分布函數(shù)的計(jì)算PPT課件

1、 分布函數(shù)的計(jì)算在整個(gè)信息統(tǒng)計(jì)分析應(yīng)用中起著基礎(chǔ)性的作用，當(dāng)我們建立了某個(gè)統(tǒng)計(jì)模型后，會(huì)產(chǎn)生很多的統(tǒng)計(jì)量，用它們對(duì)某個(gè)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。這時(shí)必須知道這些統(tǒng)計(jì)量的分布，某一點(diǎn)的概率、某概率的分位點(diǎn)。在學(xué)習(xí)概率論時(shí)我們已經(jīng)知道用查表的方法進(jìn)行計(jì)算。本章介紹分布函數(shù)的計(jì)算方法，以及如何用MATLAB的統(tǒng)計(jì)工具箱計(jì)算各種分布的概率與分位點(diǎn)的計(jì)算。 第1頁(yè)/共89頁(yè)1、密度函數(shù)和分布函數(shù) 密度函數(shù)和分布函數(shù)是反映隨機(jī)變量的總體規(guī)律的函數(shù)，當(dāng)一個(gè)變量X在沒(méi)有抽樣之前不知會(huì)有什么結(jié)果，但結(jié)果的范圍是知道的，這樣的變量稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量可以分為：（1）連續(xù)型隨機(jī)變量（2）離散型隨機(jī)變量（1）連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)

2、變量的結(jié)果空間是實(shí)數(shù)，例如服從（0，1）上的均勻分布隨機(jī)數(shù)、人體身高隨機(jī)數(shù)等。例3.1.1 續(xù)型隨機(jī)變量的例子： 大學(xué)生男性身高X、隨機(jī)抽一個(gè)大學(xué)生量其身高得隨機(jī)變量的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，例如x=1.75米。則X是一個(gè)連續(xù)型的隨機(jī)變量。這種隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。正態(tài)分布是統(tǒng)計(jì)分析中極其重要的分布。第2頁(yè)/共89頁(yè)（2）離散型隨機(jī)變量 當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量X的結(jié)果空間有有限個(gè)元素或可列個(gè)元素時(shí)，稱該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。例3.1.2 離散型隨機(jī)變量的例 設(shè)某汽車站7點(diǎn)到7點(diǎn)05分等車的人數(shù)為一變量X，顯然X可取值0，1，2，3，。則X是一個(gè)離散型的隨機(jī)變量。事實(shí)上這種隨機(jī)變量稱為服從泊松分布規(guī)律的隨機(jī)變量。

3、 投一硬幣，正面為1，反面為0。記該隨機(jī)變量為X，則其結(jié)果空間為0，1。也是一個(gè)離散隨機(jī)變量。（一）密度函數(shù)和分布律 隨機(jī)變量X在沒(méi)有發(fā)生時(shí)我們不知到，也不能預(yù)測(cè)其結(jié)果，看似隨機(jī)變量沒(méi)有規(guī)律。但是我們進(jìn)行大量抽樣或?qū)嶒?yàn)時(shí)，卻可以看見明顯的規(guī)律。第3頁(yè)/共89頁(yè)例3.1.3： 對(duì)男性大學(xué)生隨機(jī)抽檢，共抽400名大學(xué)生測(cè)量其身高。將身高區(qū)間（1.50, 2.1）分劃分成若干段，計(jì)算每段學(xué)生身高的數(shù)量，并作直方圖。% 第三章，例3.1.3R = normrnd(1.7,0.1,400,1); % 產(chǎn)生正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)histfit(R,12) % 作直方圖并建立擬合曲線第4頁(yè)/共89頁(yè)從例3.1.3

4、可以看出，大學(xué)生身高的一些特點(diǎn)。1）首先身高在平均值附近的人數(shù)特別多。2）從直方圖中我們可以看出身高的趨勢(shì)具有對(duì)稱性。3）離平均值越遠(yuǎn)數(shù)量越少。 這是典型的正態(tài)分布的特點(diǎn)?？梢韵胂螽?dāng)我們抽樣量增大應(yīng)該有一個(gè)理論函數(shù)作為極限。 密度函數(shù)（inv）稱這個(gè)理論函數(shù)為連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)，上圖中的紅線所顯示的就是密度函數(shù)的圖形。在MATLAB這密度函數(shù)用inv來(lái)表示。正態(tài)分布的密度函數(shù) p 表達(dá)式為： 22221)( xexp第5頁(yè)/共89頁(yè)其中參數(shù)： ：為平均值。是隨機(jī)變量中心趨勢(shì)的描述。 exxpx!)|(：為標(biāo)準(zhǔn)差。是隨機(jī)變量離散程度的描述。 分布律（inv）對(duì)于離散型隨機(jī)變量，分布律相當(dāng)于

5、連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。例3.1.4：作泊松分布隨機(jī)變量的分布律圖形。這里 為參數(shù)，表示隨機(jī)變量的平均值和方差。 第6頁(yè)/共89頁(yè)設(shè)平均值為5，算出0到10的分布律X=0:10;Y = poissinv(X,5); % 計(jì)算泊松分布每點(diǎn)的概率stem(X,Y) % 作分布律圖形第7頁(yè)/共89頁(yè)（二）分布函數(shù)cdf 分布函數(shù)是對(duì)密度函數(shù)進(jìn)行積分，其表達(dá)式為： xdxxpxXPxF)()()(1)(0 xF分布函數(shù)函數(shù)具有以下性質(zhì)：)()(2121xFxFxx 1）對(duì)任意x有2）單調(diào)不降， 利用分布函數(shù)我們可以計(jì)算隨機(jī)變量X落在某一范圍的概率，或者說(shuō)我們掌握了該隨機(jī)變量的規(guī)律了。連續(xù)型 niii

6、xpxXPxF0)()()(離散型第8頁(yè)/共89頁(yè) 例3.1.5：分別作出連續(xù)型和離散型隨機(jī)變量的inv和cdf（1）設(shè)男性大學(xué)生的身高X的平均值為1.7米，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1米。作密度函數(shù)和分布函數(shù)。利用MATLAB中的正態(tài)分布norminv和normcdf命令進(jìn)行計(jì)算X=linspace(1.4,2.1,100);P = normcdf(X,1.7,0.1); p = norminv(X,1.7,0.1);subplot(1,2,1),plot(X,p),title(身高密度函數(shù))subplot(1,2,2),plot(X,P),title(身高分布函數(shù))第9頁(yè)/共89頁(yè)（2）設(shè)X服從均值為5

7、的泊松分布，作分布律和分布函數(shù)圖形。X=0:10;Y = poissinv(X,5);Y1= poisscdf(X,5)subplot(1,2,1),stem(X,Y),title(泊松分布律)subplot(1,2,2),stairs(X,Y1),title(泊松分布函數(shù))第10頁(yè)/共89頁(yè)（三）下側(cè)概率、上側(cè)概率和分位點(diǎn) 下側(cè)概率的定義： xdxxpxXPxF)()()(上側(cè)概率的定義： xdxxpxXPxF)()()(1第11頁(yè)/共89頁(yè) 利用分布函數(shù)我們可以計(jì)算隨機(jī)變量X落在某一范圍的概率，或者說(shuō)我們掌握了該隨機(jī)變量的規(guī)律了。例如隨機(jī)變量X小于分位點(diǎn)的概率即下側(cè)概率，大于分位點(diǎn)的概率即

8、上側(cè)概率。而隨機(jī)變量落入x1和x2之間的概率可用以下公式計(jì)算。)()()(1221xFxFxXxP 第12頁(yè)/共89頁(yè)例3.1.6：男性大學(xué)生身高X的平均值為1.7米，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1米。1）計(jì)算身高小于1.8米大于1.6米發(fā)生的概率，即隨機(jī)變量X落入?yún)^(qū)間（1.6, 1.8）的概率。2）求下側(cè)概率為0.95的分位點(diǎn)。解：本題利用分布函數(shù)進(jìn)行計(jì)算 P(1.6X1.8)=F(1.8)-F(1.6)% 例 3.1.6 計(jì)算身高小于1.8米大于1.6米發(fā)生的概率P = normcdf(1.8,1.7,0.1)- normcdf(1.6,1.7,0.1)計(jì)算結(jié)果為：P=0.6827X = norminv(

9、0.95,1.70,0.1) % 計(jì)算下側(cè)概率的分位點(diǎn)計(jì)算結(jié)果為：X=1.8645，即有95%的人身高在1.86以下。第13頁(yè)/共89頁(yè)例3.1.7：設(shè)某車站7：00到7：05分等車人數(shù)為服從泊松分布的隨機(jī)變量X，均值為5。求1）人數(shù)小于等于12發(fā)生的概率。2）人數(shù)大于等于8發(fā)生的概率。3）計(jì)算上側(cè)概率為0.05的分位點(diǎn)。解：本題利用分布函數(shù)進(jìn)行計(jì)算!5)12()12(1215ieXPFii 1）小于12的計(jì)算公式為：P = poisscdf(12,5) % 小于12的概率計(jì)算結(jié)果為：P=0.9982）大于8的計(jì)算公式為：1-F(8)P = poisscdf(12,5) % 小于12的概率第1

10、4頁(yè)/共89頁(yè)3) 按題義命令為：按題義命令為：x=poissinv(0.95,5)計(jì)算結(jié)果為：x=9第15頁(yè)/共89頁(yè)（一）積分計(jì)算的一般方法分布函數(shù)的一般形式為：xdxxfxF)()(問(wèn)題實(shí)際歸為求積分， 當(dāng)密度函數(shù)非常復(fù)雜或用解析方法不能積分時(shí)，我們常常使用數(shù)值積分的方法來(lái)處理。 (3.2.1)badxxf)(2、分布函數(shù)的一般計(jì)算方法第16頁(yè)/共89頁(yè)其基本思想是，用簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)代替復(fù)雜的被積函數(shù)。例如在被積函數(shù)的定義域內(nèi)選一系列的點(diǎn)。nxxx,10)(,),(),(10nxfxfxf然后求在該點(diǎn)處的函數(shù)值定義插值多項(xiàng)式如下： niiinxfxlxL0)()()(（3.1.2)其中)()

11、()()(11ininixxxxxl第17頁(yè)/共89頁(yè))()()(101nnxxxxxxx這里)()()()(110niiiiiiinxxxxxxxxx)(xLn稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式，其具有以下性質(zhì)：1）。2） 在上點(diǎn)與點(diǎn)之間為線性函數(shù)。nixfxLiin, 2 , 1 , 0)()( 顯然有以下關(guān)系式成立：)()()(xRxLxfnn（3.1.3)(xRn其中是誤差函數(shù)。 第18頁(yè)/共89頁(yè)可以證明，當(dāng) )(xf有n+1階有界導(dǎo)數(shù)時(shí)， ),()()!1()()()1(1bafnxxRnnn （3.1.4)0)()1( xfn當(dāng)時(shí)，即當(dāng))(xf是不高于 n 階的多項(xiàng)式時(shí)，有)()(xLxfn

12、 對(duì)(3.1.3)兩邊積分，我們有 banibabaniidttRdttlxfdttf0)()()()(3.1.5)0)( xRn第19頁(yè)/共89頁(yè)從而我們可以得到積分的一般近似公式 : niiibaxfAdttf0)()( 3.1.7)其中， baiidttlA)(3.1.7)稱為NewtonCotes型積分公式，而Ai 為Cotes系數(shù)，其誤差為 bandttRE)(這樣我們就將一個(gè)復(fù)雜的積分問(wèn)題，近似地用代數(shù)和的形式來(lái)代替了。關(guān)于計(jì)算的精度我們可以通過(guò) E 來(lái)估計(jì)。目前一些數(shù)學(xué)軟件如Mathematica等，可以方便地獲取Cotes系數(shù)， 第20頁(yè)/共89頁(yè)x0 x1x2x3x4f(x2

13、)f(x4)紅色折線為拉格朗日插值多項(xiàng)式第21頁(yè)/共89頁(yè)l l 代數(shù)精度概念 定義 3.1.1 若某個(gè)求積公式對(duì)于小于等于n 的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成立，但對(duì)n+1次多項(xiàng)式則不能。則稱該求積公式具有n次代數(shù)精度。例3.1.1 梯形求積公式 )()()()(2)(1100 xfAxfAbfafabdttfba 當(dāng) 時(shí)，左邊=右邊。準(zhǔn)確地成立。 1)( xfxxf )(當(dāng)時(shí)，也準(zhǔn)確成立。 baabbaabbfafababtdt2)(2)()(2,22222第22頁(yè)/共89頁(yè)當(dāng)時(shí) baabdtt33323)(23322abbaab ，而所以梯形求積公式具有一次代數(shù)精度。例3.1.2 利用梯形、拋物線及

14、NewtonCotes求積公式（n=7）計(jì)算解：（1）梯形求積公式Cotes系數(shù)為1/2，1/2，dxx 150。4267767. 0)15 . 0(22/1150 dxx。abh 2)(xxf 第23頁(yè)/共89頁(yè)（2）拋物線求積公式Cotes系數(shù)為1/6，4/6，1/6430934. 0)175. 045 . 0(62/1150 dxx。（3）取7個(gè)點(diǎn)Cotes系數(shù)為41/840，9/35，9/280，34/105，9/280，9/35，/41/840430964. 015 . 0 dxx第24頁(yè)/共89頁(yè)復(fù)合求積公式對(duì)于一個(gè)求積公式，我們要求它們的算法穩(wěn)定并收斂，但不幸的是 NewtonC

15、otes 求積公式并不穩(wěn)定，在某些情況下計(jì)算不收斂。例3.1.3 討論函數(shù) 在區(qū)間-1，1，用Cotes系數(shù)計(jì)算的收斂問(wèn)題。)251(1)(2xxf 11254936. 0)251(1dxx如用 Newton-Cotes 求積公式，則在該區(qū)間不收斂。請(qǐng)見以下結(jié)果 n=1時(shí) NC=0.07692 n=2時(shí) NC=1.35897n=10時(shí) NC=0.93466 n=40時(shí) NC=-4912.42第25頁(yè)/共89頁(yè)顯然 NewtonCotes 求積公式有致命的弱點(diǎn)。 為改善求積公式，我們使用復(fù)合求積公式。其基本思想是把積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間中用次數(shù)不高的插值多項(xiàng)式近似逼近。1）復(fù)合梯形求

16、積公式對(duì)區(qū)間a, bn等份，基點(diǎn)對(duì)每個(gè)小區(qū)間用梯形求積公式，則nabhniihaxi/ )(, 2 , 1 , 0, banixxniiiiiiixfxfxxdxxfdxxfI1010111)()(2)()()( 11)(2)()(2ninTihafbfafh第26頁(yè)/共89頁(yè) Tn 稱為復(fù)合梯形公式。為便于按迭代計(jì)算，在原有的分劃基礎(chǔ)上把區(qū)間分為 2n 等分，每個(gè)小區(qū)使用梯形公式，則有)(212nnnHTT ninhiafhH1)12(這里2）復(fù)合拋物線求積公式復(fù)合拋物線求積公式具有比復(fù)合梯形求積公式更快的收斂速度。拋物線公式用到了區(qū)間的中點(diǎn)，所以對(duì)區(qū)間a, b進(jìn)行劃分時(shí)應(yīng)該分成偶數(shù)個(gè)小區(qū)間

17、。第27頁(yè)/共89頁(yè)令n=2m，m為正整數(shù)，在每個(gè)小區(qū)間 上用拋物線公式 2,22iixx nabhxfxfxfhdxxfixxiiii ),()(4)2(62)(21222222 bamixxmiiiiiixfxfxfhdxxfdxxfI1121222222)()(4)(3)()(從而nmimiiiSxfxfbfafh 111212)(2)(4)()(3第28頁(yè)/共89頁(yè)3) 步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇與停止準(zhǔn)則 在實(shí)際計(jì)算中，往往是先給出誤差精度，在保證精度的前提下，沒(méi)有必要將區(qū)間無(wú)限的分下去。假設(shè)給出的誤差精度為 ，若0 nnTT2則對(duì)區(qū)間劃分到 2n 等分即告停止。 例3.1.3 對(duì)于誤差為0.0

18、00001，我們來(lái)看用復(fù)合梯形積分公式和復(fù)合拋物線求積公式計(jì)算結(jié)果 112)251 (1dxx第29頁(yè)/共89頁(yè)復(fù)合梯形求積公式的結(jié)果 結(jié)果為：n = 12 t = 0.5496878 eps = 0.0004596結(jié)果為：n = 24 t = 0.54927516 eps = 0.0004126結(jié)果為：n = 48 t = 0.54933891 eps = 0.0000638結(jié)果為：n = 96 t = 0.54935496 eps = 0.0001604結(jié)果為：n = 192 t = 0.54936892 eps = 4.01210-6結(jié)果為：n = 384 t = 0.54935997

19、eps = 1.003210 -6結(jié)果為：n = 768 t = 0.54936022 eps = 2.50810-7復(fù)合拋物線求積公式的結(jié)果 結(jié)果為：n = 12 t = 0.54036028 eps = 0.1036734結(jié)果為：n = 24 t = 0.54913762 eps = 0.0087778結(jié)果為：n = 48 t = 0.549360162 eps = 0.0002225結(jié)果為：n = 96 t = 0.54936031 eps = 1.42910-7第30頁(yè)/共89頁(yè)l高斯（Gauss）型求積公式我們已經(jīng)知道用NowtonCotes系數(shù)來(lái)進(jìn)行近似積分，其一般公式為： nii

20、ibaxfAdttf0)()( baiidttlA)(其基點(diǎn) 是等距離的，且代數(shù)精度最多僅為n+1，并且對(duì)于某些積分步收斂。能否通過(guò)改變基點(diǎn)的距離來(lái)提高計(jì)算的精度和穩(wěn)定性呢？回答是肯定的。定義3.1.2 如果區(qū)間a，b的一組基點(diǎn) 能夠使得插值求積公式具有2n+1次代數(shù)精度，則稱其為高斯型插值求積公式，其基點(diǎn)稱為高斯點(diǎn)，而系數(shù)Ai則稱為高斯系數(shù)。 nxxx,10 nxxx,10第31頁(yè)/共89頁(yè)高斯點(diǎn)與正交多項(xiàng)式的關(guān)系定理3.1.3 是區(qū)間 a，b 上的高斯點(diǎn)的充分必要條件為多項(xiàng)式 是區(qū)間 a，b 上的 n+1 次正交多項(xiàng)式。例3.1.6 我們?nèi)匀粊?lái)看前面的例子，對(duì)積分nxxx,10)()()(

21、101nnxxxxxxxw 112)251(1dxx 利用高斯插值公式進(jìn)行近似計(jì)算。解：這里我們?nèi)?5個(gè)高斯點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果為 I = 0.549362第32頁(yè)/共89頁(yè)3 3、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值計(jì)算 任何正態(tài)分布的隨機(jī)變量 X 通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化即 U =（X）/S其中 =E（X） S=V（X）從而得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量U。因此我們僅考慮標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的計(jì)算，隨機(jī)變量U以2221)1 , 0 ,(ueuf 第33頁(yè)/共89頁(yè)為 u 的概率密度函數(shù)，記為UN（0，1）。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量U有E（U）= 0V（U）= 1（一） 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與誤差函數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的下側(cè)概率（即分布函數(shù)）

22、為 utdteu2221)( 上側(cè)概率為 utdteua2221)(1 第34頁(yè)/共89頁(yè)上側(cè)概率分位點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)概率與分位點(diǎn)：第35頁(yè)/共89頁(yè)用于計(jì)算上側(cè)概率的誤差函數(shù)，定義為： xduueXErf0222)( (0 X x) 5 . 0)X2( 2)X(Erf通過(guò)變換有 )0()2|(1 5 . 0)()0()2(1 5 . 0)(uuErfuuuErfu則分布函數(shù)的計(jì)算公式為：第36頁(yè)/共89頁(yè)（二）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的數(shù)值計(jì)算 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的近似公式很多，在此僅舉一例。 )0() |1(2/1)()0()1(2/11)(441441uuauuuauiiiiii其中 a1

23、=0.196854 a2=0.115194 a3=0.000344 a4=0.019527其最大絕對(duì)誤差是2.5104，這是一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)用的近似公式，在精度要求不高時(shí)用起來(lái)很方便。 第37頁(yè)/共89頁(yè)其中的一種近似公式為 115 . 05 . 005 . 00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)uuu 31201iiiiiiydycyu 這里第38頁(yè)/共89頁(yè)其中c0=2.515517 d1=1.432788c1=0.802853 d2=0.189269c2=0.010328 d3=0.001308 上述近似公式的最大絕對(duì)誤差為0.00044。其它隨機(jī)變量的分布函數(shù)也是按照某種近似公式計(jì)算的。第39頁(yè)/共8

24、9頁(yè)5、統(tǒng)計(jì)工具箱的各種分布計(jì)算（一）各種分布的概率計(jì)算MATLAB給出了各種分布的隨機(jī)數(shù)的計(jì)算，部分列表如下：命令命令含義含義chi2cdf(X,V)卡方分布，卡方分布，v是自由度是自由度 fcdf(X,V1,V2)F分布，分布，v1,v2，為自由度，為自由度expcdf(X, MU)指數(shù)分布，指數(shù)分布，MU為參數(shù)為參數(shù) poisscdf(X,LMD)泊松分布，泊松分布，LMD為參數(shù)為參數(shù)normcdf(X,MU,SIGMA)正態(tài)分布正態(tài)分布tcdf(X,V)學(xué)生分布，學(xué)生分布，v是自由度是自由度 unifcdf(X,A,B)區(qū)間區(qū)間A，B上的均勻分布上的均勻分布第40頁(yè)/共89頁(yè)命令命令含

25、義含義chi2pdf(X,V)卡方分布，卡方分布，v是自由度是自由度 fpdf (X,V1,V2)F分布，分布，v1,v2，為自由度，為自由度exppdf (X, MU)指數(shù)分布，指數(shù)分布，MU為參數(shù)為參數(shù) poisspdf (X,LMD)泊松分布，泊松分布，LMD為參數(shù)為參數(shù)normpdf (X,MU,SIGMA)正態(tài)分布正態(tài)分布tpdf (X,V)學(xué)生分布，學(xué)生分布，v是自由度是自由度 unifpdf (X,A,B)區(qū)間區(qū)間A，B上的均勻分布上的均勻分布部分隨機(jī)變量的密度函數(shù)pdf第41頁(yè)/共89頁(yè)部分隨機(jī)變量的分位點(diǎn)計(jì)算inv命令命令含義含義chi2inv(P,V)卡方分布，卡方分布，v

26、是自由度是自由度 finv(P,V1,V2)F分布，分布，v1,v2，為自由度，為自由度expinv(P, MU)指數(shù)分布，指數(shù)分布，MU為參數(shù)為參數(shù) poissinv(P,LMD)泊松分布，泊松分布，LMD為參數(shù)為參數(shù)norminv(P,MU,SIGMA)正態(tài)分布正態(tài)分布tinv(P,V)學(xué)生分布，學(xué)生分布，v是自由度是自由度 unifinv(P,A,B)區(qū)間區(qū)間A，B上的均勻分布上的均勻分布第42頁(yè)/共89頁(yè)（二）分布函數(shù)各種計(jì)算命令的命名規(guī)則分布計(jì)算命令分為三部分，即分布名、計(jì)算名和參數(shù)。例如：分布名計(jì)算名norm inv (a1,a2,ak) 參數(shù)部分例如：計(jì)算正態(tài)分布的分位點(diǎn)命令語(yǔ)法

27、為：X = norminv(P,MU,SIGMA)這里：P：給定的正態(tài)分布下側(cè)概率 MU：為均值 SIGMA：為方差第43頁(yè)/共89頁(yè)（三）卡方分布 ：如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：2 )2/(2)(22/2/ )2(vexxpvxv 則稱隨機(jī)變量X服從自由度為v的卡方分布，卡方分布在統(tǒng)計(jì)推斷中具有十分重要的作用，特別是在分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)時(shí)。例3.5.1 關(guān)于卡方分布和正態(tài)分布的關(guān)系(1) 作出自由度為4的卡方分布的密度和分布圖形x=linspace(0,20,100);p=chi2inv(x,4);P=chi2cdf(x,4);subplot(1,2,1),plot(x,p),title(c

28、hi2inv)subplot(1,2,2),plot(x,P),title(chi2cdf)第44頁(yè)/共89頁(yè)從密度圖中可以看出卡方隨機(jī)變量X的取值均大于0，自由度v就是該隨機(jī)變量的均值，方差為2v。第45頁(yè)/共89頁(yè)（2）產(chǎn)生1000個(gè)自由度為4的卡方隨機(jī)數(shù)，并估計(jì)均值和方差。R=chi2rnd(4,1,1000); % 產(chǎn)生自由度為4的卡方分布隨機(jī)數(shù)ER=mean(R) % 估計(jì)1000個(gè)樣本的均值Var=var(R) % 估計(jì)1000個(gè)樣本的方差結(jié)果為：ER = 4.0362Var = 8.2509而理論值為：均值即為自由度v，方差為2v。（3）設(shè)X為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。問(wèn)統(tǒng)計(jì)量KA

29、服從何分布？24232221XXXXKA 解題思路：對(duì)統(tǒng)計(jì)量KA抽1000次樣，每次計(jì)算是抽4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，并按上面的公式計(jì)算出一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的值。對(duì)1000個(gè)樣本作直方圖，看其趨勢(shì)。再調(diào)用分布檢驗(yàn)命令來(lái)確定屬于那一分布。第46頁(yè)/共89頁(yè)% 對(duì)（3）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)for i=1:1000 R=normrnd(0,1,4,1); KA(i)=R*R;End % 以上抽1000個(gè)按公式計(jì)算的樣本hist(KA,20) % 調(diào)用直方圖命令作圖kstest(KA, KA chi2cdf(KA, 4) %檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否來(lái)自卡方分布ans = 0接受原假設(shè)來(lái)自自由度為4的卡方分布。第47頁(yè)/共89頁(yè)（4）計(jì)

30、算卡方下側(cè)概率為0.05和0.95的分位點(diǎn)。q1=chi2inv(0.05,4)q2=chi2inv(0.95,4)計(jì)算結(jié)果為：q1 = 0.7107q2 = 9.4877第48頁(yè)/共89頁(yè)（四）F分布 ：如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為： 2/212/21121121)2/2()2/1(2/21)(vvvvxvvxvvvvvvxp 例3.5.2 作出第一自由度為7，第二自由度為4的F分布的密度和分布圖形x=linspace(0,20,100);v1=7;v2=4P=fcdf(x,v1,v2);p=fpdf(x,v1,v2);subplot(1,2,1),plot(x,p),title(fpdf)s

31、ubplot(1,2,2),plot(x,P),title(fcdf)第49頁(yè)/共89頁(yè)第50頁(yè)/共89頁(yè)（五）隨機(jī)變量的數(shù)字特征計(jì)算 Descriptive Statistics命令命令含義含義mean(X)求樣本的平均值求樣本的平均值median(X)求樣本的中位數(shù)求樣本的中位數(shù)var(X)求樣本的方差求樣本的方差std(X)求樣本的標(biāo)準(zhǔn)差求樣本的標(biāo)準(zhǔn)差skewness(X)求樣本的偏度求樣本的偏度kurtosis(X)求樣本的峰度求樣本的峰度corrcoef(X)求多變量樣本的相關(guān)系數(shù)求多變量樣本的相關(guān)系數(shù)隨機(jī)變量X的數(shù)字特征，也是隨機(jī)變量性質(zhì)的一種描述。它們反映了諸如隨機(jī)變量的中心趨勢(shì)

32、（如均值、中位數(shù)、模等），和離差程度（如方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差等），還描述隨機(jī)變量的分布特性（如偏度和峰度等） 第51頁(yè)/共89頁(yè)(1) (1) 樣本均值的計(jì)算meanmean計(jì)算公式為： niiXnm11 中心趨勢(shì)度量的數(shù)字特征設(shè)一組樣本為：X X1 1，X X2 2，X Xn n(2) (2) 樣本的50%50%中位數(shù)計(jì)算median計(jì)算公式為：,|Xmedian )()2()1(n/2nXXX (3) (3) 樣本的幾何均值計(jì)算geomean計(jì)算公式為：nninXGOEM/11 第52頁(yè)/共89頁(yè)(1) (1) 樣本方差的計(jì)算varvar計(jì)算公式為： 2111var niiXXn 離散程度度

33、量的數(shù)字特征設(shè)一組樣本為：X X1 1，X X2 2，X Xn n(2) (2) 樣本的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算stdstd計(jì)算公式為： 2111 niiXXnstd(3) (3) 樣本的極差rangerange計(jì)算公式為：),min(),max(2121nnXXXXXXrang 第53頁(yè)/共89頁(yè)例3.5.3 計(jì)算200個(gè)服從正態(tài)分布的樣本的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和極差。X=normrnd(0,1,1,200)VAR=var(X)STD=std(X)RANG=range(X)計(jì)算結(jié)果為：VAR = 0.9519STD = 0.9757RANG = 4.8217第54頁(yè)/共89頁(yè)描述該樣本分布形態(tài)的數(shù)字特征統(tǒng)計(jì)量有

34、(1) (1) 樣本偏度的計(jì)算skewness計(jì)算公式為： 311skewness niiXXn第55頁(yè)/共89頁(yè)(2) (2) 樣本峰度的計(jì)算kurtosis計(jì)算公式為： 411kurtosis niiXXn第56頁(yè)/共89頁(yè)(1) (1) 樣本矩陣協(xié)方差的計(jì)算covcov計(jì)算公式為：XXCOV 多變量之間相關(guān)程度的度量(2) (2) 樣本矩陣的相關(guān)系數(shù)計(jì)算corrcoef計(jì)算公式為：jjiiijijcccr nmnnmmxxxxxxxxxX212222111211設(shè)二維數(shù)據(jù)為第57頁(yè)/共89頁(yè)例3.5.4 計(jì)算64矩陣的協(xié)方差陣和相關(guān)矩陣。X=rand(6,4)C=cov(X)R=corr

35、coef(X)計(jì)算結(jié)果為：X = 0.1389 0.0153 0.8462 0.6813 0.2028 0.7468 0.5252 0.3795 0.1987 0.4451 0.2026 0.8318 0.6038 0.9318 0.6721 0.5028 0.2722 0.4660 0.8381 0.7095 0.1988 0.4186 0.0196 0.4289第58頁(yè)/共89頁(yè)C = 0.0287 0.0401 0.0133 -0.0065 0.0401 0.0986 -0.0088 -0.0276 0.0133 -0.0088 0.1164 0.0115 -0.0065 -0.0276

36、 0.0115 0.0318R = 1.0000 0.7553 0.2306 -0.2149 0.7553 1.0000 -0.0818 -0.4932 0.2306 -0.0818 1.0000 0.1884 -0.2149 -0.4932 0.1884 1.0000第59頁(yè)/共89頁(yè)5、統(tǒng)計(jì)推斷基本原理 有了隨機(jī)變量分布的概念以后，我們就可以利用隨機(jī)變量或者構(gòu)造出的統(tǒng)計(jì)量的分布特性來(lái)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)了。統(tǒng)計(jì)推斷或稱假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)方法中最為重要的手段之一，可以應(yīng)用于參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷，非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷等領(lǐng)域。在統(tǒng)計(jì)分析的各種模型中，最后判別模型的好壞，我們都要在一定的假設(shè)下構(gòu)造各種統(tǒng)計(jì)量然后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷

37、。在各類商用統(tǒng)計(jì)軟件中都輸出各種統(tǒng)計(jì)量的推斷結(jié)果，因此只有掌握了推斷的結(jié)果才能很好地使用商用統(tǒng)計(jì)軟件。第60頁(yè)/共89頁(yè)（一）實(shí)際統(tǒng)計(jì)推斷原理：小概率事件實(shí)際不可能發(fā)生。即事件發(fā)生可能性很小時(shí)，實(shí)際上我們認(rèn)為不可能發(fā)生。例如：1）設(shè)姚明在罰球線投籃進(jìn)與不進(jìn)是一隨機(jī)變量X，進(jìn)的可能性是95%，不進(jìn)的可能性是5%。則在一次投籃時(shí)不進(jìn)這一事件是一個(gè)小概率事件，則我們認(rèn)為他投籃不會(huì)不進(jìn)。2）設(shè)每個(gè)人上街發(fā)生交通事故的可能性為0.01%，這是一個(gè)小概率事件。但實(shí)際我們認(rèn)為不可能發(fā)生，周末我們照樣逛街購(gòu)物。事實(shí)上我們并不知道，姚明的命中率。我們是用統(tǒng)計(jì)推斷的方法來(lái)決定的。按以下步驟進(jìn)行推斷：1）H0：進(jìn)球

38、的概率為95%2）對(duì)X進(jìn)行抽樣，即觀測(cè)投籃結(jié)果。3）如果進(jìn)了接受原假設(shè)H0，進(jìn)球的概率為95%。如果沒(méi)有進(jìn)，按小概率事件實(shí)際不可能發(fā)生原理，認(rèn)為不進(jìn)球不是小概率事件。因此推翻原假設(shè)。第61頁(yè)/共89頁(yè)例3.4.1 中國(guó)大學(xué)生男性身高的平均值是1.70米嗎？對(duì)某大學(xué)男生抽20個(gè)樣，數(shù)據(jù)為：1.66 1.53 1.71 1.73 1.59 1.82 1.82 1.69 1.73 1.66 1.53 1.71 1.73 1.59 1.82 1.82 1.69 1.73 1.72 1.68 1.77 1.641 1.92 1.69 1.71 1.80 1.71 1.72 1.68 1.77 1.641

39、 1.92 1.69 1.71 1.80 1.71 1.69 1.621.69 1.62答：現(xiàn)在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷程序： 201201,20/1 . 0iiXXXT這里這里 1）H0：假定中國(guó)男性大學(xué)生身高為1.70米2）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量按假定該統(tǒng)計(jì)量服從均值為1.70，標(biāo)準(zhǔn)差為 的T分布20/1 . 03）按顯著性水平為 計(jì)算該統(tǒng)計(jì)量的拒絕域05. 0 05. 020/1 . 070. 1 XP第62頁(yè)/共89頁(yè)R=1.66 1.53 1.71 1.73 1.59 1.82 1.82 1.69 1.73 1.72. 1.68 1.77 1.641 1.92 1.69 1.71 1.80 1.71 1.6

40、9 1.62ex=mean(R) % 計(jì)算平均值h,p,ci = ttest(R,1.70) % 進(jìn)行均值檢驗(yàn) 結(jié)果為：ex = 1.7116 % 平均值落在接受域1.6706,1.7525 h = 0 % 這個(gè)結(jié)果表示接受原假設(shè)，1表示拒絕p = 0.5615 % 概率大于0.025，表示落在接受域ci = 1.6706 1.7525 % 該結(jié)果是接受域?qū)ζ骄颠M(jìn)行T檢驗(yàn)命令的語(yǔ)法：h = ttest(x,m) h = ttest(x,m,alpha)h = ttest(x,m,alpha,tail)h,p,ci = ttest(.)這里 x： 表示樣本 m：在0假設(shè)下的平均值 alpha：

41、顯著性水平 h: 0接受，1拒絕。 p: 計(jì)算出的概率 ci：平均值的置信區(qū)間。第63頁(yè)/共89頁(yè)接受域拒絕域統(tǒng)計(jì)量計(jì)算結(jié)果顯著性水平0.05下第64頁(yè)/共89頁(yè)（二）統(tǒng)計(jì)推斷中的一些術(shù)語(yǔ)置信水平：拒絕域的概率。 置信區(qū)間 ：接受域 1顯然接受域和置信水平有關(guān)， 越小則接受域越大，反之奕然！ H0：0假設(shè)，或稱初始假設(shè)，如：H0：x=1.70H1：備擇假設(shè)，1）雙側(cè)假設(shè) 2）右側(cè)假設(shè) 3）左側(cè)假設(shè)70. 1 x70. 1 x70. 1 x前面，例3.1.4就是備擇假設(shè)是雙側(cè)的情況，對(duì)同樣的問(wèn)題進(jìn)行右側(cè)和左側(cè)檢驗(yàn)，作為習(xí)題進(jìn)行計(jì)算和推斷。第65頁(yè)/共89頁(yè)（三）統(tǒng)計(jì)推斷分類 統(tǒng)計(jì)推斷方法可以分為

42、三類，參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷、分布的擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)推斷和非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷。當(dāng)已知分布的情況下，對(duì)分布的各種參數(shù)進(jìn)行推斷稱為參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷。對(duì)樣本服從某種分布進(jìn)行假設(shè)，并進(jìn)行檢驗(yàn)稱分布進(jìn)行分布的擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)推斷。當(dāng)對(duì)某個(gè)參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷而事先不知其分布時(shí)稱為非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷。（1）參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷）參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷 一個(gè)服從某種分布的隨機(jī)數(shù)，其參數(shù)是多種多樣的。例如均值、方差、偏度、峰度、最大值和最小值等等。在大樣本的情況下，根據(jù)中心極限定理我們可以統(tǒng)一構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，在下一章中將詳細(xì)介紹這種構(gòu)造方法。 第66頁(yè)/共89頁(yè)MATLAB提供的T檢驗(yàn)和Z檢驗(yàn)。命令見下表【例3.5.1】設(shè)有兩組樣本X，

43、Y。假定來(lái)自正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差未知，抽檢驗(yàn)它們的均值是否一樣。產(chǎn)生X為均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的30個(gè)樣本和Y均值為0.5，標(biāo)準(zhǔn)差為1的40個(gè)樣本。我們可以構(gòu)造一個(gè)T-統(tǒng)計(jì)量nmsYXT11第67頁(yè)/共89頁(yè)命令語(yǔ)法為：h,significance,ci,stats = ttest2(x,y,alpha,tail)這里：alpha：輸入變量，給定的顯著性水平，如果沒(méi)有這一項(xiàng)，內(nèi)定alpha=0.05。tail： 輸入變量，假設(shè)類型。當(dāng)： tail=both，為雙尾檢驗(yàn)，即備擇假設(shè)。當(dāng)沒(méi)有tail項(xiàng)時(shí)系統(tǒng)內(nèi)定此選擇tail=right，為右單尾檢驗(yàn)，即備擇假設(shè)。tail=left，為左單尾檢驗(yàn)，即備擇

44、假設(shè)。h：輸出變量，統(tǒng)計(jì)推斷最后結(jié)果，h=0接受原假設(shè)，h=1拒絕原假設(shè)。Significance：輸出變量，統(tǒng)計(jì)量的拒絕域概率。ci：計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的上下限。stats：有關(guān)的其他統(tǒng)計(jì)量。第68頁(yè)/共89頁(yè)我們的程序如下：% 產(chǎn)生X均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的30個(gè)樣本，% 產(chǎn)生Y均值為0.5，標(biāo)準(zhǔn)差為1的40個(gè)樣本，檢驗(yàn)均值。X = normrnd(0,1,30,1);Y = normrnd(0.5,1,40,1);h,significance,ci = ttest2(X,Y)計(jì)算結(jié)果為：h = 1significance = 8.9577e-005ci = -1.4686 -0.5173結(jié)果告訴

45、我們拒絕原假設(shè)，即來(lái)自均值不同的正態(tài)分布。對(duì)服從其他分布的隨機(jī)數(shù)，進(jìn)行參數(shù)檢驗(yàn)時(shí)，在大樣本的情況下，利用中心極限定理我們可以構(gòu)造一個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。第69頁(yè)/共89頁(yè)（2）分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)）分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 一組樣本我們關(guān)心的是它們來(lái)自那一種分布，這時(shí)首先假定是服從某一分布，然后用樣本構(gòu)造其分布特性，并和假設(shè)的理論分布擬合的好壞進(jìn)行檢驗(yàn)，這就是分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。描述隨機(jī)變量的分布特性有兩種方法，一是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，另一個(gè)是隨機(jī)變量的密度函數(shù)，我們可以分別構(gòu)造不同的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)?？茽柲裰Z夫-斯米爾諾夫檢驗(yàn)Kolmogorov-Smirnov test 這是一個(gè)著名

46、的檢驗(yàn)方法，可對(duì)服從任何分布的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。設(shè)樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為 ，樣本的理論分布為F(x)。我們可以構(gòu)造K-S統(tǒng)計(jì)量 nXXX,21)(xFn第70頁(yè)/共89頁(yè)顯然D0越小表示經(jīng)驗(yàn)分布和理論分布擬合的較好，利用D0很我們可以構(gòu)造Kolmogorov-Smirnov統(tǒng)計(jì)量KS，KS大則表示經(jīng)驗(yàn)分布和理論分布相差很遠(yuǎn)，即樣本不是來(lái)自原假設(shè)的理論分布，示意見圖。 xFxFDnxsup0第71頁(yè)/共89頁(yè)【例3.5.1】對(duì)一組來(lái)自由度為5的卡方分布隨機(jī)數(shù)進(jìn)行分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，用同樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)為5的指數(shù)分布檢驗(yàn)。利用科爾莫格諾夫-斯米爾諾夫檢驗(yàn)命令kstest，其語(yǔ)法為：H =

47、 kstest(X) % 進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)H = kstest(X,cdf) % 進(jìn)行給定分布函數(shù)cdf的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)H = kstest(X,cdf,alpha,tail) % 進(jìn)行給定顯著性水平、分布cdf及備擇假設(shè)的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)H,P,KSSTAT,CV = kstest(X,cdf,alpha,tail) % 同上，并多輸出拒絕域概率，KS統(tǒng)計(jì)量等這里：X：為原始數(shù)據(jù)，注意為列向量。cdf：原假設(shè)的分布。H：檢驗(yàn)結(jié)果，H=0接受樣本來(lái)自假設(shè)的分布，H=1拒絕原假設(shè)。P：KS統(tǒng)計(jì)量的上側(cè)概率。KSSTAT：計(jì)算出的格諾夫-斯米爾諾夫統(tǒng)計(jì)量的值。第72頁(yè)/共89頁(yè)程序如下：% 例3.5.1

48、,抽200個(gè)服從自由度為5的卡方分布,檢驗(yàn)：% 1）是否服從自由度為5的卡方分布% 2）是否服從參數(shù)為5的指數(shù)分布x = chi2rnd(5, 200, 1); % 抽200個(gè)自由度為5的卡方分布h1=kstest(x, x chi2cdf(x, 5) % 卡方檢驗(yàn)h2=kstest(x, x expcdf(x, 5) % 指數(shù)分布檢驗(yàn)最后的結(jié)果為：h1=0 接受原假設(shè)，樣本來(lái)自自由度為5的卡方分布。h2=1 拒絕原假設(shè)，樣本不是來(lái)自參數(shù)為5的指數(shù)分布。第73頁(yè)/共89頁(yè)) 1(2n統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)隨機(jī)數(shù)的密度函數(shù)擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 將樣本 定義域分為k個(gè)相等的區(qū)間，記i區(qū)間的觀測(cè)頻數(shù)為ni（i=1,，k

49、），若隨機(jī)變量X落于第i區(qū)間的概率為Pi，則得理論頻數(shù)mi= N Pi，由ni，mi構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量。nXXX,2112kkiiiimnm12)(=漸近服從自由度為k-1的卡方分布，簡(jiǎn)記為 。一般要求樣本數(shù)N30。 12k第74頁(yè)/共89頁(yè)【例3.5.3】對(duì)參數(shù)為4的指數(shù)分布抽200個(gè)樣，假設(shè)樣本來(lái)自參數(shù)為4的指數(shù)密度函數(shù)，構(gòu)造自由度為7卡方統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。思路，將隨機(jī)數(shù)的定義域分為8個(gè)等區(qū)間，計(jì)算落入每個(gè)區(qū)間的頻數(shù)ni（i=1,，8），再根據(jù)落入每個(gè)區(qū)間的理論概率計(jì)算出理論頻數(shù)m i= N Pi，（i=1,，8），按公式（3.6.2）計(jì)算出自由度為7的卡方分布統(tǒng)計(jì)量，判斷該統(tǒng)計(jì)量是否落入拒絕域

50、，最終判斷檢驗(yàn)結(jié)果。% 例3.6.5 抽標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布機(jī)數(shù)200個(gè)，對(duì)密度函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷X = normrnd(0,1,200,1) % 抽200個(gè)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)histfit(X,8); % 作示意圖% 構(gòu)造卡方統(tǒng)計(jì)量k=8;kk=linspace(-3,3,k+1); % 對(duì)區(qū)間分成8個(gè)等區(qū)間P=normcdf(kk,0,1); % 計(jì)算每個(gè)區(qū)間的概率n=(P(2:k+1)-P(1:k)*200 % 計(jì)算每個(gè)區(qū)間的理論頻數(shù)m=hist(X,k) % 計(jì)算每個(gè)區(qū)間的觀測(cè)頻數(shù)kf_7 = sum(n-m).2)./m) % 計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量第75頁(yè)/共89頁(yè)% 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷chi2_p=chi2

51、cdf(kf_8,k-1) % 計(jì)算下側(cè)概率 if chi2_p0.95chi2_str=接受;else chi2_str=拒絕;endchi2_str結(jié)果為接受原假設(shè)第76頁(yè)/共89頁(yè)我們計(jì)算出的理論頻率與樣本頻率見表3-6-3表3-6-3 理論頻率與樣本頻率計(jì)算結(jié)果自由度為7的卡方統(tǒng)計(jì)量結(jié)果為：kf_7 = 9.8806最后的檢驗(yàn)結(jié)果為接受原假設(shè)，樣本來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)。第77頁(yè)/共89頁(yè)6 6、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷 在參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷中，我們是在知道樣本服從某分布的前提下進(jìn)行的，例如在知道總體為正態(tài)分布的情況下，構(gòu)造T統(tǒng)計(jì)量具有良好的估計(jì)性質(zhì)。高但在很多實(shí)際問(wèn)題中我們得到的樣本并不知道其分布特性

52、，而是只利用樣本本身進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，這樣的參數(shù)推斷稱為非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷。由于非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷不需要預(yù)先知道樣本的分布，雖不能達(dá)到最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，方法卻具有簡(jiǎn)單、穩(wěn)定的特點(diǎn)，因此廣泛使用于生物、化學(xué)、醫(yī)學(xué)和社會(huì)科學(xué)各領(lǐng)域。MATLAB提供的非參數(shù)檢驗(yàn)命令見表3-6-1第78頁(yè)/共89頁(yè)(1)兩種處理方法好壞比較的兩種處理方法好壞比較的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)秩和檢驗(yàn)秩的定義為：設(shè)有兩種樣本，秩的定義為：設(shè)有兩種樣本， ， ，1,21nxxx2,21nyyy將它們放在一起進(jìn)行排序，得由小到大的順序序列： （3.6.1）如果xi位于數(shù)據(jù)（3.6.1）的第五個(gè)位置，則稱它的秩為5，這樣數(shù)據(jù)，中的每一個(gè)元素都

53、對(duì)應(yīng)一個(gè)秩。秩和的定義為：將第一組數(shù)據(jù)的每個(gè)元素的秩相加得R1，將第二組數(shù)據(jù)每個(gè)元素的秩相加得R2，R1和R2就分別是各組的秩和，顯然它們是統(tǒng)計(jì)量。如果兩組數(shù)據(jù)來(lái)自一個(gè)總體，那么我們計(jì)算出的秩和統(tǒng)計(jì)量和就不應(yīng)該相差太大。我們可以構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量T。 21,21nnzzz212121210),min(),min(n ,0nnRRnnnnRTn第79頁(yè)/共89頁(yè)T 與平均秩和應(yīng)相差不大，在大樣本的情況下根據(jù)中心極限定理可以構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量。 12/2/2121210nnnnnnnTUWilcoxon秩和檢驗(yàn)H0：設(shè)兩獨(dú)立樣本來(lái)自等中位數(shù)的分布。H1：中位數(shù)不同。根據(jù)上面計(jì)算出的統(tǒng)計(jì)量就可以進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷了。第80頁(yè)/共89頁(yè)【例3.6.1】某運(yùn)動(dòng)隊(duì)引進(jìn)新的訓(xùn)練方法，從隊(duì)中抽一批隊(duì)員用新方法訓(xùn)練，留一批使用老方法。一個(gè)月后進(jìn)行測(cè)試，問(wèn)兩方法訓(xùn)練結(jié)果有無(wú)明顯區(qū)別，見表3-6-1% 例3.6.6 兩組運(yùn)動(dòng)成績(jī)樣本的wilcoxon 檢驗(yàn)X=41 38 35 45 32;Y=56 49 60 43 39 58;p,h = ranksum(X,Y)計(jì)算結(jié)果為：p = 0.0303h = 1拒絕原假設(shè)，即新方法與老方法訓(xùn)練出的結(jié)果有明顯的差別的。第81頁(yè)/共89頁(yè)（2） Wilcoxon符號(hào)秩