第二章 彈性力學(xué)平面問題有限元法1

1、 唐文亭唐文亭 1338927295813389272958 2011.9 2011.9 內(nèi)容結(jié)構(gòu)內(nèi)容結(jié)構(gòu)第一章第一章 概述概述第六章第六章 軸對稱問題的有限單元法軸對稱問題的有限單元法第七章第七章 軟件介紹及計(jì)算示例軟件介紹及計(jì)算示例第五章第五章 空間問題的有限單元法空間問題的有限單元法第四章第四章 等參元等參元第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法F第二章第二章 彈性力學(xué)平面問題有限元法彈性力學(xué)平面問題有限元法有限元法的基本思想及優(yōu)越性有限元法的基本思想及優(yōu)越性在應(yīng)用有限元法時(shí)，我們首先將一個(gè)連續(xù)的彈性體看作由在應(yīng)用有限元法時(shí)，我們首先將一個(gè)連續(xù)的彈性體看作

2、由許多尺寸有限的小單元許多尺寸有限的小單元-有限元組成。有限元組成。 這就是所謂這就是所謂區(qū)域劃分區(qū)域劃分，在數(shù)學(xué)上稱為，在數(shù)學(xué)上稱為“離散化離散化”。2. 2. 根據(jù)計(jì)算對象的簡化模型，單元的形狀取成平面三角形根據(jù)計(jì)算對象的簡化模型，單元的形狀取成平面三角形或四邊形，四面體或六面體等。單元與單元之間，通過若或四邊形，四面體或六面體等。單元與單元之間，通過若干個(gè)稱為干個(gè)稱為“節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)”的點(diǎn)鉸接相連，由此組合成整體。的點(diǎn)鉸接相連，由此組合成整體。3. 3. 以一個(gè)個(gè)小單元為計(jì)算單位，首先進(jìn)行單元分析，然后以一個(gè)個(gè)小單元為計(jì)算單位，首先進(jìn)行單元分析，然后把它們組裝起來，進(jìn)行整體分析，最后求出結(jié)構(gòu)的

3、近似解。把它們組裝起來，進(jìn)行整體分析，最后求出結(jié)構(gòu)的近似解。這種把復(fù)雜結(jié)構(gòu)看成有限個(gè)單元組成的整體，就是有限元法的這種把復(fù)雜結(jié)構(gòu)看成有限個(gè)單元組成的整體，就是有限元法的基本思想基本思想。因此，有限元法是以變分原理和分片插值為基礎(chǔ)的。得到的是近似解。真實(shí)系統(tǒng)真實(shí)系統(tǒng)有限元模型有限元模型10節(jié)點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)：空間中的坐標(biāo)位置，具有一空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度和存在相互物理作用定自由度和存在相互物理作用單元單元: : 一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值矩陣描述數(shù)值矩陣描述( (稱為剛度或系數(shù)矩陣稱為剛度或系數(shù)矩陣) )單元有線、面或?qū)嶓w以及二維或三維單元有線、面或?qū)嶓w以及二維或

4、三維的單元等種類。的單元等種類。載荷載荷12節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn)單元類型單元類型變化的變化的JIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元三維桿單元 (鉸接鉸接)UX, UY, UZ三維梁單元三維梁單元二維或軸對稱實(shí)體單元二維或軸對稱實(shí)體單元UX, UY三維四邊形殼單元三維四邊形殼單元UX, UY, UZ,三維實(shí)體熱單元三維實(shí)體熱單元TEMPJPOMNKJIL三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元ROTX, ROTY, ROTZROTX, ROTY, ROTZUX, UY, UZ,UX, UY, UZ應(yīng)力計(jì)算方程求解整體分析區(qū)域 剖分 單元分析 嚴(yán)格地說，任何彈性體都是

5、處于三維受力狀態(tài)，因而都是空嚴(yán)格地說，任何彈性體都是處于三維受力狀態(tài)，因而都是空間 問 題 ， 但 是 在 一 定 條 件 下 ， 許 多 空 間 問間 問 題 ， 但 是 在 一 定 條 件 下 ， 許 多 空 間 問題都可以簡化成平面問題。題都可以簡化成平面問題。 平面問題可以分為兩類：平面問題可以分為兩類：平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題和和平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題。 平面問題應(yīng)力狀態(tài)2.1 2.1 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 平面應(yīng)力問題 如圖所示的深梁結(jié)構(gòu)，其厚度方向的尺寸遠(yuǎn)比其它兩個(gè)方向的如圖所示的深梁結(jié)構(gòu)，其厚度方向的尺寸遠(yuǎn)比其它兩個(gè)方向的尺寸小得多，可視為一薄

6、板。它只承受作用在其平面內(nèi)的載荷，且尺寸小得多，可視為一薄板。它只承受作用在其平面內(nèi)的載荷，且沿厚度方向不變，計(jì)算時(shí)以中性面為研究對象。其沿厚度方向不變，計(jì)算時(shí)以中性面為研究對象。其力學(xué)特點(diǎn)力學(xué)特點(diǎn)是：是：, 0, 0, 0zyyzzxxzz0z平面應(yīng)力問題的應(yīng)力應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣即彈性矩陣為：平面應(yīng)力問題的應(yīng)力應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣即彈性矩陣為：。 2100010112ED平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 圖示為一圓形涵洞的橫截面。其長度方圖示為一圓形涵洞的橫截面。其長度方向上的尺寸遠(yuǎn)比其它兩個(gè)方向上的尺寸大得向上的尺寸遠(yuǎn)比其它兩個(gè)方向上的尺寸大得多，同樣，載荷作用在多，同樣，

7、載荷作用在xy坐標(biāo)面內(nèi)，且沿坐標(biāo)面內(nèi)，且沿z軸軸方向均勻分布。其力學(xué)特點(diǎn)是：方向均勻分布。其力學(xué)特點(diǎn)是：0,0,0zxzyz但一般情況下: 0z平面應(yīng)變問題的彈性矩陣只需將式平面應(yīng)變問題的彈性矩陣只需將式(4-1)中的中的 E 換成換成 21E換成換成 ， 1即可。即可。 )1 (22100011011)21)(1 ()1 (uED。無論是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題的應(yīng)力無論是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題的應(yīng)力 與 應(yīng)變應(yīng)變 之間的關(guān)系均為： 0D Txyyx Txyyx其中其中： 0為初應(yīng)變。式中(a) 三結(jié)點(diǎn)三角形單元 (b) 四結(jié)點(diǎn)正方形單元 (c) 四結(jié)點(diǎn)矩形單元 (d) 四結(jié)點(diǎn)四邊

8、形單元平面問題單元的主要類型圖2-1剖分要一直進(jìn)行到彈性區(qū)域的邊界上剖分要一直進(jìn)行到彈性區(qū)域的邊界上 當(dāng)邊界是直線段時(shí)，就取其為三角形單元的一條邊；當(dāng)邊界是曲線時(shí)，則在每小段上用相應(yīng)的直線近似地代替曲線而作為三角形單元的一邊，如圖2-1單元的大小和數(shù)目要根據(jù)精度的要求和計(jì)算機(jī)容量來確定單元的大小和數(shù)目要根據(jù)精度的要求和計(jì)算機(jī)容量來確定。圖2-2a圖2-2b 具體進(jìn)行剖分時(shí)，一般應(yīng)注意以下幾點(diǎn)具體進(jìn)行剖分時(shí)，一般應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：圖2-3a圖2-3b圖2-4 (a) 均勻受力板力學(xué)模型 (b) 力學(xué)模型離散化平面問題有限單元法的計(jì)算力學(xué)模型( ,)iii x y(,)jjj xy(,)mmm xy

9、iuivmujumvjv圖2-5 jjjuv 對于平面問題，三個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移分別為： mmmuv iiiuv mvmuivjvjuiu(,)iii xy(,)jjj xy(,)mmm xy iiiejjjmmmuvuvuv(2 1) a123456uxyvxy126, b123123123iiijjjmmmuxyuxyuxy456456456iiijjjmmmvxyvxyvxy c123121212iijjmmiijjmmiijjmma uauaub ub ubuc uc ucu d456121212iijjmmiijjmmiijjmma vavavb vb vbvc vcvcv e,ijmmj

10、ijmijmjm iimjmijmimijjimijmijax yx ybyycxxax yxybyycxxaxyx ybyycxx(22)12jmijmijiimmjx yx yx yx yx yx y111211()21()2iijjmmijjiijmxyxyxyb cb caaa(23)111222111222i ijjm mi ijjm mi ijjm mi ij jm mi ij jm mi ij jm muauaua ububub uxcucuc uyvavava vbv bvb vxcvcvc vy (24)111222111222ijiiijjjmmmiiijmjjmmijmm

11、uabxc yab xc yab xc yvabuuuvvxc yab xc yab xc y v f121212eiiiiejjjjemmmmNab xc yNabxcyNabxcy(25)eeeiijjmmeeeiijjmmuN uN uN uvN vN vN v(26) 000000iieeejijmeeejijmmmuvuNNNufvNNNvuv 222eeeeijmI NI NI N21001I 222eeeeijmNI NI NI N111222111222iijjmmiijjmmiijjmmi ijjm mi ijjm mi ijjm muaua ua ubub ub uxcuc

12、 uc uyvava va vbvb vb vxcvc vc vy (24)(2-9a)由由(2-4)(2-4)式，即可得到用節(jié)點(diǎn)位移表示單元任一點(diǎn)的應(yīng)變表達(dá)式：式，即可得到用節(jié)點(diǎn)位移表示單元任一點(diǎn)的應(yīng)變表達(dá)式：1()21()21() () ()2xi ijjm myi ijjm mxyi ii ijjjjm mm mubub ub uxvcvc vc vyuvcubvc ub vc ub vyx00010002iijjmmuvbbbmxijucccymijvcbcbcbxymmiijjuveeg輊犏犏犏犏犏犏犏犏臌輊犏犏犏輊犏犏犏犏=犏犏D犏犏犏犏臌犏犏犏臌(2-9b)00010002iij

13、jmmuvbbbmxijucccymijvcbcbcbxymmiijjuveeg輊犏犏犏犏犏犏犏犏臌輊犏犏犏輊犏犏犏犏=犏犏D犏犏犏犏臌犏犏犏臌1()21()21() () ()2xi ijjm myi ijjm mxyi ii ijjjjm mm mubub ub uxvcvc vc vyuvcubvc ub vc ub vyx0001 0002bbbmijBcccmijcbcbcbmmiijj輊犏犏=犏D 犏犏犏臌(2-11)(2-10)稱為單元的稱為單元的應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣。3 3）節(jié)點(diǎn)位移）節(jié)點(diǎn)位移 e e和單元應(yīng)力分量和單元應(yīng)力分量 的關(guān)系的關(guān)系 由彈性力學(xué)已知，平面應(yīng)力情況下，由彈性

14、力學(xué)已知，平面應(yīng)力情況下， 應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系可表達(dá)為：可表達(dá)為：22()()(0)11xyxEExymmgmsee=+-22()()( 0)11xyEEyxymmgmsee-=+(0)(0)2( 1)xyxyExytgmee+=+1010210210 xyxyxyxyEemmssstmem g輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏輊犏犏犏犏犏犏犏犏輊犏犏犏犏犏犏犏犏臌犏臌=-=1010210210 xyxyxyxyEemmssstmem g輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏輊犏犏犏犏犏犏犏犏輊犏犏犏犏犏犏犏犏臌犏臌=-=22()()(0)11xyxEExymmgmsee=+-22()()( 0)1

15、1xyEEyxymmgmsee-=+(0)(0)2( 1)xyxyExytgmee+=+10 10211002EDmmmm輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌=-(2-13a)101( 1) 101( 1)( 1 2 )1 2002( 1)EDmmmmmmmmm輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌-=-+-( 2 13 )b- iiiUFV輊犏=犏犏臌jjjUFV輊犏=犏犏臌mmmUFV輊犏=犏犏臌0 xyijmiUmUjUiVjVmViiijejjmmmUVFUFFVFUV輊犏犏犏輊犏犏犏犏=犏犏犏犏犏犏臌犏犏犏臌(215)-111213141516212223242526313233343536414

16、24344454651525354555661iiijjmmiiijjmmjiijjmmjiijjmmmiijjmmmiUk uk vk uk vk uk vVk uk vk uk vk uk vUk uk vk uk vk uk vVk uk vk uk vk uk vUk uk vk uk vk uk vVk uk6263646566ijjmmvk uk vk uk v111213141516212223242526313233343536414243444546555152535456616263646566kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkUiViUjVjUmkkkkkk

17、kkkkkkVm輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏=uiviujvjumvm輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌( 2 16 )a-111213141516212223242526313233343536414243444546555152535456616263646566ekkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌輊犏臌= 稱為單元剛度矩陣單元剛度矩陣。11 112 123 124 135 136 1UkVkUkVkUkVk輊輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏

18、犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌臌=12311k41k31k21k61k51kijjikk 1 11 21 31 41 51 62 22 32 42 52 63 33 43 53 64 44 54 65 55 66 6ekkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌=對稱 (a) 實(shí)際力系 (b) 虛設(shè)位移彈性體虛功原理的應(yīng)用*uiviujvjumvmd輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌*=* *xyxyuxvyvuxyeeeg*輊犏犏輊犏犏犏犏= 犏犏犏犏犏犏抖犏犏臌+犏抖犏臌 *TeiiiijjjjmmmmuUvVu

19、UvVuUvVF( )a( )b*Txxyyxyxytdxdytdxdy ( )c *TTeFtdxdy( )d *()TeeTFBD Btdxdy *TTTeeFBD Btdxdy( ) e *TTTeeFBDBtdxdy( )f TeeFBDB tdxdy eeeFk TekBDB tdxdy( )g( )h(2 18 )adxdy 6 623 63 36 3000001001000004 ( 1)10 0020eiiiijjkjjmmmmbccbbbbmijbcEtcccmijcbcbcbcbmmi ijjbccbmmmm輊犏犏犏輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏輊犏犏犏犏臌犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌犏

20、犏犏犏臌輊犏犏=犏D -犏-犏臌(2 18 )b0 11,1 011 0 1,0 0 00 0 0,0 1 1ijmijmjmijmimijmijbyycxxbyycxxbyycxx 0001 0002bbbmijBcccmijcbcbcbmmiijj輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌=V101000010001110110輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌-=-101. 60. 40 100. 41. 60211000. 6002EDmmmm輊犏輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌犏犏臌=-1. 60. 40101000 0. 41. 60010001000. 6110110SD B輊輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏

21、犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌臌-=-1. 60. 41. 6000. 40. 41. 60. 4001. 60. 60. 600. 60. 60輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌-= -101011100000001010輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌-=1. 60. 41. 6000. 40. 41. 60. 4001. 60. 5 0. 40. 60. 600. 60. 60輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌-創(chuàng)-0.440.200.320.120.120.080.440.080.120.120.320.32000.320.120.1200.1200.32輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏

22、犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌-=圖( 2 9)-0. 1200. 120. 1200. 120. 320. 080. 320. 0800. 440. 200. 320. 120. 440. 080. 120. 3200. 12 ek輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌-=-答：,ijmmjijmijmjm iimjmijmimijjimijmijax yx ybyycxxax yxybyycxxaxyx ybyycxx kkkiiijimekkkkjijjjmkkkm mm im j輊輊輊輊犏犏犏犏犏犏犏犏臌臌犏犏臌犏犏輊輊輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌臌臌犏犏輊犏輊輊犏犏犏犏犏犏臌

23、犏臌犏犏臌臌=(219)-,2 224 (1)E tkrsm=-V2 211221122b bc cb cc brsr sr srsc bb cc cb brsr sr srsmmmmmm輊犏犏犏犏犏犏犏臌-+-+(), , ;, ,ri jm si jm=(220 )a-( 1)4( 1)( 12 )Etkrsmmm-=+-V1 21 22( 1)12( 1)1 21 212( 1)2( 1)r sr sr sr sr sr sr sr sb bc cb cc bc bb cc cb bmmmmmmmmmmmm輊-犏+犏-犏-+犏-犏臌(220 )b- 通常，我們總將集中力的作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)，

24、不需要移通常，我們總將集中力的作用點(diǎn)取為節(jié)點(diǎn)，不需要移置。置。 因此，下面只討論：因此，下面只討論： 體力和面力的移置體力和面力的移置mbbj13bcbi圖(211)-eiYejYemYeiY圖(211)-mjbieiY113eiWY 圖(211)-01eiWX 0eiX 圖(212)- TeeeeeeeiijjmmRXYXYXY0101013TW2ejqlR 2eiqlR 圖(213)-22eiejqlRqlRij2ejqlR 2ejqlR 圖(213)-0emR 01 1 022TTelqlRqq 0 02TeixiyjxjylRqqqqiq 202 1 066TTeiiiqllRqq 2

25、20 06TeixiyjxjylRqqqq3eiilRq6ejilRqiqiqjq26eiijlRqq26ejjilRqq0emR 2206TTeeeeijmijjilRRRRqqqq TeeeeeeeiijjmmRXYXYXY或?qū)懗煞至啃问剑夯驅(qū)懗煞至啃问剑?2) (2) (2) (2) 0 06Tixjxiyjyjxixjyiylqqqqqqqq 式中式中 分別是分別是 在在 x , y x , y 方向上的分量，其方向與方向上的分量，其方向與 x , y x , y 軸正向一致為正，反軸正向一致為正，反之為負(fù)。之為負(fù)。,ixiyjxjyqqqq,ijqqiqjq(2)6eiijlRqq(

26、2)6ejjilRqq2.3 2.3 整體分析整體分析1.1.基本方程基本方程 總剛度矩陣總剛度矩陣KK的形成的形成(1)(1)節(jié)點(diǎn)力的組合節(jié)點(diǎn)力的組合 以上我們分析了一個(gè)單元的情況，現(xiàn)在進(jìn)而研究單元以上我們分析了一個(gè)單元的情況，現(xiàn)在進(jìn)而研究單元的組合。為了說明問題，今選用一個(gè)包含的組合。為了說明問題，今選用一個(gè)包含9 9個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)8 8個(gè)單元個(gè)單元的平面問題來分析。如圖的平面問題來分析。如圖2-162-16所示，除所示，除1 1、3 3、7 7、9 9四個(gè)節(jié)四個(gè)節(jié)點(diǎn)外，其余五個(gè)節(jié)點(diǎn)均聯(lián)接著四個(gè)單元。點(diǎn)外，其余五個(gè)節(jié)點(diǎn)均聯(lián)接著四個(gè)單元。 對于聯(lián)結(jié)著對于聯(lián)結(jié)著 n n 個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的

27、位移當(dāng)個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移當(dāng)然涉及到然涉及到 n n 個(gè)單元，與節(jié)點(diǎn)位移相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力將是個(gè)單元，與節(jié)點(diǎn)位移相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力將是 n n 個(gè)單元的綜合效應(yīng)。個(gè)單元的綜合效應(yīng)。 如節(jié)點(diǎn)如節(jié)點(diǎn)5 5的位移涉及到的位移涉及到(2)(2)、(3)(3)、(6)(6)、(7)(7)單元。與單元。與節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)5 5相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力將與上述四個(gè)單元有關(guān)。相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力將與上述四個(gè)單元有關(guān)。 首先，我們按首先，我們按(2-16a)(2-16a)式逐個(gè)建立單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)式逐個(gè)建立單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。下面，選寫其中位移的關(guān)系。下面，選寫其中(2)(2)、(3)(3)、(6)(6)、(7)(7)四個(gè)四個(gè)單元。單

28、元。對于單元對于單元(2)(2)，節(jié)點(diǎn)編號，節(jié)點(diǎn)編號2 2、5 5 、4 493949399, 1334393, 10373824344494, 1047482510, 310, 410, 910, 1010, 710, 847374797, 10777848384898, 108787809985kkkkkkUkkkkkkUkkkkkkVVkkkkkkUkkkkkkVkkkkkk輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌=225544uvuvuv輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏對于單元對于單元(3)(3)，節(jié)點(diǎn)編號，節(jié)點(diǎn)編號2 2，6 6，5 533343, 1

29、13, 12393, 10243444, 114, 12494, 10211, 311, 411, 1111, 1211, 911, 106612, 312, 412, 1112, 1212, 912, 10593949, 119, 12999, 10510kkkkkkUkkkkkkVkkkkkkUVkkkkkkUkkkkkkVk輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌=226655, 310, 410, 1110, 1210, 910, 10uvuvuvkkkkk輊犏犏犏犏輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌犏犏犏犏犏臌對于單元對于單元(6),(6)

30、,節(jié)點(diǎn)編號節(jié)點(diǎn)編號4 4，5 5，8 87778797, 107, 157, 1648788898, 108, 158, 1649798999, 109, 159, 165510, 710, 810, 910, 1010, 1510, 16815, 715, 815, 915, 1015, 1515, 16816kkkkkkUkkkkkkVkkkkkkUVkkkkkkUkkkkkkVk輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌=445588, 716, 816, 916, 1016, 1516, 16uvuvuvkkkkk輊犏犏犏犏輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏

31、犏犏犏犏犏犏臌犏犏犏犏犏臌對于單元對于單元(7),(7),節(jié)點(diǎn)編號節(jié)點(diǎn)編號5 5，6 6，8 8999, 109, 119, 129, 159, 16510, 910, 1010, 1110, 1210, 1510, 16511, 911, 1011, 1111, 1211, 1511, 166612, 912, 1012, 1112, 1212, 1512, 16815, 9158kkkkkkUkkkkkkVkkkkkkUVkkkkkkUkkV輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌=55668, 1015, 1115, 1215, 1515, 16816, 916, 1016, 11

32、16, 1216, 1516, 16uvuvukkkkvkkkkkk輊犏犏犏犏輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌犏犏犏犏犏臌 同樣可寫出同樣可寫出(1)(1)、(4)(4)、(5)(5)、(8)(8)單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。點(diǎn)位移的關(guān)系。( (學(xué)習(xí)者可自己完成）。學(xué)習(xí)者可自己完成）。 對于第對于第5 5個(gè)節(jié)點(diǎn)，其個(gè)節(jié)點(diǎn)，其X X方向的節(jié)點(diǎn)力方向的節(jié)點(diǎn)力 即即: : U5=U5(2)+ U5(3)+ U5(6)+ U5(7) 4551eUU=999793949,10989,119993949,129,109,99,1597989,109

33、,169(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)5225544(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)5226655(6)(6)(6)(6)(6)(6)(6)5445588(7)5UkukvkukvkukvUkukvkukvkukvUkukvkukvkukvUk9,119,1599,109,129,16(7)(7)(7)(7)(7)(7)556688ukvkukvkukv( )b( )a將上式代入將上式代入(a)(a)939394949797989899999,9999,109,109,109,109,119,119,129,129,15(2)(3)(2)(3)522(2)(6)(2)(6

34、)44(2)(3)(6)(7)(2)(3)(6)(7)55(3)(7)(3)(7)66(6()()()()()()()()(Ukkukkvkkukkvkkkkukkkkvkkukkvk9,159,169,16)(7)(6)(7)889329429749849959,1059,1169,1269,1589,168)()kukkvK uKvKuKvKuKvKuKvKuKv式中式中: :939394949797989899999,9999,109,109,109,109,119,119,129,12(2)(3)93(2)(3)94(2)(6)97(2)(6)98(2)(3)(6)(7)99(2)(3

35、)(6)(7)9,10(3)(7)9,11(3)(9,12()()()()()()()(KkkKkkKkkKkkKkkkkKkkkkKkkKkk9,159,159,169,167)(6)(7)9,15(6)(7)9,16)()()KkkKkk所以式中的所以式中的eijijKk1111213141718121222324272823132333435363738393,103,113,1223344556677889900000000000000000000000000000UKKKKKKVKKKKKKUKKKKKKKKKKKKVUVUVUVUVUVUVUV4142434445464748494

36、,104,114,12535455565,115,12636465666,116,12717273747778797,107,137,147,157,16818283848788898,1000000000000000000000000000000000000000000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK8,138,148,158,1693949798999,109,119,129,159,1610,310,410,710,810,910,1010,1110,1210,1510,1611,311,411,511,611,911,1011,

37、1111,1211,1511,1611,17000000000000000000000000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK11,1812,312,412,512,612,912,1012,1112,1212,1512,1612,1712,1813,713,813,1313,1413,1513,1614,714,814,1314,1414,1514,1615,715,815,915,1015000000000000000000000000000000000000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK,1115,1215,1315,141

38、5,1515,1615,1715,1816,716,816,916,1016,1116,1216,1316,1416, 1516,1616,1716,1817,1117,1217,1517,1617,1717,1818,1118,1218,151000000000000000000000000000000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK112233445566778898,1618,1718,189uvuvuvuvuvuvuvuvuKKv . . . .111213141, 21. . . .212223242, 22. . . .313233343, 2341424

39、5212KKKKKnFKKKKKnFKKKKKFnKKFFFnFn輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌=-MM. . . .43444, 2. . . .515253545, 2. . . . .21, 121, 2. . . .2 , 12 , 22 , 32 , 42 , 2KKKnKKKKKnKKnnnKKKKKnnnnn n輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌-MM12.2nddd輊犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌上式可簡寫成： F F=K K式中K K稱為總剛度矩陣。它是一個(gè)對

40、稱正定陣(其對角線上各元素為正值，且有元素Kij=Kji)?？倓偠染仃囉蓡卧獎偠染仃?yán)奂佣?，每個(gè)單元剛度矩陣對總剛度矩陣都有一定貢獻(xiàn)。 K K=k ke (221)- 假定結(jié)構(gòu)離散化后有 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)方程。因此總剛度矩陣為 (2n x 2n)的矩陣。 可將單元剛度矩陣用補(bǔ)零的方法由6x6擴(kuò)大到(2n x 2n) 的方陣(圖中虛點(diǎn)上的元素均為0） 如圖所示，則單元剛度矩陣中各元素在總剛度矩陣中的位置即可確定。 例如將第3單元剛度矩陣中的元素填入總剛度矩陣（亦即將該單元剛度矩陣用補(bǔ)零的方法擴(kuò)大成總剛度矩陣）33343, 113, 12393, 1043444, 114, 12494

41、, 1011, 311, 411, 1111, 1211, 911, 1012, 312, 412, 1112, 1212, 912, 1093949, 119, 12999, 1010, 310, 410, 1110, 1210, 910, 10kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk輊犏犏犏犏臌21,2121,221,2121,221,2121,22 ,212 ,22 ,212 ,22 ,212 ,221,2121,221,2121,221,2121,22 ,212 ,212 ,21iiiiijijimimiiiiijijimimjijijjjjjmjmji

42、jijjkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2 ,22 ,212 ,221,2121,221,2121,221,2121,22,212,22,212,22,212,2jjjmjmmimimjmjmmmmmimimjmjmmmmkkkkkkkkkkkkkkijijmm 在計(jì)算程序編制中，我們的做法是先都按局部編碼，使用同一過程體算出各單元的剛度矩陣；然后轉(zhuǎn)換成總體編碼，最后將相同編碼的元素合并成總剛度矩陣中的元素。轉(zhuǎn)換過程示意如下：111213212223313233eeeeeeeeekkkkkkkkkeeeiiijimeeejijjjmeeemimjmmkkkkkkkkkiiijimj

43、ijjjmmimjmmikkkjkkkmkkk局部編碼局部編碼編碼轉(zhuǎn)換編碼轉(zhuǎn)換總體編碼總體編碼相相同同編編碼碼合合并并形成總剛度矩陣系數(shù)形成總剛度矩陣系數(shù)ijm(2)節(jié)點(diǎn)載荷組合 當(dāng)進(jìn)行單元組合時(shí)，除了考慮節(jié)點(diǎn)力的組合外，同時(shí)還應(yīng)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)載荷的組合。 設(shè)結(jié)構(gòu)上的載荷（如體力、面力、集中力等）均已移置到節(jié)點(diǎn)上，則單元節(jié)點(diǎn)載荷列陣為：YmeXmeYieXieXjeYje 圖2-17xy eieeiieejjeejmememXYRXRRYRXY對于聯(lián)結(jié)著兩個(gè)以上單元的節(jié)點(diǎn)，把相同方向上的載荷迭加起來，顯然有：eiieXXeiieYY這就是該節(jié)點(diǎn)載荷在x和y方向的兩個(gè)分量。（ 表示對環(huán)繞節(jié)點(diǎn)i的單元求

44、和）若各節(jié)點(diǎn)上的Xi和Yi（i=1，2，3n）均已經(jīng)求出，并按節(jié)點(diǎn)編碼的順序排列起來，就得到彈性體總的節(jié)點(diǎn)載荷列陣： 12321122.TTnTnnRRRRRXYXYXY(222)-(3)平衡方程 在求得了節(jié)點(diǎn)外力矩陣以后，我們就可以寫出位移法中位移分量必須滿足的平衡條件。在有限元法中，也就是節(jié)點(diǎn)位移必須滿足的節(jié)點(diǎn)平衡條件。 根據(jù)公式（2-21）和（2-22），表示所有節(jié)點(diǎn)內(nèi)力與外力平衡的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： FKR通常寫成： 等式右端為總節(jié)點(diǎn)載荷列陣，當(dāng)彈性體上的外載荷確定時(shí)，它是已知的； 總剛度矩陣K由單元剛度矩陣ke集合而成。因此，式（2-23a）是一個(gè)以 為未知量，以K為系數(shù)的線性代數(shù)方程組

45、，這是有限元法的基本方程。 KR(223 )a-其矩陣展開式為：11121,21121222,2112 ,12 ,22 ,2.nnnnnnnnkkkuxkkkvykkkvy 順便提一下，為了編程方便，對各矩陣元素的下標(biāo)，均按其所在位置標(biāo)定：11121,21121222,2222 ,12 ,22 ,222.nnnnnnnnkkkRkkkRkkkR即 為節(jié)點(diǎn)1，x方向的位移u1， 為節(jié)點(diǎn)1，y 方向位移v1 ,.余此類推。 R1為節(jié)點(diǎn)1，x方向的節(jié)點(diǎn)載荷x1， R2為節(jié)點(diǎn)1，y方向的節(jié)點(diǎn)載荷y1,.余此類推。1221112211.TTnnTTnnuvvRRRxyy式中122.關(guān)于總剛度矩陣的性質(zhì)和

46、常用的存貯方法： 在有限元法中，結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的性質(zhì)和常用的存貯方法： 在有限元法中，結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的階數(shù)為節(jié)點(diǎn)總數(shù)和自由度數(shù)的乘積。 如平面問題，自由度為2，若有 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)，則總剛度矩陣為:(2n x 2n) 階。 若一個(gè)具有200個(gè)節(jié)點(diǎn)的小型平面問題，其總剛度矩陣的元素就有400 x400=160000個(gè)，為一般中小型電子計(jì)算機(jī)的內(nèi)存容量所不允許的。因此，如何縮小總剛度矩陣所需的存貯單元，是有限元法程序編制中一個(gè)需要考慮的突出問題。我們可以根據(jù)總剛度矩陣的某些特性，尋求節(jié)省存貯量的途徑。1)總剛度矩陣是對稱陣。 利用對稱性，我們只需要存貯總剛度矩陣的上三角形部分（或下三角形部分）中的元素

47、。2)當(dāng)合理編排節(jié)點(diǎn)編碼時(shí)，總剛度矩陣可呈帶狀的稀疏陣。其中有不少元素為零，而非零元素對稱地分布于主對角線的兩旁，形成一帶狀陣。下面介紹兩種常見的壓縮存貯方法：(1)半寬帶存放： 仍以圖2-16為例，分析與該圖相應(yīng)的總剛度矩陣，其元素的分布表示于圖2-18中1111213141718121222324272823132333435363738393,103,113,1223344556677889900000000000000000000000000000UKKKKKKVKKKKKKUKKKKKKKKKKKKVUVUVUVUVUVUVUV4142434445464748494,104,114,

48、12535455565,115,12636465666,116,12717273747778797,107,137,147,157,16818283848788898,1000000000000000000000000000000000000000000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK8,138,148,158,1693949798999,109,119,129,159,1610,310,410,710,810,910,1010,1110,1210,1510,1611,311,411,511,611,911,1011,1111,1211

49、,1511,1611,17000000000000000000000000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK11,1812,312,412,512,612,912,1012,1112,1212,1512,1612,1712,1813,713,813,1313,1413,1513,1614,714,814,1314,1414,1514,1615,715,815,915,1015000000000000000000000000000000000000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK,1115,1215,1315,1415,1515,16

50、15,1715,1816,716,816,916,1016,1116,1216,1316,1416,1516,1616,1716,1817,1117,1217,1517,1617,1717,1818,1118,1218,151000000000000000000000000000000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK12345678910111213141516178,1618,1718,1818KK 當(dāng)把對角線向右平移到第十個(gè)元素時(shí)，剩下的就全部是零元素了。 這是因?yàn)楣?jié)點(diǎn)編排時(shí)，就一個(gè)單元而言，節(jié)點(diǎn)編碼最大相差五個(gè)號碼，而每個(gè)節(jié)點(diǎn)又有兩個(gè)方向的位移所致。 我們把自對

51、角線開始向右側(cè)平移至最后一根帶有非零元素的斜線為止，兩線之間一行內(nèi)包含的元素個(gè)數(shù)（包括兩線之間的零元素）稱為最大半帶寬。 而剛度矩陣中每一行的半帶寬均取決于一個(gè)單元中節(jié)點(diǎn)編號差和節(jié)點(diǎn)的自由度（即有幾個(gè)方向的位移）。 如以NBD表示最大半帶寬，以d來表示各單元中最大節(jié)點(diǎn)差值。（對于三角形單元，也就是相鄰節(jié)點(diǎn)編號的最大差值），則對具有兩個(gè)自由度的平面問題，最大半帶寬的計(jì)算公式為：NBD=（d+1）x2 對于以上所述的這樣一個(gè)對稱的，具有NBD半帶寬的總剛度矩陣，由于它在半帶寬以外有許多零元素，而對角線一側(cè)的元素又和另一側(cè)元素對稱相同，因此為了節(jié)省計(jì)算機(jī)內(nèi)存，可以采用長方形壓縮存儲法只將半帶寬內(nèi)的元

52、素存放起來，如圖（2-18b）所示，這種存貯總剛度矩陣的方法也稱為“半帶寬存貯”或“等帶寬存貯”。 圖2-181112131417182223242728333435363738393,103,113,124445464748494,104,114,1255565,115,12666,116,127778797,100000000000000000000000000000000000000000000000000000000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK07,137,147,157,1688898,108,138,148,158,16999,

53、109,119,129,159,1610,1010,1110,1210,1510,1611 ,1111 ,1211 ,1511 ,1611 ,1711 ,1812,1212,1512,1612,1712,1813,00000000000000000000KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK1313,1413,1513,1614,1414,1514,1615,1515,1615,1715,1816,1616,1716,1817,1717,1818,180000KKKKKKKKKKKKKKKK KSK (a) (b) 如節(jié)點(diǎn)總數(shù)為n，而每一節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)方程，則方程總數(shù)

54、為：NEQ=2n 我們可以用一個(gè)兩維數(shù)組SK1：NEQ;1：NBD即圖（2-18b）來存放總剛度矩陣中必須保存的元素。總剛度矩陣K和長方形壓縮存貯的數(shù)組SK之間有如下的對應(yīng)關(guān)系：矩陣K數(shù)組SK對角線第一列r行r行r行s列元素r行(s-r+1)列元素由K形成SK時(shí)，元素的行號相同。新的列號等于原先的列號減去行號加1，即:新列號=原列號-行號+1 為了節(jié)約內(nèi)存，我們力求減小半帶寬NBD，這就是要求在編排節(jié)點(diǎn)號碼時(shí)，應(yīng)使相鄰節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)差值d盡可能小。 SK右下角三角塊中的元素不和K中的任何元素對應(yīng)，那些元素應(yīng)是零。(224)- 考慮到總剛度矩陣K中各行的半帶寬并不相同，有時(shí)，由于結(jié)構(gòu)幾何形狀等原因，

55、某些行的半帶寬特別大，而其它行又較小，這種情況下如以NBD為半帶寬（即等帶寬）存貯，就可能把許多零元素也存貯起來，這對節(jié)省計(jì)算機(jī)存儲量來說是不利的。(2)一維壓縮存貯法一維壓縮存貯法是將總剛度矩陣K的下三角形中每一行從第一個(gè)非零元素開始，逐行存放入一維數(shù)組K1：S中，S是元素的總個(gè)數(shù)）舉例如下，設(shè)有一對稱正定陣：534603007200008009008對稱在一維數(shù)組K1：13中依次存放為： 5，3，4，6，0，3，7，2，8，9，0，0，8共13個(gè)數(shù)。 但是，僅使用這樣一個(gè)一維數(shù)組并不能將元素在K中的位置確定下來。 為此，還須將主對角線上的元素在一維壓縮存貯中的序號用另一個(gè)一維數(shù)組N1：2n

56、0存放起來（n0是節(jié)點(diǎn)總數(shù)）。如對于上述矩陣數(shù)組N1：6中存放的是：1，3，6，8，9，13 即指出，在一維數(shù)組K1：13中，第1，第3，第6.個(gè)元素是對角元，顯然，這兩個(gè)數(shù)組完全確定了各元素在K中的位置。2.4 2.4 方程求解方程求解1.引入位移約束條件 上一節(jié)，我們建立了有限元法的基本方程式： 有了這個(gè)方程還不能立即求解節(jié)點(diǎn)位移，因?yàn)榈浆F(xiàn)在為止，我們還沒有考慮到彈性體的幾何邊界條件，即邊界位移的約束條件. KR 很明顯，如彈性體的邊界沒有位移約束，則在外載荷的作用下，它將有產(chǎn)生剛體運(yùn)動的可能性，反映在基本方程上，其系數(shù)矩陣K將是一個(gè)奇異陣（對應(yīng)的行列式的值等于零）。逆矩陣不存在，方程將具

57、有不定解。 在進(jìn)行應(yīng)力分析時(shí)，為了使解具有唯一性（即排除剛體運(yùn)動），必須根據(jù)彈性體具體的邊界位移約束條件，對基本方程加以處理，方能求解。1）引入約束條件的原因（1）結(jié)構(gòu)實(shí)際上可能存在若干約束條件。它們應(yīng)該加以考慮，否則計(jì)算的結(jié)果將與實(shí)際不符。如一端固定，一端鉸支的靜不定梁，如圖2-19所示。 圖2-19節(jié)點(diǎn)1，2，3及15既不允許有x方向的位移也不允許有y方向的位移。(2)有些約束是由于考慮到結(jié)構(gòu)和載荷的對稱性（或反對稱性）可取其中一部分作為計(jì)算對象而附加的。如圖2-20所示一對角受壓的方形薄板。 圖2-20 由于結(jié)構(gòu)和載荷的均對稱，可以只計(jì)算薄板的四分之一。 圖2-20b因?yàn)樽冃螌ΨQ于對角線

58、，水平對角線nn上不可能有y方向的位移，所以附加的約束條件應(yīng)是： （節(jié)點(diǎn)4，5，6為垂直的可動鉸支座）；4560vvv 垂直對角線mm不可能有x方向的位移，所以附加的約束條件應(yīng)是: （節(jié)點(diǎn)1，2，4為水平的可動鉸支座），薄板的中心點(diǎn)O，任何方向的位移均為零，故節(jié)點(diǎn)4處為固定鉸支座。1240uuu2）引入約束條件的處理： （1）零位移約束條件的處理 舉例說明，對于在剖分后有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的彈性體，假定第n個(gè)節(jié)點(diǎn)處有約束，其位移為零， 即： un=0 vn=0此外，還已知第（n-1）個(gè)節(jié)點(diǎn)沿y軸方向有約束，其y方向位移為零， 即： vn-1=0 （這對平面問題來說，是不產(chǎn)生剛體運(yùn)動的最低限度的邊界位移約

59、束條件）。則應(yīng)對基本方程作這樣的處理： 把剛度矩陣K的最后三行和最后三列劃去，得到一個(gè)（2n-3）階的方陣 ，稱為總剛度矩陣的縮聚或降階。研究表明，降階以后的總剛度矩陣K是一個(gè)非奇異的對稱正定矩陣。 相應(yīng)地，分別將節(jié)點(diǎn)位移列陣和節(jié)點(diǎn)載荷列陣R的最后三行劃去，得到（2n-3）維列陣 和 。 這樣，經(jīng)過零位移邊界條件處理后的基本方程就成為: KRK R(225)- 這樣得到的結(jié)果，不但滿足平衡條件和相容條件，而且滿足全部邊界條件，按上面的假定及處理方法，方程的具體形式是：11121,231121222,232223,123,223,232323.nnnnnnnnkkkRkkkRkkkR式中Kij是

60、第i行，j列的元素。 如果零位移的節(jié)點(diǎn)編號不在最后而在中間，也可以用同樣的方法劃去想相應(yīng)的行和列，而得到降階后的式（2-25）： KR 但是在計(jì)算機(jī)的計(jì)算程序中，我們采用的方法是使總剛度矩陣K中要劃去的行和列除對角線元素充成1以外，其余的元素均充成零。 如此得到的矩陣不降階，仍為2n階方陣，記為 ，并且也是一個(gè)非奇異的對稱正定矩陣。 與此同時(shí)，將節(jié)點(diǎn)載荷列陣中相應(yīng)的元素也充成零，如此得到的2n維列陣記為 ,因而基本方程就變?yōu)椋?R KR（2-26）K 式中 為包含所有節(jié)點(diǎn)位移的列陣。顯然，在求解式（2-26）時(shí)，原來節(jié)點(diǎn)位移為零的仍保持為零。式（2-26）與式（2-25）實(shí)際上是等價(jià)的。 按前