一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

1、.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、學(xué)會(huì)用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值。2、理解并掌握應(yīng)用韋達(dá)定理求待定系數(shù)。3、理解并掌握應(yīng)用韋達(dá)定理構(gòu)造方程，解方程組。4、能應(yīng)用韋達(dá)定理分解二次三項(xiàng)式。知識(shí)框圖 求代數(shù)式的值 求待定系數(shù)一元二次 韋達(dá)定理 應(yīng)用 構(gòu)造方程方程的求 解特殊的二元二次方程組根公式 二次三項(xiàng)式的因式分解【內(nèi)容分析】韋達(dá)定理：對(duì)于一元二次方程，如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么說明：（1）定理成立的條件（2）注意公式重的負(fù)號(hào)與b的符號(hào)的區(qū)別根系關(guān)系的三大用處（1）計(jì)算對(duì)稱式的值例 若是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)

2、的關(guān)系得：(1) (2) (3) (4) 說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想【課堂練習(xí)】1設(shè)x1，x2是方程2x26x30的兩根，則x12x22的值為_2已知x1，x2是方程2x27x40的兩根，則x1x2 ，x1·x2 ，（x1x2）2 3已知方程2x23x+k=0的兩根之差為2，則k= ;4若方程x2+(a22)x3=0的兩根是1和3，則a= ;5若關(guān)于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根互為倒數(shù)，那么m的值為 ;6 設(shè)x1,x2是方程2x26x+3=0的兩個(gè)根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22

3、 (2) 7已知x1和x2是方程2x23x1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：（2）構(gòu)造新方程理論：以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程是。例 解方程組 x+y=5            xy=6    解：顯然，x，y是方程z2-5z+60 的兩根由方程解得 z1=2,z2=3原方程組的解為 x1=2,y1=3           

4、0;     x2=3,y2=2顯然，此法比代入法要簡單得多。（3）定性判斷字母系數(shù)的取值范圍例 一個(gè)三角形的兩邊長是方程的兩根，第三邊長為2，求k的取值范圍。解：設(shè)此三角形的三邊長分別為a、b、c，且a、b為的兩根，則c=2由題意知k2-4×2×20，k4或k-4 為所求?！镜湫屠}】例1 已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值(1) 方程兩實(shí)根的積為5；(2) 方程的兩實(shí)根滿足分析：(1) 由韋達(dá)定理即可求之；(2) 有兩種可能，一是，二是，所以要分類討論解：(1) 方程兩實(shí)根的積為5 所以，當(dāng)時(shí)，方程兩實(shí)根的積為5(2) 由

5、得知：當(dāng)時(shí)，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故；當(dāng)時(shí)，由于 ，故不合題意，舍去綜上可得，時(shí)，方程的兩實(shí)根滿足說明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足例2 已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(1) 是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)您說明理由(2) 求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值解：(1) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使成立 一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ， 又是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ，但 不存在實(shí)數(shù)，使成立 (2) 要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值為說明：(1) 存在性問題的題型，通常是先假設(shè)存在，然

6、后推導(dǎo)其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在 (2) 本題綜合性較強(qiáng)，要學(xué)會(huì)對(duì)為整數(shù)的分析方法一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題A 組1一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是()ABCD2若是方程的兩個(gè)根，則的值為()ABCD3已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且OA、OB的長分別是關(guān)于的方程的根，則等于()ABCD4若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是()ABCD大小關(guān)系不能確定5若實(shí)數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為()ABCD6如果方程的兩根相等，則之間的關(guān)系是 _ 7已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長是 _ 8若方

7、程的兩根之差為1，則的值是 _ 9設(shè)是方程的兩實(shí)根，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則= _ ，= _ 10已知實(shí)數(shù)滿足，則= _ ，= _ ，= _ 11對(duì)于二次三項(xiàng)式，小明得出如下結(jié)論：無論取什么實(shí)數(shù)，其值都不可能等于10您是否同意他的看法？請(qǐng)您說明理由12若，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的的正實(shí)數(shù)根，求的值13已知關(guān)于的一元二次方程(1) 求證：不論為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 若方程的兩根為，且滿足，求的值14已知關(guān)于的方程的兩根是一個(gè)矩形兩邊的長(1) 取何值時(shí)，方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根？(2) 當(dāng)矩形的對(duì)角線長是時(shí)，求的值B 組1已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(1) 求的取值范圍；(2) 是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)您說明理由2已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于11求證：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根3若是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)