空間曲線的曲率撓率

1、12 曲率、撓率第五章 多元函數(shù)微分學(xué) ( )( )( )xx tyy tzz tatb ( )rr tkC1C1k atb k定義：如果曲線的參數(shù)表示式 或 是 階連續(xù)可微的函數(shù)，則把這類曲線稱為 類曲線。當(dāng) 時(shí), 類曲線又稱為光滑曲線。自然參數(shù)：我們知道曲線有不同的參數(shù)表示，能否找一種參數(shù)使研究曲線很方便呢？回答是肯定的這就是以弧長s為參數(shù)（自然參數(shù)） 對于光滑曲線1、 的參數(shù)是自然參數(shù)的充要條件是2、弧長參數(shù)優(yōu)越性：3、弧長作參數(shù)是可以做到的：由于 則s(t)是t的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，存在反函數(shù)t=t(s), 代入有 4、對于)()(),(srsrsr )(tr1. 1.曲線的自然參數(shù)曲線的自

2、然參數(shù)RAttztytxtr),(),(),()(, )(trdtds由于1)()(trsrst時(shí)，當(dāng)1)(tr0)(trdtds)()()(sstrtrzzyyxxszsysxsr 2220)()()()(12222例：圓的參數(shù)化為 r(t) (a cost , a sint ) , tR ，其中常數(shù) a 0 , 試將參數(shù)化為自然參數(shù)。解解:tstytxd)()(d2dd2dd )sin(22tata22costdtadtastd0at)()sin,cos()()(sasaasastrtr給出 類曲線 得一單位向量 ， 稱 為 曲線（C）上 P 點(diǎn)的單位切向量單位切向量。 稱 為曲線在 P

3、點(diǎn)的主法向量主法向量, 它垂直于單位切向量。 稱 為曲線在 P 點(diǎn)的次法向量次法向量。把兩兩正交的單位向量 稱為曲線在 P 點(diǎn)的伏雷內(nèi)（Frenet)標(biāo)架。 2C)(srrdsrdrrr ,2.2.空間曲線的基本三棱形、伏雷內(nèi)標(biāo)架空間曲線的基本三棱形、伏雷內(nèi)標(biāo)架dsrdr3)由任意兩個(gè)基本向量所確定的平面 分別叫做:密切平面：法平面：從切平面：而由三個(gè)基本向量和上面三個(gè)平面所構(gòu)成的圖形叫做曲線的基本三棱形。),(trr2) 對于曲線（C）的一般參數(shù)表示 有rrrrrrrrrrrrrr )(,2()0Rr(, ,)0Rr ()0Rr()0Rr定義定義 過空間曲線上 P 點(diǎn)的切線和 P 點(diǎn)鄰近一點(diǎn)

4、 Q 可作一平面 ，當(dāng) Q 點(diǎn)沿曲線趨于 P 時(shí)，平面 的極限位置 稱為曲線在 P 點(diǎn)的密切平面。關(guān)于密切平面關(guān)于密切平面O)(0tP)(0ttQ)(0tr對于 類的曲線上任一正常點(diǎn)處的密切平面是最貼近于曲線的切平面。密切平面以 為法向。2c 密切平面的方程密切平面的方程 給出 類的曲線（C）： 有因?yàn)橄蛄?和 都在平面 上，所以它們的 線性組合 也在平面 上。兩邊取極限得 在極限平面上，即 P 點(diǎn)的密切平面上，因此由于 ,這個(gè)向量就可以作為密切平面的一個(gè)法向量。密切平面方程為 2C)(srr2021000)()()()(ssrssrsrssrPQ )(0srPQ )()(0022srssrP

5、Qs)(0sr )()(srsr 0)()()(000 srsrsrRO)(:0trP)(:0ttrQ)(0trR 表示 P 點(diǎn)的密切平面上任一點(diǎn)的向徑， 則上式表示為如果曲線用一般參數(shù)t 表示，則將上式中的撇改成點(diǎn)。 ),(zyxR 0)()()()()()()()()(000000000 szsysxszsysxszzsyysxxP平面曲線的密切平面就是曲線所在的平面。0)()()(000 srsrsrR例例 求圓柱螺線r=a cos t, a sin t, bt在任一點(diǎn)的密切平面00sincoscossinsincostatabtatabtztaytax0coscos22btztayxt

6、ab3.3.空間曲線的曲率，撓率空間曲線的曲率，撓率設(shè)空間曲線(C)為 的，且以 s 為參數(shù)。 1)曲率曲率 定義（C）在 P 點(diǎn)的曲率為 3Csss0lim)()(s)(ssP1Pss0s s越小就越接近曲線在P點(diǎn)的彎曲程度,進(jìn)一步令則的極限就應(yīng)該是曲線在P點(diǎn)的彎曲程度。 曲率的幾何意義曲率的幾何意義是曲線的切向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度。曲率越大，曲線的彎曲程度就越大，因此它反映了曲線的彎曲程度。)(ss例例. 求半徑為R 的圓上任意點(diǎn)處的曲率 .解解: 如圖所示 ,Rsss0limR1可見: R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .sRMM

7、例：例： 空間曲線， 為直線的充要條件是曲率證明：若為直線 其中 都是常向量， 并且 ，則 反之, 若 , 則 于是 所以該曲線是直線.)(srr0)( sba srba和1a0)( ars0)( s0)( rsba sr2)撓率撓率 與曲率類似有 ss0lim)(ss )(ss)(s)(skrr )()(,)(sksk./) 1.(, 定義定義 曲線（C）在 P 點(diǎn)的撓率為撓率的絕對值是曲線的次法向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度。)(s,異向和當(dāng).,同向和當(dāng)撓率恒為零的曲線是平面曲線3)曲率和撓率的一般參數(shù)表示式曲率和撓率的一般參數(shù)表示式給出 類的曲線（C）：所以因此由此得到曲率的一般參數(shù)的表示式3C

8、rdtdsdtdsrdtdsdsrdrtrr,)(,)(22222222dtsdrdtdsrdtsdrdtdsdsrddtsdrdtdsrr ,3222 dtdsrrdtsdrdtdsrdtdsrrr ), 1(sin33rrrrkdtdsrrrr 3rrrk 由 0262)(),(),(1)1()1()1)1()1()1()(rrrrrrrrrrrrr 可得撓率公式為2)(),(rrrrr 3 dtdsrrrr rdtdsdtsdrdtdsrr 3222)( 有曲率近似計(jì)算公式,1時(shí)當(dāng) y則曲率計(jì)算公式為sdd23)1(2yy y )(xfy 二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧說明說明: 若曲線由參數(shù)方程)

9、()(tyytxx給出, 則若曲線方程為, )(yx則23)1(2xx 23)(22yxyxyx 若曲線由參數(shù)方程)()(tyytxx給出, 則23)(22yxyxyx PCk14）密切園（曲率園）密切園（曲率園） 過曲線（C）上一點(diǎn) P 的主法線的正側(cè)取線段 PC，使 PC 的長為1/k。以C 為園心，以1/k為半徑在密切平面上確定一個(gè)園，這個(gè)園稱為曲線在 P 點(diǎn)的密切園或曲率園，園的中心叫曲率中心，園的半徑叫曲率半徑。曲率中心軌跡設(shè)對應(yīng)Y=(x,y,z)，則有容易證明C在P點(diǎn)與曲率圓相切，且在P點(diǎn)的曲率相同在點(diǎn)P 處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1) 有公切線;(2) 凹向一致; (3)

10、曲率相同 .)()(1)(tttrY例例 求圓柱螺線r=a cos t, a sin t, bt(a0, b0均為常數(shù)) 的曲率、撓率、曲率中心和曲率圓. 解 =-a sin t, a cos t, b， =-a cos t, -a sin t, 0， =a sin t, -a cos t, 0.于是 = =所以圓柱螺線的曲率和撓率都是常數(shù). 3rrrk 2)(),(rrrrr rrr r . 故曲率中心的半徑向量為可以求出密切平面為于是曲率圓為設(shè)曲線方程為, )(xfy 且,0 y求曲線上點(diǎn)M 處的曲率半徑及曲率中心),(D設(shè)點(diǎn)M 處的曲率圓方程為222)()(R故曲率半徑公式為1R 23)

11、1 (2yy 滿足方程組,222)()(Ryx),(在曲率圓上yxM)(MTDM yyx的坐標(biāo)公式 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 TCyxo),(DR),(yxM由此可得曲率中心公式y(tǒng)yyx )1 (2yyy 21(注意y與y 異號(hào) )Cyxo),(yxM),(DRT例例. 設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面 , 問選擇多大的砂輪比較合適?解解: 設(shè)橢圓方程為tbytaxsincos),20(abx可知, 橢圓在)0,( aoyx處曲率最大 ,即曲率半徑最小, 且為 R23)cossin(2222tbtaba0tab2顯然, 砂輪半徑不超過ab2時(shí), 才不會(huì)產(chǎn)生過量

12、磨損 ,或有的地方磨不到的問題.ab例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5）伏雷內(nèi)（伏雷內(nèi)（Frenet)公式公式 由定義可得 又 于是有 這個(gè)公式稱為空間曲線的伏雷內(nèi)（伏雷內(nèi)（Frenet)公式公式。它的系 數(shù)組成一反稱方陣)(s)()()()()(ssksks)(s)()(ssk)(sk0)(0)(0)(0)(0sssksk當(dāng)點(diǎn) M (x , y) 沿曲線C 移動(dòng)時(shí),的軌跡 G 稱為曲線 C 的漸屈線漸屈線 ,相應(yīng)的曲率中心曲率中心公式可看成漸曲線 C 稱為曲線 G 的漸伸線漸伸線 .屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).6）曲線的漸屈線、漸近線曲線的漸屈線、漸近線( 仍為擺線 )sin( a)co

13、s1 ( a例例. 求擺線)cos1 ()sin(tayttax的漸屈線方程 . 解解:xyy,cos1sinttxyyt)(dd 2)cos1 (1ta代入曲率中心公式 ,)sin(tta) 1(cos ta得,t令aa2擺線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yoxMo微分幾何Differential Geometry坐標(biāo)系、微積分坐標(biāo)系、微積分應(yīng)用于幾何學(xué)，產(chǎn)生了微分幾何研究如何描述空間中一般的曲線和曲面的形狀參數(shù)變換下幾何不變量：曲線弧長、曲率、撓率；曲面第一基本形式、第二基本形式等微積分，拓?fù)鋵W(xué)，高等代數(shù)與解析幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用突出的數(shù)學(xué)家Euler(1707-1783), Morge(

14、1746-1818)引進(jìn)曲線曲面參數(shù)表示法曲率能夠由主曲率表示，Euler公式Gauss(1777-1855)曲面的第一、二基本形式、Gauss曲率，內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)Intrinsic differential geometryRiemann(1826-1866)度量Measure、流形Manifold、黎曼幾何學(xué)；彎曲空間Klein(1849-1925)變換群Cartan(1869-1951)活動(dòng)標(biāo)架，纖維叢及其聯(lián)絡(luò)突出的數(shù)學(xué)家陳省身開創(chuàng)并領(lǐng)導(dǎo)著整體微分幾何、“陳省身示性類”丘成桐“卡拉比猜想”，“微分幾何中偏微分方程作用”，“完備黎曼流形上調(diào)和函數(shù)”楊振寧先生對幾何學(xué)的概括天衣豈無縫，匠心剪接成

15、。渾然歸一體，廣邃妙絕倫。造化愛幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳。微分幾何的應(yīng)用理論物理廣義相對論將物理量解釋為幾何量。具體的說，空間和時(shí)間結(jié)合在一起由一個(gè)流形描述：不同的參照系給出不同的局部坐標(biāo)；不同參照系之間的關(guān)系即是坐標(biāo)變換。時(shí)空流形的度量由所謂Lorentz度量給出，象Riemann幾何一樣計(jì)算出曲率等幾何量。Einstein方程說：時(shí)空的物理量（能量動(dòng)量張量）等于時(shí)空的幾何量（Ricci曲率張量）。微分幾何的應(yīng)用計(jì)算幾何、圖形學(xué)曲線曲面設(shè)計(jì)離散微分幾何網(wǎng)格曲面計(jì)算機(jī)視覺基于流形的學(xué)習(xí)方法拓?fù)鋵W(xué)，代數(shù)拓?fù)浜臀⒎滞負(fù)渑c之緊密相連代數(shù)幾何，代數(shù)方程（組）的零點(diǎn)集計(jì)算機(jī)視覺Computer Vision數(shù)字幾何數(shù)字幾何媒體：拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜；采樣非均勻；沒有通用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字幾何媒體(Digital geometry media)正成為繼聲音、圖像和視頻之后的下一輪數(shù)字媒體浪潮。幾何造型Shape modeling nSurface reconstruction(static) nFrom CT or optical images, raw point data, nData repairing, registration, resampling, smoothing Point cloud mesh NURBS textureNo connection co