回歸大作業(yè)-基于多元線性回歸的期權(quán)價(jià)格預(yù)測(cè)模型

1、基于多元線性回歸的期權(quán)價(jià)格預(yù)測(cè)模型王某某（北京航空航天大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院 北京 100191）作者簡(jiǎn)介：王某某，北京航空航天大學(xué)研究生 郵箱：bnuwjx。摘 要：期權(quán)是國(guó)際市場(chǎng)成熟、普遍的金融衍生品，是金融市場(chǎng)極為重要的金融工具。2015年2月9日，上海證券交易所正式推出了我國(guó)首支場(chǎng)內(nèi)交易期權(quán)上證50ETF期權(quán)，翻開了境內(nèi)場(chǎng)內(nèi)期權(quán)市場(chǎng)的新篇章。50ETF期權(quán)上市以來(lái)，市場(chǎng)規(guī)模逐步擴(kuò)大，其發(fā)展情況境外期權(quán)產(chǎn)品相同時(shí)期。本文以此為研究背景，以“50ETF購(gòu)12月1.95”這支期權(quán)為研究對(duì)象，以今日開盤價(jià)、收盤價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)、結(jié)算價(jià)、成交量、成交額、持倉(cāng)量、漲停價(jià)和跌停價(jià)為解釋變量，通過多元線性

2、回歸模型，預(yù)測(cè)該期權(quán)的明日收盤價(jià)。本次研究以多元線性回歸的全模型（模型1）為出發(fā)點(diǎn)，通過異方差檢驗(yàn)、殘差的獨(dú)立性檢驗(yàn)、誤差的正太分布檢驗(yàn)以及多重共線性檢驗(yàn)，說(shuō)明該模型不違反回歸的基本假設(shè)條件。進(jìn)而通過主成分回歸（模型4）和逐步回歸（模型5）進(jìn)行降維，結(jié)果表明因變量與解釋變量之間存在強(qiáng)烈的線性相關(guān)關(guān)系，且主成分回歸和逐步回歸相比全模型有更好的預(yù)測(cè)能力。關(guān)鍵詞：期權(quán)價(jià)格 多元線性回歸 50ETF 多重共線性 因子分析一、引言期權(quán)（option）是依據(jù)合約形態(tài)劃分的一種衍生品，指賦予其購(gòu)買方在規(guī)定期限內(nèi)按買賣雙方約定的價(jià)格（即協(xié)議價(jià)格或行權(quán)價(jià)格）購(gòu)買或者出售一定數(shù)量某種金融資產(chǎn)（即標(biāo)的資產(chǎn)）的權(quán)利的

3、合約。期權(quán)購(gòu)買方為了獲得這個(gè)權(quán)利，必須支付給期權(quán)出售方一定的費(fèi)用，稱為權(quán)利金或期權(quán)價(jià)格1。2015年2月9日，上海證券交易所正式推出了我國(guó)首支場(chǎng)內(nèi)交易期權(quán)上證50ETF，翻開了境內(nèi)場(chǎng)內(nèi)期權(quán)市場(chǎng)的新篇章。期權(quán)是與期貨并列的基礎(chǔ)衍生產(chǎn)品，是金融市場(chǎng)極為重要的金融工具之一。自50ETF上市以來(lái)，市場(chǎng)規(guī)模逐步擴(kuò)大。2015年2月日均合約成交面值為5.45億元，12月就達(dá)到了47.69億元，增長(zhǎng)了7.75倍；2月日均合約成交量為2.33萬(wàn)張，12月就達(dá)到了19.81萬(wàn)張，增長(zhǎng)了7.5倍；2月權(quán)利金總成交額為2.48億元，12月就達(dá)到了35.98億元，增長(zhǎng)了13.51倍1。我國(guó)股票市場(chǎng)有上億的個(gè)人投資者，

4、是一個(gè)較為典型的散戶市場(chǎng)1。相較于專業(yè)投資機(jī)構(gòu)講，散戶缺乏時(shí)間，精力以及專業(yè)分析，投資具有很大的投機(jī)行為。對(duì)于這些投資者來(lái)說(shuō)，期權(quán)價(jià)格的變動(dòng)則是他們最為關(guān)注的問題，其變化直接影響到自身的收益。在實(shí)際情況中，影響股票價(jià)格的因素很多，涉及到金融政策、利率政策以及國(guó)際市場(chǎng)等因素，其作用機(jī)制也相當(dāng)復(fù)雜2。因此，對(duì)于期權(quán)價(jià)格預(yù)測(cè)的研究，則可以降低投資者的投資風(fēng)險(xiǎn)，及時(shí)調(diào)整投資結(jié)構(gòu)，從而保障自身的收益。本文選擇“50ETF購(gòu)12月1.95（期權(quán)代碼：10000629）”這支期權(quán)作為研究對(duì)象，根據(jù)過去一個(gè)月內(nèi)期權(quán)的交易數(shù)據(jù)，以今日開盤價(jià)、收盤價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)、結(jié)算價(jià)、成交量、成交額、持倉(cāng)量、漲停價(jià)和跌停價(jià)

5、為解釋變量，通過多元線性回歸模型，預(yù)測(cè)該期權(quán)的明日收盤價(jià)。下文由如下幾部分構(gòu)成：第二部分介紹了本次研究的數(shù)據(jù)集，包括數(shù)據(jù)來(lái)源、和數(shù)據(jù)字段；第三部分重點(diǎn)介紹了各個(gè)多元線性回歸模型，包括全模型及異方差檢驗(yàn)，殘差的獨(dú)立性檢驗(yàn)、誤差的正太分布檢驗(yàn)和多種共線性檢驗(yàn)，在第4小節(jié)和第5小節(jié)分別采用主成分回歸和逐步回歸對(duì)模型加以改善；第四部分運(yùn)用第三部分建立的各個(gè)模型對(duì)期權(quán)價(jià)格進(jìn)行了預(yù)測(cè)；第五部分對(duì)本文研究進(jìn)行了總結(jié)并未來(lái)的研究加以展望。二、數(shù)據(jù)說(shuō)明本次研究的數(shù)據(jù)來(lái)源于Wind資訊金融終端，從上面獲取了“50ETF購(gòu)12月1.95”這支期權(quán)自2016年10月24日至2016年11月24日（只包含工作日）共計(jì)2

6、4日的交易數(shù)據(jù)。經(jīng)過整理后得到最終的數(shù)據(jù)字段，見表1。表 1 期權(quán)交易數(shù)據(jù)字段收盤價(jià)開盤價(jià)最高價(jià)最低價(jià)結(jié)算價(jià)成交額成交量持倉(cāng)量漲停價(jià)跌停價(jià) 期權(quán)交易數(shù)據(jù)見附錄1。三、建模1 符號(hào)說(shuō)明 各個(gè)變量及其符號(hào)說(shuō)明見表2。表 2 各個(gè)變量及其符號(hào)說(shuō)明變量符號(hào)明日收盤價(jià)Y今日開盤價(jià)X1今日收盤價(jià)X2今日最高價(jià)X3今日最低價(jià)X4今日結(jié)算價(jià)X5今日成交額X6今日成交量X7今日持倉(cāng)量X8今日漲停價(jià)X9今日跌停價(jià)X102 解釋變量與指標(biāo)變量的散點(diǎn)圖在建立模型之前，首先利用MATLAB繪制各個(gè)解釋變量與指標(biāo)變量（明日收盤價(jià)）之間的散點(diǎn)圖，觀察各個(gè)解釋變量與指標(biāo)變量之間的關(guān)系，散點(diǎn)圖結(jié)果見圖1。圖 1 各個(gè)解釋變量與

7、指標(biāo)變量（明日收盤價(jià)）的散點(diǎn)圖通過圖一中的散點(diǎn)圖可以看出，明日收盤價(jià)與今日收盤價(jià)、今日開盤價(jià)、今日最高價(jià)、今日最低價(jià)、今日結(jié)算價(jià)、今日持倉(cāng)量、今日漲停價(jià)以及今日跌停價(jià)之間有較為明顯的線性關(guān)系；而與今日成交額以及今日成交量之間的線性關(guān)系并不明顯。3 全模型 通過散點(diǎn)圖我們觀察到指標(biāo)變量與各個(gè)解釋變量之間大致上為線性關(guān)系，所以考慮多元線性回歸模型進(jìn)行建模。3.1 模型建立與求解首先建立各個(gè)解釋變量與指標(biāo)變量的全模型，即考慮如下模型：Y=0+1X1+10X10+ N0, 2 式中，0，1，10，2都是與解釋變量無(wú)關(guān)的未知參數(shù)，其中0，1，10稱為回歸系數(shù)。在MATLAB中使用regress函數(shù)即可求

8、解此多元線性回歸模型，求解結(jié)果見表3.表 3 MATLAB求解全模型結(jié)果回歸系數(shù)回歸系數(shù)的估計(jì)值回歸系數(shù)置信區(qū)間00.1555-0.1938 0.504911.8288-0.9212 4.578720.0586-1.5671 1.684330.6199-0.4249 1.66474-1.0532-1.9703 -0.13625-1.2208-3.8759 1.434260.0000-0.0000 0.00007-0.0000-0.0001 0.00008-0.0000-0.0000 0.000090.3233-1.0317 1.67831000 0R2 = 0.9489 F = 26.7989

9、 p < 0.0001 s2 = 0.0001從上表容易看出模型（1）成立，此時(shí)指標(biāo)變量與解釋變量滿足的回歸模型為：Y=0.1555+1.8288X1+0.0586X2+0.6199X3-1.0532X4-1.2208X5+0.3233X9 （模型1）在MATLAB中畫出模型1的殘差分布，見圖2。圖 Error! Main Document Only. 模型1的殘差分布除第12個(gè)數(shù)據(jù)外其余殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，因此第12個(gè)點(diǎn)應(yīng)當(dāng)視為異常點(diǎn)，將其剔除后重新計(jì)算，得到模型2：Y=0.2484+1.5432X1+0.0291X2+0.7482X3-0.8726X4-1.1292X5+0.1

10、584X9 （模型2）模型2的R2 = 0.9736，F(xiàn) = 49.1655，p < 0.0001，s2 = 0.0001。但同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，各個(gè)回歸系數(shù)的置信區(qū)間仍然均包含零點(diǎn)。畫出模型2的殘差分布，發(fā)現(xiàn)又出現(xiàn)了異常點(diǎn)，按照上面的方法剔除異常點(diǎn)直至沒有異常點(diǎn)產(chǎn)生。最終一共去掉了5個(gè)異常點(diǎn)（分別是2，12，15，22以及23），最終得到模型3：Y=0.3999+2.7664X1-0.5987X2+1.6607X3-1.3712X4- 3.1596X5-0.0001X7+0.6669X9 （模型3）模型3的R2 = 0.9969，F(xiàn) = 281.6079，p < 0.0001，s2 &

11、lt; 0.0001。可見模型2相當(dāng)顯著，各個(gè)回歸系數(shù)的置信區(qū)間均不包含零點(diǎn)；但是去除的數(shù)據(jù)點(diǎn)有5個(gè)（總共23個(gè)），去除的異常點(diǎn)比較多，容易去除有用信息，所以我們只把模型3作為后期預(yù)測(cè)的一個(gè)對(duì)比模型，在之后的分析中，我們只考慮去除第12個(gè)異常點(diǎn)的數(shù)據(jù)。接下來(lái)進(jìn)行異方差檢驗(yàn)，殘差的獨(dú)立性檢驗(yàn)以及多重共線性檢驗(yàn)。3.2 異方差檢驗(yàn)圖 Error! Main Document Only. 殘差對(duì)預(yù)測(cè)值的散點(diǎn)圖通過SPSS畫出殘差對(duì)預(yù)測(cè)值的散點(diǎn)圖，見圖3。根據(jù)圖3可以認(rèn)為數(shù)據(jù)基本不存在異方差性，即認(rèn)為隨機(jī)誤差具有相同的方差。3.3 殘差的獨(dú)立性檢驗(yàn)通過SPSS的Durbin-watson檢驗(yàn)得到DW值

12、為2.545，模型2中解釋變量數(shù)量k（包括常數(shù)項(xiàng)）為7，樣本數(shù)量n 為22，查DW分布表得到相應(yīng)的dL= 0.510，dU= 2.015。由于dU<DW<4-dL，認(rèn)為隨機(jī)誤差之間無(wú)自相關(guān)3。3.4 誤差的正態(tài)分布檢驗(yàn)通過SPSS畫出正態(tài)P-P圖以及回歸標(biāo)準(zhǔn)化殘差頻率分布直方圖，見圖4。圖 Error! Main Document Only. 誤差的正太分布檢驗(yàn)圖從上圖可以認(rèn)為誤差服從均值為0的正態(tài)分布。3.5 多重共線性檢驗(yàn)多元線性回歸模型的基本假設(shè)中要求設(shè)計(jì)矩陣X的列向量之間不存在密切的線性關(guān)系3，如果存在，就稱它們之間存在多重共線性。表 Error! Main Documen

13、t Only. 多重共線性診斷結(jié)果通過SPSS進(jìn)行多重共線性診斷，結(jié)果如下表。從上表可以看出絕大部分變量的VIF值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于10，說(shuō)明嚴(yán)重存在多重共線性，針對(duì)多重共線性的問題，接下來(lái)用主成分分析加以處理。4 主成分回歸利用MATLAB對(duì)這個(gè)十個(gè)解釋變量進(jìn)行主成分分析，分析過程如下。1）對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理xi= xi- isi即每個(gè)元素的值減去該列的均值，然后除以這一列的方差。2）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣R，結(jié)果見表表 5 解釋變量的相關(guān)系數(shù)X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11.000.920.980.961.000.610.50-0.880.920.92X20.921.000.900.

14、960.910.430.31-0.880.990.99X30.980.901.000.940.980.680.58-0.880.910.91X40.960.960.941.000.950.460.34-0.840.960.96X51.000.910.980.951.000.640.54-0.880.910.91X60.610.430.680.460.641.000.99-0.540.460.46X70.500.310.580.340.540.991.00-0.450.340.34X8-0.88-0.88-0.88-0.84-0.88-0.54-0.451.00-0.86-0.86X90.920

15、.990.910.960.910.460.34-0.861.001.00X100.920.990.910.960.910.460.34-0.861.001.003）計(jì)算特征值和累計(jì)貢獻(xiàn)率見表6表 6 各個(gè)解釋變量的特征根和累計(jì)貢獻(xiàn)率變量特征根累計(jì)貢獻(xiàn)率X18.103081.03%X21.501196.04%X30.187897.92%X40.155399.47%X50.024099.71%X60.017399.89%X70.007499.96%X80.002899.99%X90.0013100.0%X100.0000100.0%可以看出，前兩個(gè)特征根的累計(jì)貢獻(xiàn)率就達(dá)到了90%以上，主成分分析效

16、果很好。下面選擇前四個(gè)主成分（累計(jì)貢獻(xiàn)率99.47%）進(jìn)行綜合分析。4）前四個(gè)特征根對(duì)應(yīng)的特征向量見表7表 7 前四個(gè)特征根對(duì)應(yīng)的特征向量X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10第1個(gè)特征向量0.34 0.33 0.35 0.34 0.35 0.23 0.19 -0.32 0.34 0.34 第2個(gè)特征向量-0.03 -0.22 0.05 -0.18 0.01 0.61 0.68 0.05 -0.20 -0.20 第3個(gè)特征向量0.07 0.04 0.09 0.26 0.06 0.10 0.01 0.93 0.14 0.14 第4個(gè)特征向量0.45 -0.36 0.27 0.18 0.43

17、-0.14 -0.18 0.01 -0.40 -0.40 5）主成分回歸模型求得的主成分回歸模型如下：Y=0.204151+0.199353*X1+0.044479*X2+0.154424*X3+0.082825*X4+0.193987*X5+0.000289*X9+0.000353*X10 （模型4）5 逐步回歸主成分回歸求出的主成分是原始變量的線性組合，表示新的綜合變量。接下來(lái)使用逐步回歸的方法來(lái)篩選變量。在逐步回歸中，決定一個(gè)變量時(shí)候有必要進(jìn)入模型或者從模型中剔除時(shí)，常用的方法是偏F檢驗(yàn)3，關(guān)于偏F檢驗(yàn)這里不做贅述。圖 Error! Main Document Only. 逐步回歸結(jié)果在

18、MATLAB中使用stepwise函數(shù)進(jìn)行逐步回歸4，運(yùn)行結(jié)果如圖5求得的逐步回歸模型如下：Y=1.0103*X3-0.6147*X4+0.6815*X9-0.7097*X10 （模型5）四、預(yù)測(cè)接下來(lái)我們利用上面求得的模型來(lái)進(jìn)行期權(quán)價(jià)格預(yù)測(cè)。利用模型1、模型2、模型3、模型4和模型5分別預(yù)測(cè)了11月25日至12月10日的期權(quán)價(jià)格，11月25日至12月20日的真實(shí)期權(quán)以及預(yù)測(cè)結(jié)果如表8。表 8 各個(gè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果日期真實(shí)數(shù)據(jù)模型1模型2模型3模型4模型52016-11-250.50410.52290.51350.10100.49400.52232016-11-280.53250.53810.5

19、3150.14800.51640.52292016-11-290.51410.59320.58070.04920.52930.55702016-11-300.52560.58200.56770.01570.54310.54582016-12-010.50790.55170.54250.18280.53190.53972016-12-020.46210.54730.53610.20310.52670.53772016-12-050.46230.49510.48910.38880.48960.49812016-12-060.46600.46060.46150.45790.46910.4682201

20、6-12-070.46690.46530.46450.41790.46810.47492016-12-080.49890.45990.46110.40660.47380.47202016-12-090.47570.52780.52400.28200.49330.51792016-12-120.46600.53190.52650.28170.50410.51192016-12-130.45550.48120.47980.41310.47770.48442016-12-140.40030.47120.47410.43950.47050.46552016-12-150.39260.47000.468

21、30.21020.44900.43672016-12-160.38120.41400.42320.45520.40920.39072016-12-190.36330.40550.41440.38920.40030.38292016-12-200.39040.40040.40890.31030.39190.3757各個(gè)模型的平均誤差以及誤差百分比見表9。表 9 各個(gè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果評(píng)價(jià)真實(shí)數(shù)據(jù)模型1模型2模型3模型4模型5平均誤差0.04140.03850.18840.02640.0301平均誤差百分比9.18%8.71%38.84%6.02%6.66%從表8和表9可以看出，模型4（主成分回歸）和模

22、型5（逐步回歸）的結(jié)果最好，而模型3由于去掉了較多的異常點(diǎn)反而導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果不好。接下來(lái)不考慮模型3，畫出其余4個(gè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)數(shù)據(jù)的折線圖，見圖6在圖圖 Error! Main Document Only. 4個(gè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)數(shù)據(jù)的折線圖4中，橫坐標(biāo)表示數(shù)據(jù)的序號(hào)，分別與各個(gè)日期對(duì)應(yīng)，其中前面24個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)自訓(xùn)練集，故而各個(gè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際結(jié)果接近；后面的數(shù)據(jù)則來(lái)自測(cè)試集，可以看出各個(gè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)存在一定差異，不過總體趨勢(shì)與實(shí)際數(shù)據(jù)比較匹配。其中模型4和模型5的預(yù)測(cè)結(jié)果最好。五、結(jié)論本文從以期權(quán)今日開盤價(jià)、收盤價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)、結(jié)算價(jià)、成交量、成交額、持倉(cāng)量、漲停價(jià)和

23、跌停價(jià)為解釋變量，期權(quán)明日收盤價(jià)為指標(biāo)變量，建立了多元線性回歸模型1，通過異方差檢驗(yàn)、殘差的獨(dú)立性檢驗(yàn)、誤差的正太分布檢驗(yàn)以及多重共線性檢驗(yàn)，說(shuō)明該模型不違反回歸的基本假設(shè)條件。進(jìn)而通過主成分回歸（模型4）和逐步回歸（模型5）進(jìn)行降維，通過預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)數(shù)據(jù)的差異比較了各個(gè)模型的預(yù)測(cè)效果，結(jié)果表明主成分回歸以及逐步回歸相比全模型有更好的預(yù)測(cè)能力。實(shí)際情況中，該期權(quán)的當(dāng)日價(jià)格波動(dòng)一般不會(huì)超過15%，而普遍真是情況是8%以內(nèi)，可見模型4和模型5的預(yù)測(cè)效果并不理想，今后的研究可以在以下兩個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：不斷向模型加入得到的最新數(shù)據(jù)；運(yùn)用時(shí)間序列模型進(jìn)行研究。參考文獻(xiàn)1 吳清. 期權(quán)交易策略十講M.

24、上海人民出版社, 20162 李珺. 基于因子分析的多元線性回歸方法及其在股價(jià)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用D. 南京大學(xué), 20143 孫海燕, 周夢(mèng), 李衛(wèi)國(guó), 馮偉. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)M. 北京航空航天大學(xué)出版社, 20164 司守奎. 數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用(第2版)M. 國(guó)防工業(yè)出版社, 2015Option price forecasting model based on multiple linear regressionWang MoumouSchool of Computer Science, BeiHang University, Beijing 100191Abstract: Option is on

25、e kind of universal financial derivatives with a mature international market, and it is extremely important financial instrument. On February 9, 2015, the Shanghai Stock Exchange officially launched China's first floor trading options - SSE 50ETF options, opened a new chapter in the domestic mar

26、ket options market. 50ETF options since listing, the market gradually expanded, the development of offshore options products the same period. In this paper, the background of this study, "50ETF purchase December 1.95" this option for the study to today's opening, closing price, the hig

27、hest price, lowest price, settlement price, volume, turnover, open interest, price and the limit price for the explanatory variables, through multiple linear regression model, the option of the closing price of tomorrow. In this study, the heterogeneity test, residual independence test, error positi

28、ve distribution test and multicollinearity test were taken as the starting point of the whole model (model 1) of multivariate linear regression to show that the model did not violate the basic assumptions of regression. The results show that there is a strong linear correlation between the dependent

29、 variable and the explanatory variable, and the principal component regression and the stepwise regression are better than the whole regression model (step 4) and stepwise regression (model 5). The results show that there is a strong linear correlation between the dependent variable and the explanat

30、ory variable, and the principal component regression and stepwise regression have better prediction ability than the whole model.Keywords: Option price, Multiple linear regression, Multicollinearity, Factor analysis附錄1 期權(quán)交易數(shù)據(jù)日期收盤價(jià)開盤價(jià)最高價(jià)最低價(jià)結(jié)算價(jià)2016-11-240.46130.45100.47020.45060.47502016-11-230.45280.

31、44550.46800.44540.46502016-11-220.44650.43500.44820.43500.45802016-11-210.43040.40690.44300.40450.44002016-11-180.40690.40970.42130.40370.41302016-11-170.41130.41100.41300.39620.41902016-11-160.40770.41060.41500.40500.41102016-11-150.41070.41400.41630.40710.41602016-11-140.41170.40000.43290.40000.42

32、402016-11-110.40740.38310.40930.38250.41302016-11-100.38690.37290.39660.36750.39402016-11-090.35970.38100.38100.33780.37002016-11-080.38050.37580.39140.37320.38802016-11-070.36860.36600.37380.36170.38002016-11-040.36500.36920.37870.36250.37402016-11-030.36670.34300.37830.34000.37702016-11-020.34580.35880.35880.34380.35002016-11-010.35880.34870.36250.34530.36602016-10-310.34700.35220.36100.33040.35502016-10-280.35100.35210.37490.35060.357020