全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題

1、競(jìng)賽目的：培養(yǎng)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力；培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)；培養(yǎng)新技術(shù)的應(yīng)用能力；培養(yǎng)團(tuán)體協(xié)作能力。競(jìng)賽的發(fā)展方向： 以競(jìng)賽促進(jìn)教學(xué)與科研；走向國(guó)際化。更注重現(xiàn)有知識(shí)的應(yīng)用于拓展。本題特點(diǎn)：?jiǎn)栴}條件不明確，比如：軌道形狀等任務(wù)少，且不明確所用數(shù)學(xué)知識(shí)較多不是優(yōu)化問(wèn)題，但包含優(yōu)化思想學(xué)生普遍做的不好全國(guó)參考評(píng)審建議結(jié)果不正確球面幾何問(wèn)題。全國(guó)評(píng)審建議（1） 關(guān)于橢圓軌道：數(shù)值尋優(yōu)（2） 關(guān)于地球自轉(zhuǎn) 參考建議不正確 正六邊形覆蓋。平面上是最優(yōu)的覆蓋方式，2005年研究生競(jìng)賽題：hoc網(wǎng)絡(luò) 蜂窩通訊 及94年本科生競(jìng)賽題無(wú)線電頻道分配。球面上未必如此，評(píng)審建議結(jié)果有錯(cuò)，不考慮邊界（應(yīng)為48正六邊形）評(píng)審建議的

2、具體算法（1） 求球帶的表面積（2） 每個(gè)測(cè)控站的測(cè)控范圍（球冠（3） 考慮測(cè)控范圍的重疊（球面正六邊形，球冠的0.827）（4） 考慮邊界論文處理一問(wèn)題描述 主要是用自己的語(yǔ)言請(qǐng)?jiān)搯?wèn)題的背景及需要解決的問(wèn)題以及自己打算怎樣來(lái)處理該問(wèn)題作簡(jiǎn)要介紹。二關(guān)于問(wèn)題一（20分）相關(guān)假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明模型一1.假設(shè)地球是球體，衛(wèi)星軌道是圓2.地球半徑為r，衛(wèi)星高度為h 一般結(jié)果：h 100200300342400500n241613121110或者給出不同n的h的范圍。模型二（15分） 1.假設(shè)地球是球體，衛(wèi)星軌道是橢圓2.地球半徑為r，衛(wèi)星高度近地點(diǎn)為h，遠(yuǎn)地點(diǎn)為h。衛(wèi)星軌道橢圓方程： 地球球面圓方程：

3、其中，?？紤]測(cè)控站i的位置及其測(cè)控軌道起點(diǎn)，測(cè)控終點(diǎn)向量： 與夾角，由夾角余弦公式得 令 易知， ，給出了測(cè)控站位置與測(cè)控臨界位置點(diǎn)的關(guān)系，給出了兩者中的一個(gè)就可以求出第二個(gè)。利用迭代法計(jì)算測(cè)控站個(gè)數(shù)n.流程如下：（1）給定，計(jì)算（2）令，計(jì)算 （3）當(dāng)時(shí)，迭代結(jié)束。（例對(duì)于神七，） （4）對(duì)數(shù)值尋優(yōu) 因?yàn)榻攸c(diǎn)必須被測(cè)控到，所以。將該區(qū)間等分若干份，取較優(yōu)的結(jié)果。 兩組較優(yōu)的結(jié)果,（，神七數(shù)據(jù)） 1. 共需14個(gè)測(cè)控站，其中最后兩個(gè)觀測(cè)站非常近，如果布置13個(gè)測(cè)控站只有較少軌道測(cè)控不到。 2. 共需14個(gè)測(cè)控站,其中第一個(gè)測(cè)控站測(cè)控范圍最大。三 關(guān)于第二問(wèn)考慮地球自轉(zhuǎn)（25分） 1.星下線方

4、程及其軌跡 分別考慮世界坐標(biāo)系及地球坐標(biāo)系，設(shè)地球自轉(zhuǎn)角速度為，衛(wèi)星角速度為。衛(wèi)星軌道所在的平面與平面夾角為坐標(biāo)變換公式為 設(shè)衛(wèi)星軌道參數(shù)方程為 則在地球坐標(biāo)系下的方程為 其在地球上的投影為（星下線參數(shù)方程）當(dāng)時(shí) 星下線為封閉曲線，周期為。否則為不封閉的，當(dāng)充分大時(shí)，充滿的地球帶狀區(qū)域，對(duì)應(yīng)測(cè)控范圍為球面帶狀范圍。 2.測(cè)控站個(gè)數(shù)上限估計(jì) 為了簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)測(cè)控站采取分緯度排列策略，考慮同緯度等距分布個(gè)測(cè)控站的情況，則相鄰測(cè)控站緯度改變?yōu)?。先考慮相鄰兩層的測(cè)控范圍，記 為相鄰測(cè)控站，其測(cè)控范圍分別為以為中心軸，半頂角為的正圓錐。記中心軸的兩圓錐交點(diǎn)在地球面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)為，則 。，記 （*）第層測(cè)控站測(cè)控范圍的最低緯度為。通過(guò)迭代便可以給出已知測(cè)控范圍的測(cè)控站個(gè)數(shù)。特別的，如果測(cè)控范圍為，則其數(shù)學(xué)模型為： 3. 關(guān)于神七的計(jì)算根據(jù)神七數(shù)據(jù)（，因?yàn)槊總€(gè)測(cè)控站測(cè)控的圓錐角為，因此。（1） 如果因?yàn)闇y(cè)控范圍是對(duì)稱區(qū)間，可以考慮測(cè)控站對(duì)稱分布，即第一層的測(cè)控站分布在赤道上。先考慮情況： 根據(jù)（*）式得到：，不能全范圍測(cè)控，因此全程測(cè)控需要的測(cè)控站數(shù)超過(guò)54個(gè)。（2） 如果 最優(yōu)解 其中可?。?）由第一問(wèn)知，所以當(dāng)。綜上，52個(gè)