機(jī)械波波動(dòng)方程

1、 機(jī)械波、波動(dòng)方程機(jī)械波、波動(dòng)方程13-1 13-1 機(jī)械波的基本概念機(jī)械波的基本概念 13-2 13-2 平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程 第十三章第十三章機(jī)械波和電磁波機(jī)械波和電磁波波動(dòng)是振動(dòng)的傳播過程波動(dòng)是振動(dòng)的傳播過程. .振動(dòng)是激發(fā)波動(dòng)的波源振動(dòng)是激發(fā)波動(dòng)的波源. .機(jī)械波機(jī)械波電磁波電磁波波動(dòng)波動(dòng)機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播. .交交變電磁場(chǎng)在空間的傳播變電磁場(chǎng)在空間的傳播. .13-1 機(jī)械波的基本概念機(jī)械波的基本概念一、機(jī)械波產(chǎn)生的條件一、機(jī)械波產(chǎn)生的條件波源波源介質(zhì)介質(zhì)+彈性作用彈性作用機(jī)械波機(jī)械波產(chǎn)生產(chǎn)生條件條件：1 1、有做機(jī)械振動(dòng)的物體，

2、即波源；、有做機(jī)械振動(dòng)的物體，即波源； 2 2、有連續(xù)的介質(zhì)、有連續(xù)的介質(zhì)彈性介質(zhì)彈性介質(zhì). . 波是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳播，介質(zhì)的波是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳播，介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)并不隨波傳播質(zhì)點(diǎn)并不隨波傳播. .注意注意機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播. .(1)(1)橫波：橫波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向相質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向相垂直垂直的波的波. . 特征：特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷. .如繩波如繩波( (機(jī)械橫波僅在固體中傳播機(jī)械橫波僅在固體中傳播) )、電磁波、電磁波二、橫波和縱波二、橫波和縱波(2) 縱波：縱波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向互

3、相質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向互相平行平行的的波波. .如聲波（縱波可在固體、液體和氣體中傳播）如聲波（縱波可在固體、液體和氣體中傳播） 特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部. . 注注: :生活中常見的水波不是簡(jiǎn)單的橫波或者縱波生活中常見的水波不是簡(jiǎn)單的橫波或者縱波, ,情況比較復(fù)雜情況比較復(fù)雜波場(chǎng)波場(chǎng)-波傳播到的空間。波傳播到的空間。波面波面-波場(chǎng)中同一時(shí)刻振動(dòng)位相相同的點(diǎn)的軌跡。波場(chǎng)中同一時(shí)刻振動(dòng)位相相同的點(diǎn)的軌跡。波前（波陣面）波前（波陣面）-某時(shí)刻波源最初的振動(dòng)狀態(tài)某時(shí)刻波源最初的振動(dòng)狀態(tài) 傳到的波面。傳到的波面。波線（波射線）波線（波射線）-代表波的傳播方向的

4、射線。代表波的傳播方向的射線。各向同性均勻介質(zhì)中，波線恒與波面垂直各向同性均勻介質(zhì)中，波線恒與波面垂直. .沿波線方向各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位依次落后。沿波線方向各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位依次落后。三、波線和波面三、波線和波面*球球 面面 波波平平 面面 波波波前波前波面波面波線波線振動(dòng)狀態(tài)（即位相）在單位時(shí)間內(nèi)傳播振動(dòng)狀態(tài)（即位相）在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離稱為的距離稱為波速波速 ，也稱之，也稱之相速相速1 1、波速、波速 u gu 在固體媒質(zhì)中在固體媒質(zhì)中縱波縱波波速為波速為 eu/ g、 e為媒質(zhì)的切變彈性模量和楊氏彈性模量為媒質(zhì)的切變彈性模量和楊氏彈性模量 為介質(zhì)的密度為介質(zhì)的密度在固體媒質(zhì)中在固體媒質(zhì)中橫

5、波橫波波速為波速為在同一種固體媒質(zhì)中，在同一種固體媒質(zhì)中，橫波橫波波速比波速比縱波縱波波速小些波速小些四、描述波動(dòng)的幾個(gè)物理量四、描述波動(dòng)的幾個(gè)物理量在液體和氣體只能傳播在液體和氣體只能傳播縱波縱波，其波速為：，其波速為： bu/ b為介質(zhì)的容變彈性模量為介質(zhì)的容變彈性模量 為密度為密度3、波長(zhǎng)、波長(zhǎng) 2、波的周期、波的周期和頻率和頻率21tut u波的周期：一個(gè)完整波形通過介質(zhì)中某固定點(diǎn)波的周期：一個(gè)完整波形通過介質(zhì)中某固定點(diǎn)所需所需 的時(shí)間，用的時(shí)間，用t表示。表示。波的頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過介質(zhì)中某固定點(diǎn)完整波波的頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過介質(zhì)中某固定點(diǎn)完整波 的數(shù)目的數(shù)目，用，用 表示。表示。

6、同一波線上同一波線上相鄰相鄰的位相差為的位相差為2 的兩質(zhì)點(diǎn)的距離的兩質(zhì)點(diǎn)的距離。介質(zhì)決定介質(zhì)決定波源決定波源決定 例例1 在室溫下，已知空氣中的聲速在室溫下，已知空氣中的聲速 為為340 m/s，水中的聲速水中的聲速 為為1450 m/s ，求頻率為，求頻率為200 hz和和2000 hz 的聲波在空氣中和水中的波長(zhǎng)各為多少？的聲波在空氣中和水中的波長(zhǎng)各為多少？1u2um7 .1hz200sm3401111um17. 0212um25. 7hz200sm14501121um725. 0222u在水中的波長(zhǎng)在水中的波長(zhǎng)解解由由 ，頻率為，頻率為200 hz和和2000 hz 的聲波在的聲波在u

7、空氣中的波長(zhǎng)空氣中的波長(zhǎng)波動(dòng)方程波動(dòng)方程：描述介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系：描述介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系),(txyy 各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平衡位置的衡位置的位移位移波線上各質(zhì)點(diǎn)波線上各質(zhì)點(diǎn)平衡平衡位置位置 簡(jiǎn)諧波：在均勻的、無吸收的介質(zhì)中，波源作簡(jiǎn)諧波：在均勻的、無吸收的介質(zhì)中，波源作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，在介質(zhì)中所形成的波簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，在介質(zhì)中所形成的波. . 平面簡(jiǎn)諧波：波面為平面的簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧波：波面為平面的簡(jiǎn)諧波. .13-2 平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程一平面簡(jiǎn)諧波在理想介質(zhì)中沿一平面簡(jiǎn)諧波在理想介質(zhì)中沿x軸正向傳播，軸正向傳播，x軸即為某一波線軸即為某一波線設(shè)

8、原點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：設(shè)原點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式：tcosay 0y表示該處質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的表示該處質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移位移x為為p點(diǎn)在點(diǎn)在x軸的坐標(biāo)軸的坐標(biāo)一、平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程一、平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程p點(diǎn)的振動(dòng)方程：點(diǎn)的振動(dòng)方程：cos()xyatut 時(shí)刻時(shí)刻p處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)重復(fù)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)重復(fù)xtu時(shí)刻時(shí)刻o處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)xypuoxo點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)傳到點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)傳到p點(diǎn)需用點(diǎn)需用 uxt 沿沿x軸正向傳播軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程xu沿著波傳播方向，各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)依次落后于波源振動(dòng)沿著波傳播方向，各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)依次落后于波源振動(dòng). .為為p點(diǎn)的振動(dòng)落

9、后與原點(diǎn)振動(dòng)的時(shí)間點(diǎn)的振動(dòng)落后與原點(diǎn)振動(dòng)的時(shí)間時(shí)間推遲方法時(shí)間推遲方法點(diǎn)點(diǎn) p 比點(diǎn)比點(diǎn) o 落后落后的相位的相位opuxtuxxp22)(cosuxtayp點(diǎn)點(diǎn) p 振動(dòng)方程振動(dòng)方程相位落后法相位落后法沿沿x軸負(fù)向軸負(fù)向傳播的傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程cos()xyatupx*yxuaao)tcos(ay00 若波源（原點(diǎn)）振動(dòng)初位相不為零若波源（原點(diǎn)）振動(dòng)初位相不為零)(2cos0 xttay)xtcosay022 )xut(cosay02 )xut(kcosa0 0cos ()xyatu或或 2 k波矢波矢，表示在，表示在2 長(zhǎng)度內(nèi)所具有的完整波的長(zhǎng)度內(nèi)所具有的完整波

10、的數(shù)目。數(shù)目。 質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度，加速度質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度，加速度)(sinuxtatyv)(cos222uxtatya0 )uxt (cosay1、如果給定、如果給定x，即，即x=x0yotttx0處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)初相為處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)初相為002 x 02 x為為x0處質(zhì)點(diǎn)落后于原點(diǎn)的位相處質(zhì)點(diǎn)落后于原點(diǎn)的位相為為x0處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程則則y=y(t)xtcos(a)t(y002 若若x0= 則則 x0處質(zhì)點(diǎn)落后于原點(diǎn)的位相為處質(zhì)點(diǎn)落后于原點(diǎn)的位相為2 是波在空間上的周期性的標(biāo)志是波在空間上的周期性的標(biāo)志二、波動(dòng)方程的物理意義二、波動(dòng)方程的物理意義波線上各點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖波線上各點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

11、圖2、如果給定、如果給定t，即，即t=t0 則則y=y(x) 221212xxx 00 )uxt (cosay表示給定時(shí)刻波線上各質(zhì)表示給定時(shí)刻波線上各質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻的位移分布點(diǎn)在同一時(shí)刻的位移分布，即給定了，即給定了t0 時(shí)刻的波形時(shí)刻的波形同一波線上任意兩點(diǎn)的振動(dòng)位相差同一波線上任意兩點(diǎn)的振動(dòng)位相差xyoux1x2 21212tt)tt( 同一質(zhì)點(diǎn)在相鄰兩時(shí)刻的振動(dòng)位相差同一質(zhì)點(diǎn)在相鄰兩時(shí)刻的振動(dòng)位相差t是波在時(shí)間上的是波在時(shí)間上的周期性的標(biāo)志周期性的標(biāo)志3.如如x,t 均變化均變化y=y(x,t)包含了不同時(shí)刻的波形包含了不同時(shí)刻的波形0 )uxt (cosa)x( yxyuoxtt t

12、x 0 )utuxtt (cosa)tt ,xx( yt時(shí)刻的波形方程時(shí)刻的波形方程t+ t時(shí)刻的波形方程時(shí)刻的波形方程0 )uxtt (cosa)x( yt時(shí)刻時(shí)刻,x處的某個(gè)振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過處的某個(gè)振動(dòng)狀態(tài)經(jīng)過 t ，傳播了，傳播了 x的距離的距離0 )uxt (cosa)t , x( y)tt , xx( y 在時(shí)間在時(shí)間 t內(nèi)整個(gè)波形沿波的內(nèi)整個(gè)波形沿波的傳播方向平移了一段距離傳播方向平移了一段距離 x) t , x( y) tt , xx( y xyuoxtt tx )(cos0222 uxtaty222022221)(costyuuxtuaxy 222221tyuxy 0 )uxt (

13、cosay求求t 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求求x的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)三、平面波的波動(dòng)微分方程三、平面波的波動(dòng)微分方程平面波的波動(dòng)微分方程 小結(jié)小結(jié)求解波動(dòng)方程方法求解波動(dòng)方程方法:1 找任意一點(diǎn)找任意一點(diǎn) 的振動(dòng)方程的振動(dòng)方程0 x0cos()yat2 寫出沿寫出沿 軸傳播的波動(dòng)方程軸傳播的波動(dòng)方程x0cos(2)xxyat沿沿 軸傳播軸傳播x0cos(2)xxyat沿沿 軸傳播軸傳播x或或cos ()xyatucos ()xyatu沿沿 軸傳播軸傳播x沿沿 軸傳播軸傳播x 例例1 1 已知波動(dòng)方程如下，求波長(zhǎng)、周期和波速已知波動(dòng)方程如下，求波長(zhǎng)、周期和波速. .)(2.50 cos05. 0si

14、xty解解：方法一（：方法一（比較系數(shù)法比較系數(shù)法）. . )(2cosxttay222.502cos05. 0 xty把題中波動(dòng)方程改寫成把題中波動(dòng)方程改寫成s8 . 05 . 22tm00. 21sm50. 2tu比較得比較得 1）波動(dòng)方程波動(dòng)方程2 例例2 一平面簡(jiǎn)諧波沿一平面簡(jiǎn)諧波沿 o x 軸正方向傳播，軸正方向傳播， 已知振已知振幅幅 ， ， . 在在 時(shí)坐標(biāo)原時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置沿點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置沿 o y 軸正方向運(yùn)動(dòng)軸正方向運(yùn)動(dòng). . 求求 0tm0 . 2m0 . 1as0 .2t0,0tyyv00 xt解解 寫出原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程寫出原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程

15、yao0cos()yat2 /t01.0cos()2yt1.0cos(2)22xyt2）求求 波形圖波形圖.(1.0sinm)xs0.1t(1.0cos 2ym)x波形方程波形方程s0.1tom/ym/x2.01.0-1.0 時(shí)刻波形圖時(shí)刻波形圖s0.1t1.0cos(2)22xyt3） 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并做圖處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并做圖 . .m5 . 0 x1.0cosyt 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程m5 . 0 x0m/y1.0-1.0s/t2.0oy1234*1234處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線m5 . 0 x1.01.0cos(2)22xyt 例例3 一平面簡(jiǎn)諧波以速度一平面簡(jiǎn)諧

16、波以速度 沿直線傳播沿直線傳播, ,波波線上點(diǎn)線上點(diǎn) a 的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程程 .s/m20u23 10cos4ayt 1）以以 a 為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程m10 utm1032as5 . 0t023 10cos(42)()10 xytmuabcd5m9mxo8m0cos(2)xxyatababxx 21052b23 10cos(4byt) 23 10cos(42)( )10 xytm 2）以以 b 為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程uabcd5m9mxo8m23 10cos4ayt3）寫出傳播方向上點(diǎn)寫出傳播方向上點(diǎn)c、點(diǎn)點(diǎn)d 的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的

17、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程uabcd5m9mxo8m2(3 10)cos4aymt點(diǎn)點(diǎn) c 的相位比點(diǎn)的相位比點(diǎn) a 超前超前23 10cos42cacyt2133 10cos45t 點(diǎn)點(diǎn) d 的相位落后于點(diǎn)的相位落后于點(diǎn) a 293 10cos45tm1023 10cos42dadyt 4）分別求出分別求出 bc ，cd 兩點(diǎn)間的相位差兩點(diǎn)間的相位差4 . 4102222dcdcxxuabcd5m9mxo8m23 10cos4ayt 6 . 110822cbcbxxm10 1）給出下列波動(dòng)方程所表示的波的給出下列波動(dòng)方程所表示的波的傳播方傳播方向向和和 點(diǎn)的初相位點(diǎn)的初相位. .0 x)(2cosxtta

18、y)(cosuxtay 2）平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為 式中式中 為正常數(shù)，求波長(zhǎng)、波速、波傳播方為正常數(shù)，求波長(zhǎng)、波速、波傳播方向上相距為向上相距為 的兩點(diǎn)間的相位差的兩點(diǎn)間的相位差. .)cos(cxbtaycba,d)cos(cxbtay)(2cosxttayc2bt2cbtudcd2思考思考),(向向x 軸軸正正向傳播向傳播),(向向x 軸軸負(fù)負(fù)向傳播向傳播 3 ） 如圖簡(jiǎn)諧波如圖簡(jiǎn)諧波以余弦函數(shù)表示，以余弦函數(shù)表示，求求 o、a、b、c 各各點(diǎn)振動(dòng)點(diǎn)振動(dòng)初相位初相位. .)(oyxuabcaat=t/4t =0o2a0b2coyaoyaoyaoya例例4 一平面簡(jiǎn)諧波以

19、波速一平面簡(jiǎn)諧波以波速u=200ms-1 沿沿 x 軸正方向傳播軸正方向傳播, 在在 t = 0 時(shí)刻的波形如圖所示。時(shí)刻的波形如圖所示。 (2) 求求 t = 0.1 s , x = 10 m 處質(zhì)點(diǎn)的位移、振動(dòng)速度和加速度處質(zhì)點(diǎn)的位移、振動(dòng)速度和加速度。 u = 200ms-1t = 0 時(shí)波形時(shí)波形(1) 求求 o 點(diǎn)的振動(dòng)方程與波動(dòng)方程點(diǎn)的振動(dòng)方程與波動(dòng)方程 ；y123450.02o(m)(m)xam4hzu50420011002s解：解：(1) o 點(diǎn)振動(dòng)方程點(diǎn)振動(dòng)方程 taycos(2) t = 0.1 s , x = 10 m 處質(zhì)點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)位移位移速度速度加速度加速度 2100c