傳熱學(xué)-chap4 導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法

1、傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer第四章第四章 導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法 內(nèi)容簡介：內(nèi)容簡介： 本章介紹了數(shù)值求解物理問題的基本思想，以本章介紹了數(shù)值求解物理問題的基本思想，以二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題和和一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例，介紹了為例，介紹了采用有限差分法數(shù)值求解導(dǎo)熱問題的基本過程。采用有限差分法數(shù)值求解導(dǎo)熱問題的基本過程。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握從能量守恒定律出發(fā)建立離散方程的方法掌握從能量守恒定律出發(fā)建立離散方程的方法 代數(shù)方程的迭代求解方法代數(shù)方程的迭代求解方法 傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Tran

2、sfer4-1 數(shù)值求解的基本思想數(shù)值求解的基本思想 一、基本思想一、基本思想 分析解：分析解： 對(duì)導(dǎo)熱微分方程在定解條件下的對(duì)導(dǎo)熱微分方程在定解條件下的積分積分求解求解 數(shù)值解：數(shù)值解： 用求解區(qū)域上空間、時(shí)間坐標(biāo)系中的離用求解區(qū)域上空間、時(shí)間坐標(biāo)系中的離散點(diǎn)的溫度分布代替連續(xù)的溫度場(chǎng)，用大量的代散點(diǎn)的溫度分布代替連續(xù)的溫度場(chǎng)，用大量的代數(shù)方程代替微分方程數(shù)方程代替微分方程 離散離散 連續(xù)連續(xù)代數(shù)方程代數(shù)方程 微分方程微分方程傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer),(zyxft 傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer2.2.比較比較

3、分析解分析解(3)(3)分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見(1)(1)能獲得研究問題的能獲得研究問題的精確解精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算提供比較依據(jù)算提供比較依據(jù) (2)(2)局限性很大，對(duì)局限性很大，對(duì)復(fù)雜問題復(fù)雜問題無法求解無法求解 數(shù)值解數(shù)值解(2)(2) 彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對(duì)于復(fù)雜彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對(duì)于復(fù)雜問題更顯其優(yōu)越性，原則上可以求解一切導(dǎo)熱問題問題更顯其優(yōu)越性，原則上可以求解一切導(dǎo)熱問題. . 2D, ,3D, ,復(fù)雜幾何形狀，復(fù)雜復(fù)雜幾何形狀，復(fù)雜BC，物性不均勻等，物性不均勻等

4、(1) (1)近似解近似解(3)(3) 與實(shí)驗(yàn)法相比成本低與實(shí)驗(yàn)法相比成本低傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer二、基本步驟二、基本步驟 傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transferyx0HWh,tf q=0h,tf q=0物理問題：物理問題：2D, 矩形域矩形域, 穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài), 無內(nèi)熱源，常物性無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題的導(dǎo)熱問題, IIBC & IIIBC傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer數(shù)學(xué)描寫數(shù)學(xué)描寫22220ttxy0 xHx ()fth ttx0yWy )(ftthyt0tx0ty傳熱學(xué)傳熱學(xué)

5、 Heat TransferHeat Transfer將求解區(qū)域按照一定規(guī)則劃分為許多小區(qū)域，這個(gè)將求解區(qū)域按照一定規(guī)則劃分為許多小區(qū)域，這個(gè)過程稱作區(qū)域離散。每個(gè)小的區(qū)域過程稱作區(qū)域離散。每個(gè)小的區(qū)域( (控制容積控制容積, ,CV) )的物理量值由一個(gè)點(diǎn)的物理量值由一個(gè)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)來表示來表示區(qū)域離散區(qū)域離散xymnxyMN傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer 每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都與它相鄰的節(jié)點(diǎn)存在一定的關(guān)系，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都與它相鄰的節(jié)點(diǎn)存在一定的關(guān)系，通過相應(yīng)的物理定律，可建立它們之間的關(guān)系式（代通過相應(yīng)的物理定律，可建立它們之間的關(guān)系式（代數(shù)方程式），此關(guān)系式又稱作節(jié)

6、點(diǎn)的離散方程。數(shù)方程式），此關(guān)系式又稱作節(jié)點(diǎn)的離散方程。 建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程 (m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1),1,1,1,114m nmnmnm nm nttttt2,1mM2,1nN傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer 把所有節(jié)點(diǎn)的離散方程聯(lián)立起來，會(huì)組成一個(gè)把所有節(jié)點(diǎn)的離散方程聯(lián)立起來，會(huì)組成一個(gè)封閉的方程組，對(duì)代數(shù)方程組的求解可采用封閉的方程組，對(duì)代數(shù)方程組的求解可采用直接解直接解法法或或迭代迭代求解，更多的是采用迭代解法。求解，更多的是采用迭代解法。 求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組傳熱學(xué)傳熱學(xué)

7、 Heat TransferHeat Transfer1.1.推導(dǎo)推導(dǎo)三、獲得離散方程的三、獲得離散方程的Taylor展開法展開法2222,0m nm nttxy假定滿足連續(xù)性條件，都可作假定滿足連續(xù)性條件，都可作Taylor展開展開! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer兩式左右兩邊分別相加，得到二階導(dǎo)數(shù)的兩式左右兩邊分別相加，得到二階導(dǎo)數(shù)的中心差分中心差分表表達(dá)式達(dá)式)(222, 1, 1,22xoxtttxtnm

8、nmnmnm截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差未明確寫出的級(jí)數(shù)余項(xiàng)中未明確寫出的級(jí)數(shù)余項(xiàng)中的的x的最低階數(shù)為的最低階數(shù)為2 2)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm1,1,1,122220mnm nmnm nm nm nttttttxy,1,1,1,114m nmnmnm nm nttttt如果如果x= y傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer2.2.注意注意數(shù)值解是一種近似解數(shù)值解是一種近似解各階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式分子各項(xiàng)系數(shù)代數(shù)和為零各階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式分子各項(xiàng)系數(shù)代數(shù)和為零傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer四、熱平衡法四、熱平衡法

9、2. 2.依據(jù)定律：依據(jù)定律： 能量守恒定律；能量守恒定律；Fourier導(dǎo)熱定律導(dǎo)熱定律 1. 1.基本思想：基本思想： 對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)所代表的控制體列能量守對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)所代表的控制體列能量守恒方程式，從而得出該點(diǎn)與其它節(jié)點(diǎn)恒方程式，從而得出該點(diǎn)與其它節(jié)點(diǎn)的關(guān)系式的關(guān)系式(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)nesw傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer3.3.具體推導(dǎo)具體推導(dǎo)(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)neswxyxttynmnmw, 1)1 (yttxnmnmn,1,)1 (規(guī)定熱量進(jìn)入為正規(guī)定熱量進(jìn)

10、入為正xttynmnme, 1)1 (yttxnmnms,1,)1 (,1,(1)m nmnettyxwesn01,1,1,122220mnm nmnm nm nm nttttttxy傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer4-2 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程建立及代數(shù)方程求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程建立及代數(shù)方程求解 傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer一、建立一、建立IIBC & IIIBC邊界節(jié)點(diǎn)離散方程邊界節(jié)點(diǎn)離散方程 為不失一般性，假設(shè)物體內(nèi)部有內(nèi)熱源，為不失一般性，假設(shè)物體內(nèi)部有內(nèi)熱源，x及及y均勻均勻1.1.平直邊界平直邊界 xyqw(

11、m, n) (m,n+1)(m,n-1)(m-1,n)1,1,.1,2022mnm nm nm nm nm nm nwttttxyxyttxx yyqy 傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer2.2.外角點(diǎn)外角點(diǎn) xyqw(m, n)(m,n-1)(m-1,n)1,1,2220222mnm nwwm nm nm nttyyxqqxttxxyy傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer3.3.內(nèi)角點(diǎn)內(nèi)角點(diǎn) xyqw(m, n) (m,n+1)(m,n-1)(m-1,n)(m+1,n)0432222,1,1, 1, 1yxqxyttxyttxqy

12、xttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnm傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer二、不規(guī)則邊界二、不規(guī)則邊界 階梯逼近法階梯逼近法傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer 寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程n個(gè)未知節(jié)點(diǎn)溫度，個(gè)未知節(jié)點(diǎn)溫度，n個(gè)代數(shù)方程式：個(gè)代數(shù)方程式：nnnnnnnnnnnbtatatatbtatatatbtatatat.2211222221212112121111代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法三、三、代數(shù)方程組求解代

13、數(shù)方程組求解 傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer1.1.直接解法直接解法Cramer法則法則 111222ca xb yca xb y11221122cbcbxabab11221122acacyabab傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer求解求解n n階線性方程組，需計(jì)算階線性方程組，需計(jì)算n+1n+1個(gè)行列式，個(gè)行列式，如果取如果取n=20n=20，N=9.7N=9.710102020，每個(gè)行列式是每個(gè)行列式是n n！個(gè)乘積的和，！個(gè)乘積的和，每個(gè)乘積是每個(gè)乘積是n n個(gè)數(shù)相乘，需要做個(gè)數(shù)相乘，需要做n-1n-1次乘法，次乘法，共

14、需乘法次數(shù)共需乘法次數(shù)( (n+1)n!(n-1)n+1)n!(n-1)，1 1億次乘法億次乘法/s/s的計(jì)算機(jī)，需計(jì)算的計(jì)算機(jī)，需計(jì)算30.830.8萬年萬年 傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat TransferGauss消元法消元法共需乘法次數(shù)共需乘法次數(shù)n n3 3/3+n/3+n2 2-n/3-n/3，如果取如果取n=20n=20，N=3060N=3060適用變量個(gè)數(shù)小于適用變量個(gè)數(shù)小于5050直接解法缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大直接解法缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大, ,方程數(shù)目多時(shí)不便、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用于非線性問題。不適用于非線性問題。傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHea

15、t Transfer2.2.迭代法迭代法假設(shè)初場(chǎng)，假設(shè)初場(chǎng)，Jacobi迭代，迭代代入值總為上輪得到的值迭代，迭代代入值總為上輪得到的值 Gauss-Seidel迭代，將本輪得到的值也代入，迭代，將本輪得到的值也代入，計(jì)算機(jī)內(nèi)存更省計(jì)算機(jī)內(nèi)存更省不斷更新，不斷更新， 收斂收斂傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)按下式（采用最新值）在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)按下式（采用最新值）例如：根據(jù)第例如：根據(jù)第 k 次迭代的數(shù)值次迭代的數(shù)值(k)n(k)2(k)1.ttt、可以求得節(jié)點(diǎn)溫度：可以求得節(jié)點(diǎn)溫度：)(1)(1)(212)(111) 1(1.k

16、knnkkkbtatatat)()() 1(11) 1(22) 1(11) 1()(3)(3) 1(232) 1(131) 1(3)(2)(2)(222) 1(121) 1(2.knknnnknnnknknknkknnkkkkknnkkkbtatatatatbtatatatbtatatat傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer是否合理？是否合理？ 1,iim nm ntt 1,1,iim nm nim nttt 1,maxiim nm nttt分母可能為零分母可能為零20分母加小量，如10,kim nt迭代收斂迭代收斂傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat

17、 Transfer主對(duì)角占優(yōu)原則主對(duì)角占優(yōu)原則迭代公式的選擇應(yīng)使每一個(gè)迭代變量的系數(shù)總是大迭代公式的選擇應(yīng)使每一個(gè)迭代變量的系數(shù)總是大于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對(duì)值的代數(shù)和，此于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對(duì)值的代數(shù)和，此時(shí)，用迭代法求解代數(shù)方程，一定收斂時(shí)，用迭代法求解代數(shù)方程，一定收斂傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer4-3 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解 在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題中，不但需要對(duì)在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題中，不但需要對(duì)空間空間區(qū)域進(jìn)區(qū)域進(jìn)行離散，還需要對(duì)行離散，還需要對(duì)時(shí)間時(shí)間變量進(jìn)行離散，接下來以一變量進(jìn)行離散，接下來以一個(gè)一維非穩(wěn)

18、態(tài)導(dǎo)熱問題為例，重點(diǎn)介紹對(duì)非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)個(gè)一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題為例，重點(diǎn)介紹對(duì)非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散方法，以及不同離散方法對(duì)計(jì)算帶來的影響的離散方法，以及不同離散方法對(duì)計(jì)算帶來的影響等。等。傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer一、物理問題和數(shù)學(xué)描述一、物理問題和數(shù)學(xué)描述 厚度厚度 2 的無限大平壁，的無限大平壁， 、a為已知常數(shù)，為已知常數(shù)， =0時(shí)溫度為時(shí)溫度為 t0，突然將其放置于兩側(cè)溫度為，突然將其放置于兩側(cè)溫度為 t 并保持并保持不變的流體中，兩側(cè)表面與流體之間的表面?zhèn)鳠嵯挡蛔兊牧黧w中，兩側(cè)表面與流體之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為數(shù)為h。2h, th, t22xtat , 00tt

19、 0 , 0 xtx)(- , tthxtx傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer二、離散方程的建立二、離散方程的建立0 xnin,in-1,in+1,in,i+1n,i-11.1.熱平衡法熱平衡法 對(duì)于節(jié)點(diǎn)對(duì)于節(jié)點(diǎn) n 在在 i 時(shí)刻時(shí)刻的所代表的控制容積建立的所代表的控制容積建立熱平衡關(guān)系。熱平衡關(guān)系。 從左右兩側(cè)導(dǎo)入的熱量從左右兩側(cè)導(dǎo)入的熱量等于單位時(shí)間容積的內(nèi)能等于單位時(shí)間容積的內(nèi)能增量。增量。內(nèi)節(jié)點(diǎn)內(nèi)節(jié)點(diǎn)傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer0 xnin,in-1,in+1,in,i+1n,i-1 2)(1)()(112xttt

20、attininininin 1w1iinnttx 1e1iinnttx ininttxctVcE1ewEx傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer右端邊界節(jié)點(diǎn)右端邊界節(jié)點(diǎn) 1112iiiiNNiNNfNttttx ch ttx 1122221 22iiiNNNfahahttttxc xxc x 1( )( )( )1111222iiiiitttttax 1( )11222122iiiaatttxx左端對(duì)稱左端對(duì)稱傳熱學(xué)傳熱學(xué) Heat TransferHeat Transfer2.2.直接用差分代替微分直接用差分代替微分 inininttt1,向前差分向前差分( (forward difference)