xa<0，即2ax25ax3a>0.又a<0，2x25x3&

10、lt;0(2x1)(x3)<0.不等式cx2bxa<0的解集為x|3<x<跟蹤練習(xí)：已知方程ax2bx20的兩根為和2.(1)求a、b的值；(2)解不等式ax2bx1>0.解析(1)方程ax2bx20的兩根為和2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得.解得a2，b3.(2)由(1)知，ax2bx1>0化為2x23x1>0，即2x23x1<0，解得<x<1.不等式ax2bx1>0的解集為x|<x<1例4 設(shè)f(x)、g(x)都是R上的奇函數(shù)，關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為x|4<x<10，g(x)>0的解集

11、為x|2<x<5，則關(guān)于x的不等式f(x)·g(x)>0的解集為()Ax|2<x<10 Bx|4<x<5Cx|10<x<2或2<x<10 Dx|5<x<4或4<x<5錯(cuò)解選B.辨析f(x)g(x)>0或.誤選B，是忽視了f(x)<0且g(x)<0的情況正解選D.f(x)、g(x)都是R上的奇函數(shù)，f(x)·g(x)為偶函數(shù)，f(x)>0且g(x)>0的解集為x|4<x<10x|2<x<5x|4<x<5由偶函數(shù)的對稱性知f

12、(x)<0且g(x)<0的解集為x|5<x<4，故選D.3.2.2 含參數(shù)一元二次不等式的解法1.含參數(shù)的一元二次不等式的解法解答含參數(shù)的不等式時(shí)，一般需對參數(shù)進(jìn)行討論，常見的有以下幾種情況：(1)二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí)，根據(jù)二次不等式化標(biāo)準(zhǔn)形式需要化二次項(xiàng)系數(shù)為正，所以要對參數(shù)符號進(jìn)行討論(2)解“”的過程中，若“”表達(dá)式含有參數(shù)且參數(shù)的取值影響“”符號，這時(shí)根據(jù)“”符號確定的需要，要對參數(shù)進(jìn)行討論(3)方程的兩根表達(dá)式中如果有參數(shù)，必須對參數(shù)討論才能確定根的大小，這時(shí)要對參數(shù)進(jìn)行討論總之，參數(shù)討論有三個(gè)方面：二次項(xiàng)系數(shù)；“”；根但未必在這三個(gè)地方都進(jìn)行討論，是否討論要根

13、據(jù)需要而定練習(xí)：解關(guān)于x的不等式56x2axa20.解析原不等式化為(7xa)(8xa)0，方程(7xa)(8xa)0的兩根為x1，x2，a0時(shí)，解集為x|x；a0時(shí)，解集為；a0時(shí)，解集為x|x2分式不等式的解法(1)分式不等式：分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關(guān)于x的多項(xiàng)式的不等式稱為分式不等式 (2)等價(jià)轉(zhuǎn)化法解分式不等式：解分式不等式的基本方法是將其轉(zhuǎn)化為與之同解的整式 不等式(組)具體情況見下表：練習(xí)：解下列不等式：(1)0； (2)3.解析(1)00x|x4或x<原不等式的解集為x|x<或x4(2)33000，x|x<2原不等式的解集為x|x<23簡單的高

14、次不等式的解法(1)高次不等式不等式最高次項(xiàng)的次數(shù)高于2，這樣的不等式稱為高次不等式 (2)穿根法解高次不等式的步驟將f(x)最高次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積或二次不可分因式的積；將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，自上而下，從右向左依次通過每一點(diǎn)畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根既穿又過)；觀察曲線顯現(xiàn)出的f(x)的值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集練習(xí)：解不等式：(x2)(x1)(x1)(x2)0.解析設(shè)y(x2)(x1)(x1)(x2)，則y0的根分別是2，1,1,2，將其分別標(biāo)在數(shù)軸上，并畫出如圖所示的示意圖：所以原不等式的解集是x|2x1，或1x2點(diǎn)

15、評(1)大于0的不等式的解，對應(yīng)著曲線在x軸上方部分的實(shí)數(shù)x的取值集合；反之，對應(yīng)著x軸下方部分的實(shí)數(shù)x的取值集合注意端點(diǎn)處值是否取到(2)穿根法可形象地稱為“穿根引線法”，這樣的“線”可看成是函數(shù)的圖象草圖，只不過不畫y軸而已考點(diǎn)一：含參數(shù)的一元二次不等式的解法例1、 解關(guān)于x的不等式：x2(2m1)xm2m0.解析解法一：方程x2(2m1)xm2m0的解為x1m，x2m1，且知mm1.二次函數(shù)yx2(2m1)xm2m的圖象開口向上，且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)不等式的解集為x|mxm1 解法二：注意到m2mm(m1)，及m(m1)2m1，可先因式分解，化為(xm)(xm1)0，mm1，mxm1.不等

16、式的解集為x|m<x<m1跟蹤練習(xí)：當(dāng)a>0時(shí)，解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x1<0.解析不等式ax2(a1)x1<0可化為(ax1)(x1)<0，a>0，不等式(ax1)(x1)<0，可化為(x)(x1)<0，當(dāng)a1時(shí)，不等式無解；當(dāng)0<a<1時(shí)，1<x<；當(dāng)a>1時(shí)，<x<1.綜上可知，當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式的解集為x|1<x<；當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解集為空集；當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為x|<x<1.考點(diǎn)二：分式不等式的解法例2、 (1)不等式2的

17、解集為()A1,0)B1，)C(，1 D(，1(0，)(2)不等式1的解集為_答案(1)A(2)x|<x<解析(1)200，1x0.(2)原不等式化為：0，(6x4)(4x3)0，x，原不等式的解集為x|x跟蹤練習(xí)：不等式1的解集是()Ax|x2 Bx|x或x2Cx|x2 Dx|x2答案C 解析不等式1，化為：0，x2.考點(diǎn)三：簡單高次不等式解法例3、 不等式0的解集為()Ax|x2，或0x3 Bx|2x2，或x3Cx|x2，或x0 Dx|x0，或x3答案A 解析原不等式等價(jià)于x(x2)(x3)0.結(jié)合數(shù)軸穿根法(如圖)可知：x2或0x3.跟蹤練習(xí)：解不等式：x(x1)2(x1)3(x2)>0.解析原不等式可化為1<x<0，或x>2.原不等式的解集為x|1<x<0，或x>2.考點(diǎn)四：不等式恒成立的問題例4、 關(guān)于x的不等式(1m)x2mxm<x21對xR恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析原不等式等價(jià)于mx2mxm1<0對xR恒成立，當(dāng)m0時(shí)，0·x20·x1<0對xR恒成立當(dāng)m0時(shí)，由題意，得m<0.綜上，m的取值范圍為m0.跟蹤練習(xí)：已知不等式ax2(a1)xa1<0對于所有的實(shí)數(shù)x都成立，求a的取值范圍解析若a0，則原不等式為x