正交矩陣與正交變換的性質(zhì)及應用.doc

1、 正交矩陣與正交變換的性質(zhì)及應用 程祥 河南大學數(shù)學與信息科學學院 開封 475004摘要 矩陣是數(shù)學中的重要概念，是代數(shù)學重要研究對象之一，也是數(shù)學與其他領域研究與應用的一個重要工具，而正交矩陣作為一類特殊且常用的矩陣，在矩陣論中占有重要地位，且應用非常廣泛，因此對正交矩陣的探討具有十分重要的意義.本文主要對正交矩陣的性質(zhì)及結(jié)論進行歸納總結(jié)，并對相關(guān)性質(zhì)進行推廣.關(guān)鍵詞:正交矩陣;正交變換;性質(zhì) 1.1 正交矩陣的的定義及其判定定義1 階實矩陣, 若滿足, 則稱為正交矩陣.性質(zhì)1 為正交矩陣.性質(zhì)2 為正交矩陣. 性質(zhì)3 為正交矩陣.1.2 正交矩陣的性質(zhì) 性質(zhì)1 若為正交矩陣則均為正交矩陣

2、. 證明 有, 可得均為正交矩陣. 性質(zhì)2 若為正交矩陣則 證明 對兩邊同取行列式,可得, 故. 性質(zhì)3 若為正交矩陣，則也為正交矩陣. 證明 有, 可得 為正交矩陣. 性質(zhì)4 正交矩陣的特征值的模為1. 證明 設為正交矩陣，復數(shù)為其任一特征值為其對應的特 征向量，即，兩邊取轉(zhuǎn)置，由此得, 有可得, 從而. 性質(zhì)5 正交矩陣的實特征值為. 性質(zhì)6 行列式為1的奇數(shù)階正交矩陣必有特征值1. 證明 設為n階正交矩陣且，n為奇數(shù) 則 , 故, 即有特征值1. 性質(zhì)7 行列式為1的正交矩陣必有特征值1. 證明 設為正交矩陣且 則 , 故, 即有特征值1.性質(zhì)8 設為正交矩陣的特征值，則也為的特征值.證

3、明 因為的特征值 故存在特征向量 從而, 得, 即為的特征值, 從而也為的特征值.性質(zhì)9 設為一n階正交矩陣，有一特征值為，相應的特征向量為，則證明 有, 得, 兩邊轉(zhuǎn)置得 ,令,故,計算可得,比較第一行元素可知,又為正交矩陣，有性質(zhì)4知,代入并注意到有,可得即,易得,從而.下面舉具體例子說明正交矩陣上述性質(zhì)的應用.例1 證明：不存在正交矩陣. 證明 設有正交矩陣, 則都是正交矩陣,且, 故為正交矩陣, 從而, 兩式相加，得, 矛盾 故得證.例2 設 證明 因為正交方陣，故, 又, 從而, 得有特征值-1, 故, 即, 因此.例3 設證明：存在一實數(shù) 使得. 證明 設則 , 因為為奇數(shù)階正交矩

4、陣且, 故有特征值1，不妨設則, 于是, 從而, 其中, 有因正交矩陣的特征值的模為1, 故, 得, 于是, 從而,.例4有橢球面的中心，引三條兩兩垂直的射線，分 交曲面于點 ，設.證明： .證明 設， 則 ，且,代入曲面方程可得, 故, 有兩兩垂直可得為正交矩陣, 故, 從而有.2.1正交變換的定義及等價條件 定義2：歐氏空間的線性變換稱為正交變換，如果它保持向量的內(nèi)積不變，即對任意的，都有.正交變換可以從幾個不同的方面來加以刻畫.定理 設是維歐氏空間的一個線性變換，于是下面的四個命題是相互等價的： (1) 是正交變換； （2）保持向量的長度不變，即對于； （3）如果是標準正交基，那么也是標

5、準正交基； （4）在任一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣. 2.2正交變換的性質(zhì)和應用 由于矩陣與變換間存在一一對應的關(guān)系,因此正交矩陣性質(zhì)可以平 移到正交變換上來.下面通過具體例子說明其應用.例5 設是歐氏空間的一個變換，證明：如果是保持內(nèi)積不變.即對于，那么它一定是線性的，因而它是正交變換.證：先證：由條件得從而再證：同理，由于例6 設與是維歐氏空間的兩組向量，證明：存在正交變換使的充要條件是證明 設有正交變換，則 證 設成立.令 則但易知是到的同構(gòu)映射.于是=.從而得，,令為到得一個同構(gòu)映射，則對令,易知是的正交變換且由得例7設是維歐氏空間的兩個線性變換，證明：存在.證明 令則易知, 是，因此有, 令, 是的正交變換，且對任意有 故, 因此.參考文獻1楊子胥. 高等代數(shù)精選習題m.高等教育出版社，2008.2北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)(第三版)m.高 等教育出版社，2003.9. 3劉志明.關(guān)于正交矩陣性質(zhì)的探討j.重慶師范學院學報(自然科學版),2000，第17卷增刊. 4吳險峰，張曉林.正交矩陣的進一步探討j.齊齊哈爾大學學報，2008，第14卷第6期. 5戴立輝，王澤文，劉龍章.正交矩陣的若干性質(zhì)j.華東地質(zhì)學院學報，2002，第25卷第3 期.6涂文彪.正交矩陣的進一步推廣及性質(zhì)j.蒙自師專學報，19