隱函數有求導法則課件

1、上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、一個方程的情形二、方程組的情形8.5 隱函數的求導法則上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、一個方程的情形v隱函數存在定理1 設函數F(x y)在點P(x0 y0)的某一鄰域內具有連續(xù)偏導數 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 則方程F(x y)0在點(x0 y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數的函數yf(x) 它滿足條件y0f(x0) 并有yxFFdxdy-.上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institu

2、te of Chemical Technology 例1 驗證方程x2y2-10在點(0 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、當x0時y1的隱函數yf(x) 并求這函數的一階與二階導數在x0的值. 解 設F(x y)x2y2-1 Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20.隱函數存在定理1:則 設函數F(x y)在點P(x0 y0)的某一鄰域內具有連續(xù)偏導數 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 則方程F(x y)0在點(x0 y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數的函數yf(x) 它滿足條件y0f(x0). 由隱函數存在定理 方程x2y2-10在點(0 1

3、)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、當x0時y1的隱函數yf(x). 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 設F(x y)x2y2-1 Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20.則由隱函數存在定理 方程x2y2-10在點(0 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、當x0時y1的隱函數yf(x). 提示: 由方程F(x y)0確定的隱函數yf(x)的導數為 yxFFdxdy-. yxFFdxdyyx- 00 xdxdy; 例1 驗證方程x2y2-10在點(0 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、當x0時

4、y1的隱函數yf(x) 并求這函數的一階與二階導數在x0的值. 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 設F(x y)x2y2-1 Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20.則由隱函數存在定理 方程x2y2-10在點(0 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、當x0時y1的隱函數yf(x). yxFFdxdyyx- 00 xdxdy; 例1 驗證方程x2y2-10在點(0 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、當x0時y1的隱函數yf(x) 并求這函數的一階與二階導數在x0的值. 32221yyyxydxyd

5、-32221yyyxydxyd- 1022-xdxyd. 32221yyyxydxyd- 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv隱函數存在定理2 設函數F(x y z)在點P(x0 y0 z0)的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0 則方程F(x y z)0在點(x0 y0 z0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函數zf(x y) 它滿足條件z0f(x0 y0) 并有zxFFxz- zyFFyz-. 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemi

6、cal Technology令F(x y z)z3-3xyz-a3 則 解 : : 由方程F(x y z)0確定的隱函數zf(x y)的偏導數為zxFFxz- zyFFyz-. 例2 設z3-3xyza3 求 . yxz2xyzxzxyzxzFFyzzy-22333)()(22xyzyzyxzyyxz-222)()2()(xyzxyzzyzxyzyzyz-22222)()2()()(xyzxxyzxzzyzxyzxyzxzyz-322224)()2(xyzyxxyzzz-xyzyzxyzyzFFxzzx-22333, 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical

7、 Technology思路：解令, zyxu,xyzv 則),v, u(fz yx 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyxz)xz1 (fu),xzxyyz(fv整理得xz,xyff1yzffvuvu-) 1yx(f0u),yxyzxz(fv上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology整理得,yzffxzffvuvu-yx) 1zy(f1u),zyxzxy(fv整理得zy.xzffxyff1vuvu-上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical T

8、echnology二、方程組的情形 在一定條件下方程組F(x y u v)0 G(x y u v)0能確定一對二元函數uu(x y) vv(x y). 例如 方程xu-yv0和yuxv1可以確定兩個二元函數 事實上 能否根據原方程組求uu(x y) vv(x y)的偏導數？ 22yxyu22yxxv.2222yxxyxyyxv2222yxxyxyyxv. xu-yv0 -yv0 uyxv1uyxxyu1uyxxyu22yxyu 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 設方程組F(x y u v)0 G(x y u v)0確定一對具有連

9、續(xù)偏導數的二元函數uu(x y) vv(x y) 則 二、方程組的情形 在一定條件下方程組F(x y u v)0 G(x y u v)0能確定一對二元函數uu(x y) vv(x y). 偏導數xu xv可由方程組. 0, 0 xvGxuGGxvFxuFFvuxvux確定; 偏導數yu yv可由方程組. 0, 0yvGyuGGyvFyuFFvuyvuy確定. 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 當x2y20時 解之得 兩個方程兩邊分別對x求偏導 得方程組 兩個方程兩邊分別對y求偏導 得方程組 當x2y20時 解之得 例 3 設 xu-yv0 yuxv1 求xu xv yu和yv. -00 xvxvxuyxvyxuxu 22yxyvxuxu- 22yxxvyuxv-. -00yvxyuyuyvyvyux 22yxyuxvyu- 22yxyvxuy