傳熱學-chap4 導熱問題的數(shù)值解法

1、傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer第四章第四章 導熱問題的數(shù)值解法導熱問題的數(shù)值解法 內容簡介：內容簡介： 本章介紹了數(shù)值求解物理問題的基本思想，以本章介紹了數(shù)值求解物理問題的基本思想，以二維穩(wěn)態(tài)導熱問題二維穩(wěn)態(tài)導熱問題和和一維非穩(wěn)態(tài)導熱一維非穩(wěn)態(tài)導熱為例，介紹了為例，介紹了采用有限差分法數(shù)值求解導熱問題的基本過程。采用有限差分法數(shù)值求解導熱問題的基本過程。 學習重點：學習重點：掌握從能量守恒定律出發(fā)建立離散方程的方法掌握從能量守恒定律出發(fā)建立離散方程的方法 代數(shù)方程的迭代求解方法代數(shù)方程的迭代求解方法 傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Tran

2、sfer4-1 數(shù)值求解的基本思想數(shù)值求解的基本思想 一、基本思想一、基本思想 分析解：分析解： 對導熱微分方程在定解條件下的對導熱微分方程在定解條件下的積分積分求解求解 數(shù)值解：數(shù)值解： 用求解區(qū)域上空間、時間坐標系中的離用求解區(qū)域上空間、時間坐標系中的離散點的溫度分布代替連續(xù)的溫度場，用大量的代散點的溫度分布代替連續(xù)的溫度場，用大量的代數(shù)方程代替微分方程數(shù)方程代替微分方程 離散離散 連續(xù)連續(xù)代數(shù)方程代數(shù)方程 微分方程微分方程傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer),(zyxft 傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer2.2.比較比較

3、分析解分析解(3)(3)分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見(1)(1)能獲得研究問題的能獲得研究問題的精確解精確解，可以為實驗和數(shù)值計，可以為實驗和數(shù)值計算提供比較依據(jù)算提供比較依據(jù) (2)(2)局限性很大，對局限性很大，對復雜問題復雜問題無法求解無法求解 數(shù)值解數(shù)值解(2)(2) 彌補了分析法的缺點，適應性強，特別對于復雜彌補了分析法的缺點，適應性強，特別對于復雜問題更顯其優(yōu)越性，原則上可以求解一切導熱問題問題更顯其優(yōu)越性，原則上可以求解一切導熱問題. . 2D, ,3D, ,復雜幾何形狀，復雜復雜幾何形狀，復雜BC，物性不均勻等，物性不均勻等

4、(1) (1)近似解近似解(3)(3) 與實驗法相比成本低與實驗法相比成本低傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer二、基本步驟二、基本步驟 傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transferyx0HWh,tf q=0h,tf q=0物理問題：物理問題：2D, 矩形域矩形域, 穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài), 無內熱源，常物性無內熱源，常物性的導熱問題的導熱問題, IIBC & IIIBC傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer數(shù)學描寫數(shù)學描寫22220ttxy0 xHx ()fth ttx0yWy )(ftthyt0tx0ty傳熱學傳熱學

5、 Heat TransferHeat Transfer將求解區(qū)域按照一定規(guī)則劃分為許多小區(qū)域，這個將求解區(qū)域按照一定規(guī)則劃分為許多小區(qū)域，這個過程稱作區(qū)域離散。每個小的區(qū)域過程稱作區(qū)域離散。每個小的區(qū)域( (控制容積控制容積, ,CV) )的物理量值由一個點的物理量值由一個點節(jié)點節(jié)點來表示來表示區(qū)域離散區(qū)域離散xymnxyMN傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer 每一個節(jié)點都與它相鄰的節(jié)點存在一定的關系，每一個節(jié)點都與它相鄰的節(jié)點存在一定的關系，通過相應的物理定律，可建立它們之間的關系式（代通過相應的物理定律，可建立它們之間的關系式（代數(shù)方程式），此關系式又稱作節(jié)

6、點的離散方程。數(shù)方程式），此關系式又稱作節(jié)點的離散方程。 建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程 (m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1),1,1,1,114m nmnmnm nm nttttt2,1mM2,1nN傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer 把所有節(jié)點的離散方程聯(lián)立起來，會組成一個把所有節(jié)點的離散方程聯(lián)立起來，會組成一個封閉的方程組，對代數(shù)方程組的求解可采用封閉的方程組，對代數(shù)方程組的求解可采用直接解直接解法法或或迭代迭代求解，更多的是采用迭代解法。求解，更多的是采用迭代解法。 求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組傳熱學傳熱學

7、 Heat TransferHeat Transfer1.1.推導推導三、獲得離散方程的三、獲得離散方程的Taylor展開法展開法2222,0m nm nttxy假定滿足連續(xù)性條件，都可作假定滿足連續(xù)性條件，都可作Taylor展開展開! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer兩式左右兩邊分別相加，得到二階導數(shù)的兩式左右兩邊分別相加，得到二階導數(shù)的中心差分中心差分表表達式達式)(222, 1, 1,22xoxtttxtnm

8、nmnmnm截斷誤差截斷誤差未明確寫出的級數(shù)余項中未明確寫出的級數(shù)余項中的的x的最低階數(shù)為的最低階數(shù)為2 2)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm1,1,1,122220mnm nmnm nm nm nttttttxy,1,1,1,114m nmnmnm nm nttttt如果如果x= y傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer2.2.注意注意數(shù)值解是一種近似解數(shù)值解是一種近似解各階導數(shù)的差分表達式分子各項系數(shù)代數(shù)和為零各階導數(shù)的差分表達式分子各項系數(shù)代數(shù)和為零傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer四、熱平衡法四、熱平衡法

9、2. 2.依據(jù)定律：依據(jù)定律： 能量守恒定律；能量守恒定律；Fourier導熱定律導熱定律 1. 1.基本思想：基本思想： 對每個節(jié)點所代表的控制體列能量守對每個節(jié)點所代表的控制體列能量守恒方程式，從而得出該點與其它節(jié)點恒方程式，從而得出該點與其它節(jié)點的關系式的關系式(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)nesw傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer3.3.具體推導具體推導(m,n)(m+1,n)(m,n+1)(m-1,n)(m,n-1)neswxyxttynmnmw, 1)1 (yttxnmnmn,1,)1 (規(guī)定熱量進入為正規(guī)定熱量進

10、入為正xttynmnme, 1)1 (yttxnmnms,1,)1 (,1,(1)m nmnettyxwesn01,1,1,122220mnm nmnm nm nm nttttttxy傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer4-2 邊界節(jié)點離散方程建立及代數(shù)方程求解邊界節(jié)點離散方程建立及代數(shù)方程求解 傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer一、建立一、建立IIBC & IIIBC邊界節(jié)點離散方程邊界節(jié)點離散方程 為不失一般性，假設物體內部有內熱源，為不失一般性，假設物體內部有內熱源，x及及y均勻均勻1.1.平直邊界平直邊界 xyqw(

11、m, n) (m,n+1)(m,n-1)(m-1,n)1,1,.1,2022mnm nm nm nm nm nm nwttttxyxyttxx yyqy 傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer2.2.外角點外角點 xyqw(m, n)(m,n-1)(m-1,n)1,1,2220222mnm nwwm nm nm nttyyxqqxttxxyy傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer3.3.內角點內角點 xyqw(m, n) (m,n+1)(m,n-1)(m-1,n)(m+1,n)0432222,1,1, 1, 1yxqxyttxyttxqy

12、xttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnm傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer二、不規(guī)則邊界二、不規(guī)則邊界 階梯逼近法階梯逼近法傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer 寫出所有內節(jié)點和邊界節(jié)點的溫度差分方程寫出所有內節(jié)點和邊界節(jié)點的溫度差分方程n個未知節(jié)點溫度，個未知節(jié)點溫度，n個代數(shù)方程式：個代數(shù)方程式：nnnnnnnnnnnbtatatatbtatatatbtatatat.2211222221212112121111代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法三、三、代數(shù)方程組求解代

13、數(shù)方程組求解 傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer1.1.直接解法直接解法Cramer法則法則 111222ca xb yca xb y11221122cbcbxabab11221122acacyabab傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer求解求解n n階線性方程組，需計算階線性方程組，需計算n+1n+1個行列式，個行列式，如果取如果取n=20n=20，N=9.7N=9.710102020，每個行列式是每個行列式是n n！個乘積的和，！個乘積的和，每個乘積是每個乘積是n n個數(shù)相乘，需要做個數(shù)相乘，需要做n-1n-1次乘法，次乘法，共

14、需乘法次數(shù)共需乘法次數(shù)( (n+1)n!(n-1)n+1)n!(n-1)，1 1億次乘法億次乘法/s/s的計算機，需計算的計算機，需計算30.830.8萬年萬年 傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat TransferGauss消元法消元法共需乘法次數(shù)共需乘法次數(shù)n n3 3/3+n/3+n2 2-n/3-n/3，如果取如果取n=20n=20，N=3060N=3060適用變量個數(shù)小于適用變量個數(shù)小于5050直接解法缺點：所需內存較大直接解法缺點：所需內存較大, ,方程數(shù)目多時不便、方程數(shù)目多時不便、不適用于非線性問題。不適用于非線性問題。傳熱學傳熱學 Heat TransferHea

15、t Transfer2.2.迭代法迭代法假設初場，假設初場，Jacobi迭代，迭代代入值總為上輪得到的值迭代，迭代代入值總為上輪得到的值 Gauss-Seidel迭代，將本輪得到的值也代入，迭代，將本輪得到的值也代入，計算機內存更省計算機內存更省不斷更新，不斷更新， 收斂收斂傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer在計算后面的節(jié)點溫度時應按下式（采用最新值）在計算后面的節(jié)點溫度時應按下式（采用最新值）例如：根據(jù)第例如：根據(jù)第 k 次迭代的數(shù)值次迭代的數(shù)值(k)n(k)2(k)1.ttt、可以求得節(jié)點溫度：可以求得節(jié)點溫度：)(1)(1)(212)(111) 1(1.k

16、knnkkkbtatatat)()() 1(11) 1(22) 1(11) 1()(3)(3) 1(232) 1(131) 1(3)(2)(2)(222) 1(121) 1(2.knknnnknnnknknknkknnkkkkknnkkkbtatatatatbtatatatbtatatat傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer是否合理？是否合理？ 1,iim nm ntt 1,1,iim nm nim nttt 1,maxiim nm nttt分母可能為零分母可能為零20分母加小量，如10,kim nt迭代收斂迭代收斂傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat

17、 Transfer主對角占優(yōu)原則主對角占優(yōu)原則迭代公式的選擇應使每一個迭代變量的系數(shù)總是大迭代公式的選擇應使每一個迭代變量的系數(shù)總是大于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對值的代數(shù)和，此于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對值的代數(shù)和，此時，用迭代法求解代數(shù)方程，一定收斂時，用迭代法求解代數(shù)方程，一定收斂傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer4-3 一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值求解一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值求解 在非穩(wěn)態(tài)導熱問題中，不但需要對在非穩(wěn)態(tài)導熱問題中，不但需要對空間空間區(qū)域進區(qū)域進行離散，還需要對行離散，還需要對時間時間變量進行離散，接下來以一變量進行離散，接下來以一個一維非穩(wěn)

18、態(tài)導熱問題為例，重點介紹對非穩(wěn)態(tài)項個一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題為例，重點介紹對非穩(wěn)態(tài)項的離散方法，以及不同離散方法對計算帶來的影響的離散方法，以及不同離散方法對計算帶來的影響等。等。傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer一、物理問題和數(shù)學描述一、物理問題和數(shù)學描述 厚度厚度 2 的無限大平壁，的無限大平壁， 、a為已知常數(shù)，為已知常數(shù)， =0時溫度為時溫度為 t0，突然將其放置于兩側溫度為，突然將其放置于兩側溫度為 t 并保持并保持不變的流體中，兩側表面與流體之間的表面?zhèn)鳠嵯挡蛔兊牧黧w中，兩側表面與流體之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為數(shù)為h。2h, th, t22xtat , 00tt

19、 0 , 0 xtx)(- , tthxtx傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer二、離散方程的建立二、離散方程的建立0 xnin,in-1,in+1,in,i+1n,i-11.1.熱平衡法熱平衡法 對于節(jié)點對于節(jié)點 n 在在 i 時刻時刻的所代表的控制容積建立的所代表的控制容積建立熱平衡關系。熱平衡關系。 從左右兩側導入的熱量從左右兩側導入的熱量等于單位時間容積的內能等于單位時間容積的內能增量。增量。內節(jié)點內節(jié)點傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer0 xnin,in-1,in+1,in,i+1n,i-1 2)(1)()(112xttt

20、attininininin 1w1iinnttx 1e1iinnttx ininttxctVcE1ewEx傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer右端邊界節(jié)點右端邊界節(jié)點 1112iiiiNNiNNfNttttx ch ttx 1122221 22iiiNNNfahahttttxc xxc x 1( )( )( )1111222iiiiitttttax 1( )11222122iiiaatttxx左端對稱左端對稱傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer2.2.直接用差分代替微分直接用差分代替微分 inininttt1,向前差分向前差分( (forward difference)