銳角三角函數(shù)全

1、銳角三角函數(shù)（1）一問題：為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌.現(xiàn)測(cè)得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是，為使出水口的高度為，求需要準(zhǔn)備多長的水管？探究：如圖，與中，探究與的關(guān)系結(jié)論：在直角三角形中，當(dāng)銳角a的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，a的對(duì)邊與斜邊的比是一個(gè)固定值.在中，我們把銳角a的對(duì)邊與斜邊的比叫做a的正弦.記作如圖， 同理：二例題與練習(xí)：1.例題：如圖，在中, ，求和的值.2.練習(xí)：1.三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示，則的值是 a b c d2.如圖，在中, ，若，則的值是（ ）a b c d3.在中，則邊的長是(

2、 )a b3 c d 4如圖，已知是的直徑，點(diǎn)、在上，且，則 = ； = .5在中，于點(diǎn).已知，那么的值為（ ）a b c d-1-三在直角三角形中，當(dāng)銳角a的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，a的鄰邊與斜邊的比是一個(gè)固定值，a的對(duì)邊與鄰邊的比是一個(gè)固定值，在中，我們把銳角a的鄰邊與斜邊的比叫做a的余弦.記作如圖， 同理：在中，我們把銳角a的對(duì)邊與鄰邊的比叫做a的正切.記作如圖， 同理：四例題與練習(xí)：例題：如圖，在中，求，的值.練習(xí)：1.分別求出下列直角三角形中兩個(gè)銳角的正弦值、余弦值和正切值2.如圖，在中，求、的值五課后作業(yè)：1.在中，分別是、的對(duì)邊，則有（ ） a b c d本題主要考查銳

3、解三角函數(shù)的定義，同學(xué)們只要依據(jù)的圖形，不難寫出，從而可判斷c正確.2. 在中，如果，那么的值為（ ） a b c d分析? 本題主要考查銳解三角函數(shù)及三角變換知識(shí)。其思路是：依據(jù)條件，可求出；再由，可求出，從而，故應(yīng)選d.3如圖：是的邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）， 則=_. 4.分別求出圖中、的正弦值、余弦值和正切值（b層）在中，求的面積（用含有字母，的式子表示）-2三 角 函 數(shù)（2）一探究：如圖，在中，.如圖1，求、的值；如圖1，求、的值；如圖2，求、的值；二結(jié)論：1.完成表格：2.的正弦值隨著的角度的增大而 .的余弦值隨著的角度的增大而 .的正切值隨著的角度的增大而 .三例題與練習(xí)

4、：例題1：求下列各式的值： 例題2：如圖1, 在中，,，求的度數(shù).如圖2，已知圓錐的高等于圓錐的底面半徑的倍,求.練習(xí)：1.求下列各式的值： 2. 在中，,，求、的度數(shù).-3-四課堂檢測(cè)：計(jì)算：1.將改寫成下列形式的式子，其中錯(cuò)誤的是（ ）a. b. c. d. 2. 在中，,，則的值是（ ）a. b. c. d. 3.在中，、都是銳角，且，則的形狀為（ ）a. 直角三角形 b.鈍角三角形 c.銳角三角形 d.不能確定4.化簡的結(jié)果為（ ）a. b. c. d. 5.已知，則銳角的度數(shù)為 .6.已知是銳角，若，則的值為 .7. 在中，,，則的值為 .8.已知，則銳角的度數(shù)為 .9. 求下列各式

5、的值： 10. 在中，,，且，求、的長.11.如圖，一塊為的空地，現(xiàn)在這塊空地上種植每平方米元的草皮，求購買這種草皮至少需要多少錢？（b層）12.如圖，兩地之間有一座山，汽車原來從地到地須經(jīng)地沿折線行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線行駛.已知，求開通隧道后，汽車從地到地比原來少走多少千米？（結(jié)果保留根號(hào)）-4-銳角三角函數(shù)（3）一例題與練習(xí)：例題1：用計(jì)算器計(jì)算下列銳角三角函數(shù)值（精確到0.0001） 由你能得到的猜想為 ，請(qǐng)利用下圖驗(yàn)證你的猜想練習(xí)：用計(jì)算器計(jì)算下列銳角三角函數(shù)值（精確到0.0001） 例題2：已知下列銳角三角函數(shù)值，用計(jì)算器求其相應(yīng)的銳角 練習(xí)： 例題3：如圖，要焊接一個(gè)高

6、，底角為的人字形鋼架，約需要多長的鋼材（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）練習(xí)：如圖，一塊平行四邊形木板的兩條鄰邊、的長分別為和，它們之間的夾角為，求這塊木板的面積（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）二課堂檢測(cè)：1.求下列銳角三角函數(shù)值（精確到0.0001）：= ； = ； = .2. 已知下列銳角三角函數(shù)值，用計(jì)算器求其相應(yīng)的銳角，= ；，= ；，= ；-5-三課后練習(xí)：1計(jì)算的值為（ ）a b c d2在中，各邊的長度都擴(kuò)大4倍，那么銳角的正切值（ ）a擴(kuò)大4倍 b擴(kuò)大2倍 c保持不變 d縮小4倍3已知為銳角，則等于（ ）a b c d4如果等腰三角形的底角為，腰長為6，那么這個(gè)三角形的面積為（ ）a4.5 b

7、c d365中，則等于（ ）a b c d6.已知，則的度數(shù)為（ ）a b c d7.已知，則 ；若，則 ；若，則 ；8.某人沿傾斜角為的斜坡前行了100，則他上升的最大高度為 （精確到0.01）9計(jì)算： 10. 已知：如圖，在中，是高，求、（精確到1）（b層）1.要求的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進(jìn)行計(jì)算：作，使，斜邊，直角邊，那么，在此圖的基礎(chǔ)上，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，可求出的值，請(qǐng)簡要寫出你添加的輔助線和求出的值2.如圖，把矩形紙片放入平面直角坐標(biāo)系中，使、分別落在軸、軸上，連接，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)-6-銳角三角函數(shù)（4）一問題：如圖，要想使人安全地攀上斜靠

8、在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角一般要滿足，現(xiàn)有一個(gè)長的梯子，問：使用這個(gè)梯子最高可以攀上多高的墻（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？當(dāng)梯子底端距離墻面時(shí)，這個(gè)人是否能夠安全使用這個(gè)梯子？二解直角三角形：在中，由 得 或由 得三例題與練習(xí)：例題1：如圖，在中，解這個(gè)直角三角形.練習(xí)：如上圖，在中，解這個(gè)直角三角形.例題2：如圖，在中，解這個(gè)直角三角形（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.練習(xí)：如上圖，在中，解這個(gè)直角三角形（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.四課堂檢測(cè)：在中，、的對(duì)邊分別為、和，若，解這個(gè)直角三角形-7-五課后作業(yè)：1在中，、的對(duì)邊分別為、和，根據(jù)下列條件解直角三角形.， ， ，2在中，于點(diǎn)，且，若，

9、求的長 若=15，求的長3為了測(cè)量塔高，小龍?jiān)诰嗨闹行狞c(diǎn)50米的處，用測(cè)角器量得仰角為，已知測(cè)角器的高度為1.52米，求塔高的長.（精確到0.1米）4.如圖所示，在離鐵塔150米的處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂仰角，已知儀器高米，求鐵塔高.（精確到0.1米）5如圖所示，從某海島上的觀察所測(cè)得海上某船只的俯角為，若觀察所與海面的垂直高度米，求船只到觀察所的水平距離。（精確到0.1米）-8-銳角三角函數(shù)（5）一例題與練習(xí)：例題1：2003年10月15日“神舟”5號(hào)載人航天飛船發(fā)射成功.當(dāng)飛船完成變軌后，就在離地球表面350的圓形軌道運(yùn)行.如圖，當(dāng)飛船運(yùn)行到地球表面上點(diǎn)的正上方時(shí)，從飛船能直接看到的地球最遠(yuǎn)的

10、點(diǎn)在什么位置？這樣的最遠(yuǎn)點(diǎn)與點(diǎn)的路程是多少？（地球半徑約為6400，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）練習(xí)：如圖為半徑500圓形湖泊，在湖泊正東方的湖岸有一抽水房，在抽水房的正西方2000處的小明想到抽水房維修機(jī)器，請(qǐng)你在圖中畫出他走的最短路線，并求出最短路程是多少？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）例題2：熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為，看這棟高樓底部的俯角為，熱氣球與高樓的水平距離為120，求這棟高樓的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）練習(xí)：某塔上有一旗桿，由距40的處觀察旗桿頂部的仰角為，觀察旗桿底部的仰角為，求旗桿的高度. （結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）二課堂檢測(cè)：某校數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量學(xué)校（）的

11、高度，利用附近的一座古塔（）作為參照物，用測(cè)角儀在學(xué)校的底部處測(cè)得塔頂處的仰角，爬到樓頂?shù)奶帨y(cè)得塔頂處的仰角，已知學(xué)校到古塔的距離是120米，求學(xué)校的高度.（精確到0.1米）-9-三課后作業(yè)：1如圖，河旁有一座小山，從山頂處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)的俯角為，測(cè)得岸邊點(diǎn)的俯角為，又知河寬為50米.現(xiàn)需要從山頂?shù)胶訉?duì)岸拉一條筆直的纜繩，求纜繩的長（答案可帶根號(hào)）2某學(xué)校學(xué)生到旅順白云山游玩，同時(shí)對(duì)白云塔的高度進(jìn)行了測(cè)量.如圖，他們?cè)谔帨y(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋傧蛩姆较蛑毙?0步（1步=0.8）到達(dá)處，又測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，?qǐng)你用以上數(shù)據(jù)計(jì)算塔高（學(xué)生的身高忽略不計(jì)）3如圖所示為住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓，它們的高，兩幢樓間的

12、距離，現(xiàn)需要了解甲樓對(duì)乙樓采光的影響情況，當(dāng)太陽光線與水平線的夾角為36º時(shí)，求甲樓的影子在乙樓上有多高？（精確到0.1米）4如圖所示，某工程隊(duì)修建高速公路時(shí)，需要打通東西走向的穿山隧道，為了測(cè)得的長，工程隊(duì)在山的南面選取一點(diǎn)，用測(cè)量儀器測(cè)得，請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)求出的長.（精確到1米）5如圖所示，直升機(jī)在跨河大橋的上方點(diǎn)處.此時(shí)飛機(jī)離地面的高度，且、三點(diǎn)在同一直線上，測(cè)得大橋兩端的俯角分別為，求大橋的長（精確到0.1米）-10-銳角三角函數(shù)（6）一例題與練習(xí)：例題1：如圖，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔80海里的處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的南偏東方向的處，這時(shí)

13、海輪所在的處距離燈塔有多遠(yuǎn)？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）練習(xí)：如圖，海中有一個(gè)小島，它的周圍8海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點(diǎn)測(cè)得小島在北偏東方向上，航行12海里到達(dá)點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島在北偏東方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？例題2：如圖所示的梯形是水庫大壩的橫斷面圖形，斜坡的坡度，斜坡的坡度，壩頂，壩高為25.求大壩的下底寬（精確到0.1米）；求斜坡的坡角的度數(shù)（精確到分）.練習(xí)：如圖，攔水壩的橫截面為梯形，高，斜坡的坡度，斜坡的坡度.求坡角和；求斜坡的長（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）二課堂檢測(cè)：如圖所示的梯形是水庫大壩的橫斷面圖形，壩頂寬，斜坡，壩高8米，斜坡的坡度

14、，求壩底寬.（精確到0.1米）-11-三課后作業(yè)：1.某城市將地處、兩地的兩所大學(xué)合并成一所綜合性大學(xué)，為了方便兩地師生來往，學(xué)校準(zhǔn)備在相距的、兩地之間修建一條筆直的公路（如圖），經(jīng)測(cè)量在地北偏東方向、地北偏西的處有一個(gè)半徑為的公園.問計(jì)劃修建的公路能否穿過公園？2如圖，某處海面上，一艘軍艦正在基地的正東方向且距地40海里的處訓(xùn)練，突然接到基地命令，要該艦前往島，接送一名病重的漁民到基地醫(yī)院救治.已知島在的北偏東方向，且在的北偏西方向，軍艦從處出發(fā)，平均每小時(shí)行駛20海里，需要多長時(shí)間才能把患者送到基地醫(yī)院？（精確到0.1小時(shí)）3今年入夏以來，松花江哈爾濱段水位不斷下降，達(dá)到歷史最低水位。一條

15、船在松花江某水段自西向東沿直線航行，在處測(cè)得航標(biāo)在北偏東60º方向上，前進(jìn)100米到達(dá)處，又測(cè)得航標(biāo)在北偏東45º方向上。且知在以航標(biāo)為圓心，120米長半徑的圓形區(qū)內(nèi)有淺灘。如果這條船繼續(xù)前進(jìn)，是否有被淺灘阻礙的危險(xiǎn)？4如圖所示的燕尾槽的橫斷面是等腰梯形，其中的坡度為，外口寬毫米，燕尾槽的深度是毫米，求它的里口寬（精確到1毫米）。（b層）5如圖，在筆直的海岸線上有、三個(gè)碼頭，海中有一個(gè)小島，已知點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東的方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東的方向，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離為100，現(xiàn)有人在碼頭，有急事要到小島，現(xiàn)知道，船的速度為，車的速度為，為此有人設(shè)計(jì)了三種方案：方案一：由

16、碼頭直接坐船到小島方案二：由碼頭坐車到碼頭，再坐船到小島方案三：由碼頭坐車到碼頭，再坐船到小島假設(shè)途中周轉(zhuǎn)的時(shí)間忽略不計(jì)，請(qǐng)你通過計(jì)算說明哪種設(shè)計(jì)方案最好？-12-銳角三角函數(shù)（7）一測(cè)量高度的方案設(shè)計(jì)：1.可達(dá)到被測(cè)物體底部的方案：方案一：在有陽光的日子里，為旗桿的影子，然后豎直立起一根標(biāo)桿，為標(biāo)桿的影子.探究原理：光的特征（太陽光是平行光線） 相似三角形的特征.提供選用的測(cè)量工具有：皮尺 標(biāo)桿你需要得測(cè)此示意圖中哪些數(shù)據(jù)？并分別用、來表示測(cè)得數(shù)據(jù).寫出旗桿高度的計(jì)算式：= .方案二：將標(biāo)桿豎直立在地面上，人在所在直線上移動(dòng)，用視線使、三點(diǎn)在同一直線上.探究原理：光沿直線傳播 相似三角形的特

17、征.提供選用的測(cè)量工具有：皮尺 標(biāo)桿你需要得測(cè)此示意圖中哪些數(shù)據(jù)？并分別用、來表示測(cè)得數(shù)據(jù).寫出旗桿高度的計(jì)算式：= 方案三：在距旗桿一定距離的地面上放一個(gè)平面鏡，人在所在直線上移動(dòng)，直到恰好在鏡子里看見旗桿頂點(diǎn)為止.探究原理：光的反射定律 相似三角形的特征.提供選用的測(cè)量工具有：皮尺 平面鏡你需要得測(cè)此示意圖中哪些數(shù)據(jù)？并分別用、來表示測(cè)得數(shù)據(jù).寫出旗桿高度的計(jì)算式：= .方案四：將測(cè)角儀豎直立在地面上.提供選用的測(cè)量工具有：皮尺 測(cè)角儀寫出測(cè)量步驟.及你需要得測(cè)此示意圖中的數(shù)據(jù).并長度分別用、，角度用、來表示測(cè)得數(shù)據(jù).寫出旗桿高度的計(jì)算式：= .2.不可達(dá)到被測(cè)物體底部的方案：方案一：測(cè)量

18、工具有：皮尺 測(cè)角儀寫出測(cè)量步驟.及你需要得測(cè)此示意圖中的數(shù)據(jù).并長度分別用、，角度用、來表示測(cè)得數(shù)據(jù).寫出山的高度的計(jì)算式：= .-13-方案二.如圖，、是兩棟地平高度相等、隔岸相望的樓房，由于建筑物密集，在的周圍沒有開闊地帶，為了測(cè)量的高度，只能從分利用樓的空間，樓的各層都可到達(dá)并且都能看到，現(xiàn)僅有的測(cè)量工具為皮尺和測(cè)角器.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量樓高度的方案，要求寫出測(cè)量步驟和必須的測(cè)量數(shù)據(jù)（用字母表示），線段長用、表示，角用、表示，并畫出測(cè)量圖形.用你測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示）寫出計(jì)算樓高度的表達(dá)式.二測(cè)量寬度的方案設(shè)計(jì)：方案一：在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)，再在河的這一邊選點(diǎn)和，使，然后再選一

19、點(diǎn)，使，用視線確定和的交點(diǎn).提供選用的測(cè)量工具有：皮尺 教學(xué)用三角板 你需要得測(cè)此示意圖中哪些數(shù)據(jù)？并分別用、來表示測(cè)得數(shù)據(jù).寫出河寬的計(jì)算式：= 方案二：在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)，再在河的這一邊選點(diǎn)和，使得、三點(diǎn)在一條直線上，且與河岸垂直，然后確定一點(diǎn)，使，用視線確定與河岸的交點(diǎn).提供選用的測(cè)量工具有：皮尺 教學(xué)用三角板 你需要得測(cè)此示意圖中哪些數(shù)據(jù)？并分別用、來表示測(cè)得數(shù)據(jù).寫出河寬的計(jì)算式：= .方案三：如圖，為測(cè)量小河的寬度，先在河岸邊上任意取一點(diǎn)，再在河的另一岸取兩點(diǎn)、，測(cè)得，量得.求小河的寬度；請(qǐng)你再設(shè)計(jì)一種測(cè)量河寬度的方案，畫出設(shè)計(jì)草圖并作簡要說明.-14-銳角三角函數(shù)（單元

20、）例題：1如圖，某校學(xué)習(xí)小組進(jìn)行測(cè)量小山高度的實(shí)踐活動(dòng).部分學(xué)生在山腳點(diǎn)測(cè)得山腰上一點(diǎn)的仰角為，并測(cè)得的長為180米；另一部分同學(xué)在山頂點(diǎn)測(cè)得山腳點(diǎn)的俯角為，山腰點(diǎn)的俯角為，請(qǐng)你幫助他們計(jì)算出小山的高度.（結(jié)果保留根號(hào)）2如圖，小紅面對(duì)黑板坐在凳子上，若把黑板看成一個(gè)矩形，其上的一個(gè)字看作點(diǎn)，過點(diǎn)的該矩形的高為，把小紅的眼睛看作點(diǎn).現(xiàn)測(cè)得：，視線恰好與水平線平行，視線與的夾角為，視線與的夾角為.求與的長.（精確到0.1米）一選擇題：1在中，則的值為（ ）a b c d2若，則的值為（ ）a1 b c d3如圖，在把易拉罐中的水倒入一個(gè)圓水杯的過程中，若水杯中的水在點(diǎn)與易拉罐剛好接觸，則此時(shí)水杯

21、中的水深為（ ）a2 b4 c6 d84某人沿著傾斜角為的斜坡前進(jìn)了米，則他上升的高度為（ ）a米 b米 c米 d米5如圖，在中，則的長為（ ）a b c d6在中，斜邊是直角邊的4倍，則的值為（ ）a b c d7菱形的對(duì)角線，則的值為（ ）a b c d-15-8如圖的方格中，則與的正切值最接近的是（ ）a b c d二填空題：9如果是等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角，那么的值為 .10中，那么的長為 .11在中，的周長為60，那么的面積為 .12.若式子無意義，則的值為 .13一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為5和8，則這個(gè)等腰三角形底角的正弦值為 .14某人沿著山坡從山腳到山頂共走1000米，他上升的高

22、度為500米，則這個(gè)山坡的坡度為 .15如圖，四個(gè)邊長為的小正方形，則的值為 .16中，若，則的度數(shù)為_17一等腰三角形的兩邊長分別為4和6，則其底角的余弦值為_18 中，若的平分線長為，則 =_， =_19如圖，在中，則的長為_20中，若，則的長為_三解答題：21.計(jì)算下面各式： 22在銳角中，求：的值；的值23一次函數(shù)與軸、軸的交點(diǎn)分別為 、，若的周長為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值-16-24某片綠地的形狀如圖所示，其中，求、的長（精確到1）25某船以每小時(shí)36海里的速度向正東方向航行，在點(diǎn)測(cè)得某島在北偏東方向上，航行半小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得該島在北偏東方向上，已知該島周圍16海里內(nèi)有暗礁.試說明點(diǎn)是否在暗礁區(qū)域外？若繼續(xù)向東航行有無觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由.26如圖為某一風(fēng)景區(qū)的步行臺(tái)階，為了安全著想，準(zhǔn)備將臺(tái)階進(jìn)行改善，把傾角由減至，已知原臺(tái)階的長為5米（所在地面為水平面）改善后的臺(tái)階會(huì)加長多少？（精確