2020年高中數(shù)學(xué)第三章概率幾何概型的類型及解法知識(shí)素材北師大版必修3通用

1、幾何概型的類型及解法幾何概型是一種特殊的概率模型，下面結(jié)合例題介紹它的類型及其解題方法。一、與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型若一次試驗(yàn)中所有可能結(jié)果和某個(gè)事件a包含的結(jié)果（基本事件）都對(duì)應(yīng)一個(gè)長(zhǎng)度，如線段長(zhǎng)、時(shí)間區(qū)間、距離、路程等，那么需要求出各自相應(yīng)的長(zhǎng)度，然后運(yùn)用幾何概型的計(jì)算公式即可求出事件a發(fā)生的概率。例1 某人睡覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)鐘表停了，他打開(kāi)收音機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率。分析 假設(shè)他在060分鐘之間任何一個(gè)時(shí)刻打開(kāi)收音機(jī)是等可能的。因?yàn)殡娕_(tái)每隔1小時(shí)報(bào)時(shí)一次，他在哪個(gè)時(shí)間段打開(kāi)收音機(jī)的概率只與這時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān)，因此，需要求出各自相應(yīng)的時(shí)間“長(zhǎng)度”，然后用幾何概型公式求

2、解。解 設(shè)事件a等待時(shí)間不超過(guò)10分鐘，我們關(guān)心的事件a恰好是打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻位于50,60之間，它的區(qū)間長(zhǎng)度為10；電臺(tái)每隔1小時(shí)報(bào)時(shí)一次，它的區(qū)間長(zhǎng)度為60，由幾何概型的計(jì)算公式得。即“他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率”為。評(píng)注 解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是確定他在哪個(gè)時(shí)間段打開(kāi)收音機(jī)的概率只與這時(shí)間段的長(zhǎng)度有關(guān)，把它轉(zhuǎn)化為與“長(zhǎng)度”有關(guān)的幾何概型。二、與角有關(guān)的幾何概型若一次試驗(yàn)中所有可能結(jié)果和某個(gè)事件a包含的結(jié)果（基本事件）都對(duì)應(yīng)一個(gè)角，那么需要求出各自相應(yīng)的角度，然后運(yùn)用幾何概型的計(jì)算公式即可求出事件a發(fā)生的概率。圖1ato例 如圖1所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線落在的終邊上，任作一條射線，求射

3、線落在內(nèi)的概率。分析 過(guò)o作射線是隨機(jī)的，射線落在任何位置都是等可能的，落在內(nèi)的概率只與的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件。解 設(shè)事件a射線落在內(nèi)，事件a的“幾何度量”是，而坐標(biāo)平面的“幾何度量”為，所以由幾何概率公式，得。評(píng)注 解此題的關(guān)鍵是找到事件a射線落在內(nèi)的“幾何度量”是，以及坐標(biāo)平面的“幾何度量”為。三、與面積有關(guān)的幾何概型如果每個(gè)基本事件可以理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，某個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，且該區(qū)域中每一個(gè)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，這樣的概率模型就可以用幾何模型來(lái)解。并且，這里的區(qū)域可以用面積表示，然后利用幾何概型的公式求解。例3 兩人

4、約定在20：00到21：00之間相見(jiàn)，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離圖2o11去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20：00到21：00各時(shí)刻相見(jiàn)的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見(jiàn)的概率。分析 設(shè)兩人分別在時(shí)和時(shí)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)，要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)。兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的所有時(shí)刻（，）的可能結(jié)果可用圖2中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)表示，而兩人能在約定的時(shí)間內(nèi)相見(jiàn)的所有可能結(jié)果可用圖2中的陰影部分（包括邊界）表示，因此可求出兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見(jiàn)的概率。解 設(shè)兩人分別在時(shí)和時(shí)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)，要使兩人在能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)。如圖2所示，根據(jù)題意，得兩人在約定時(shí)間內(nèi)

5、相見(jiàn)的概率為。評(píng)注 解決此題的關(guān)鍵是將已知的兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化為線性的約束條件，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域中的面積型幾何概率問(wèn)題。四、與體積有關(guān)的幾何概型對(duì)于幾何概型，如果圖形與體積有關(guān)，只需把該試驗(yàn)的所有結(jié)果對(duì)應(yīng)體積求出，就可以利用幾何概型概率公式進(jìn)行計(jì)算。例4 在1l高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10ml，求含有麥銹病的種子的概率是多少？分析 病種子在這1l種子中的分布可以看做是隨機(jī)的，取得的10ml種子可看做構(gòu)成事件的區(qū)域，1l種子可看做試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，因此，可用“體積比”公式計(jì)算其概率。解 取出10ml種子，其中“含有病種子”這一事件記為a，則0.01.即含有麥銹病種子的概率為0.01.評(píng)注 解決此類實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)先根據(jù)題意確定試驗(yàn)為與體積有關(guān)的幾何概型，然后求出事件對(duì)應(yīng)的“幾何體”的“體積”，借助幾何概型的計(jì)算公式求出概率。幾何概型是一種特殊的概率模型，