《結(jié)構(gòu)分析中的有限元法》有限元習(xí)題參考答案

1、本科有限元習(xí)題參考答案2015年3月10日作業(yè)1、簡述力學(xué)課程中介紹的各種力學(xué)模型的簡化條件、基本假設(shè)和適用范圍（包括有拉壓桿模型、彎曲梁模型、平面應(yīng)力和平面應(yīng)變模型、軸對稱模型、板模型、殼模型等）力學(xué)模型簡化條件基本假設(shè)適用范圍拉壓桿線彈性，無塑性變形拉壓平面假設(shè)拉伸或壓縮的軸向二力桿彎曲梁彎曲為主要變形的曲桿彎曲平面假設(shè)單向受力假設(shè)彎曲為主要變形的曲桿平面應(yīng)力平面應(yīng)變微體所受所有外力均在同一平面；構(gòu)件內(nèi)一點外側(cè)變形均在同一平面理想彈性體只有平面應(yīng)力分量在僅為x,y函數(shù)；只有平面應(yīng)變存在僅為x,y函數(shù)；軸對稱具有對稱性對稱的理想彈性體彈性體幾何形狀、約束情況、及所受外力都對稱于某一軸板板厚遠(yuǎn)

2、小于其他兩個方向的尺寸彈性體板件殼曲面薄板彈性體殼體2、 給出彈性力學(xué)問題中平衡方程、幾何方程、物理方程的表達(dá)式及其意義。（1） 平衡方程：物理意義：應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系。（2） 幾何方程：物理意義：應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系。（3） 物理方程：物理意義：應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系。3、 簡述最小勢能原理的主要內(nèi)容和主要公式。根據(jù)虛功原理得到：，由則其中，即為系統(tǒng)的總勢能，它是彈性體變形勢能和外力勢能之和。上面變分為零式表明：在所有區(qū)域內(nèi)滿足幾何關(guān)系，在邊界上滿足給定位移條件的可能位移中，真實位移使系統(tǒng)的總勢能取駐值(可證明此駐值為最小值)。4、 “有限元法”都有哪些名稱(包括中文

3、和英文)？有限元法，也叫有限單元法、有限元素法、有限元分析；fem（finite element method）、fea（finite element analysis）5、 簡述有限元法的發(fā)展和現(xiàn)狀。近幾十年，伴隨著計算機科學(xué)和技術(shù)的快速發(fā)展，有限元法作為工程分析的有效方法在理論、方法的研究、計算機程序的開發(fā)以及應(yīng)用領(lǐng)域的開拓者方面均取得了根本性的發(fā)展。（1）單元的類型和形式為了擴大有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域，新的單元類型和形式不斷涌現(xiàn)(等參元,梁板殼,復(fù)合材料)（2）有限元法的理論基礎(chǔ)和離散格式將hellinger-reissner、huwashizu(多場變量變分原理)應(yīng)用于有限元分析，發(fā)展了混

4、合模型、雜交型的有限元表達(dá)格式，應(yīng)研究了各自的收斂條件；將加權(quán)余量法用于建立有限元的表達(dá)格式；進(jìn)一步研究發(fā)展有限元解的后驗誤差估計和應(yīng)力磨平方法。（3）有限元方程的解法(大型復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)問題靜態(tài), 特征值, 瞬態(tài)等)（4）有限元法的計算機軟件(專用軟件, 通用軟件)6、 結(jié)構(gòu)力學(xué)分析問題中的三種“非線性”都包含哪些，并解釋其含義。非線性可以是由材料性質(zhì)、變形狀態(tài)和邊界接觸條件引起的，分別稱為材料、幾何、邊界非線性。材料非線性就是材料的本構(gòu)關(guān)系不是線性的。幾何非線性時結(jié)構(gòu)在載荷作用過程中產(chǎn)生大的位移和轉(zhuǎn)動，如板殼結(jié)構(gòu)的大撓度。邊界非線性是指高撓度部件或由多個部件組成的結(jié)構(gòu)組合件，漸進(jìn)位移將會增大

5、部件自身或是部件之間產(chǎn)生接觸的可靠性，以此特征的特定類型幾何非線性為邊界條件或者接觸非線性。7、 簡述有限元法的未來。以有限元法為代表的計算力學(xué)提出一系列新的課題：（1）為了真實地模擬新材料和新結(jié)構(gòu)的行為，需要發(fā)展新的材料本構(gòu)模型和單元型式。例如對于特種合金、復(fù)合材料、陶瓷材料、機敏材料、智能材料、生物材料以及納米材料等。（2）為了分析和模擬各種類型和形式的結(jié)構(gòu)在復(fù)雜載荷工況和環(huán)境作用下的全壽命過程的響應(yīng)，需要發(fā)展新的數(shù)值分析方案。如：多重非線性（材料、幾何、邊界等）相耦合的分析方法；多場（結(jié)構(gòu)、流體、熱、電、化學(xué)）耦合作用的分析方法；跨時間空間多尺度；非確定性（隨機模糊）的分析方法；自適應(yīng)的

6、分析方法。（3）有限元軟件和cadcam等軟件系統(tǒng)共同集成完整的虛擬產(chǎn)品開發(fā)（vpd）系統(tǒng)。這個系統(tǒng)強烈影響著未來工程系統(tǒng)的設(shè)計、制造、和運行，主要體現(xiàn)在： 它能提供對所設(shè)計的工程系統(tǒng)從加工制造到運行，直至失效和破壞的全壽命過程的更深入認(rèn)識，從而能更好地識別它的屬性和特征。 它能夠鑒定和評估所設(shè)計對象的性能和質(zhì)量，并允許以最低的費用在設(shè)計過程中就對所設(shè)計的對象進(jìn)行修改和優(yōu)化。 它能顯著地縮短工程對象設(shè)計和投產(chǎn)的周期，降低生產(chǎn)成本，提高市場競爭力。2015年3月17日作業(yè)1、簡述有限元法的基本思想，并結(jié)合簡單結(jié)構(gòu)來說明。(1) 有限元法，也叫有限單元法，它的基本思想是將一個結(jié)構(gòu)或連續(xù)體的求解域離

7、散為若干個子域（單元），并通過它們邊界上的結(jié)點相互聯(lián)結(jié)成為組合體。(2) 有限元法用每一個單元內(nèi)所假設(shè)的近似函數(shù)來分片地表示全求解域內(nèi)待求的未知場變量。而每個單元內(nèi)的近似函數(shù)由未知函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在單元各個結(jié)點上的數(shù)值和與其對應(yīng)的插值函數(shù)來表示。由于在聯(lián)結(jié)相鄰單元的結(jié)點上，場函數(shù)應(yīng)具有相同的數(shù)值，因而將它們用作數(shù)值求解的基本未知量。這樣一來，求解原來待求場函數(shù)的無窮自由度問題轉(zhuǎn)換為求解場函數(shù)結(jié)點值的有限自由度問題。(3) 有限元法是通過和原問題數(shù)學(xué)模型（基本方程、邊界條件）等效的變分原理或加權(quán)余量法，建立求解基本未知量（場函數(shù)的結(jié)點值）的代數(shù)方程組或微分方程組。此方程組稱為有限元求解方程，并表示成

8、規(guī)范的矩陣形式。接著用數(shù)值方法求解此方程，從而得到問題的解答。2、簡述結(jié)構(gòu)離散(或有限元建模)的內(nèi)容和要求。有限元建模的內(nèi)容：1）網(wǎng)格劃分-即把結(jié)構(gòu)按一定規(guī)則分割成有限單元2）邊界處理-即把作用于結(jié)構(gòu)邊界上約束和載荷處理為結(jié)點約束和結(jié)點載荷有限元建模的要求：1）離散結(jié)構(gòu)必須與原始結(jié)構(gòu)保形-單元的幾何特性2）一個單元內(nèi)的物理特性必須相同-單元的物理特性3、簡述結(jié)點力和結(jié)點載荷的差別。結(jié)點力：單元與單元間通過結(jié)點的相互作用力。結(jié)點載荷：作用于結(jié)點上的外載荷。4、列表給出有限元幾類基本單元的圖形、結(jié)點數(shù)、結(jié)點自由度數(shù)和單元總自由度數(shù)(包括桿單元、梁單元、平面三角形單元、平面四邊形單元、軸對稱問題三角

9、形單元、四邊形殼單元、四面體單元)。單元類型單元圖形結(jié)點數(shù)結(jié)點自由度桿單元22梁單元23平面單元32平面四邊形42軸對稱問題32板殼單元46四面體單元435、寫出適用于插值下表的基函數(shù)，并給出拉格朗日插值多項式。基函數(shù)：，根據(jù)拉格朗日插值多項式：。將帶入：2015年3月24日作業(yè)1、為了保證有限單元法解答的收斂性，位移函數(shù)應(yīng)滿足哪些條件？完備協(xié)調(diào)元、非協(xié)調(diào)元和完備元分別是什么意思？為了保證有限單元法解答的收斂性，位移函數(shù)應(yīng)滿足：1) 位移函數(shù)必須包括單元的剛性位移（即常量項）；2) 位移函數(shù)必須包括常量應(yīng)變（即線性項）；3) 位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)（連續(xù)性條件）；4) 位移函數(shù)應(yīng)使得相鄰單

10、元間的位移協(xié)調(diào)（協(xié)調(diào)性條件）注：上述四個條件稱為有限元解收斂于真實解的充分條件；前三個條件稱為必要條件。滿足四個條件的位移函數(shù)構(gòu)成的單元稱為完備協(xié)調(diào)元；滿足前三個條件的單元稱為非協(xié)調(diào)元；滿足前兩個條件的單元稱為完備元。2、如下圖所示4結(jié)點平面應(yīng)力單元，結(jié)點1結(jié)點4對應(yīng)的結(jié)點坐標(biāo)分別為(0,0), (0,1), (2,0),(2,1)，結(jié)點1結(jié)點4對應(yīng)的結(jié)點位移分別為(u1,v1), (u2,v2), (u3,v3), (u4,v4)，試基于拉格朗日插值基函數(shù)構(gòu)造如下單元的位移函數(shù)。解：根據(jù)拉格朗日插值基函數(shù)：所以：同求：。3、說明有限元方法解誤差的主要來源？答：影響有限元解的誤差：1) 離散誤

11、差。邊界上以直線代曲線導(dǎo)致離散化模型與實際物體的差異；2) 位移函數(shù)誤差。一般情況下單元位移函數(shù)不可能與實際單元的位移場一致；3) 計算機計算誤差。計算機字長的限制、相差懸殊的數(shù)值加減運算。4、說明用有限單元法解題的主要步驟。答：研究問題的力學(xué)建模；結(jié)構(gòu)離散；單元分析；整體分析與求解；結(jié)果分析及后處理。5、推導(dǎo)基于變分原理的總勢能泛函極值條件。解：有積分形式確立的標(biāo)量泛函有其中是未知函數(shù)，和是特定的算子，是求解域，是的邊界。稱為未知函數(shù)的泛函，隨函數(shù)的變化而變化。連續(xù)介質(zhì)問題的解使泛函對于微小的變化取駐值，即泛函的“變分”等于零，此為變分法。將虛功原理用于彈性變形時，總功w要包括外力功(t)和

12、內(nèi)力功(u)兩部分，即：w = t - u；內(nèi)力功(-u)前面有一負(fù)號，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。根據(jù)虛功原理，總功等于零得：t- u = 0，即外力虛功t = 內(nèi)力虛功u彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功)。根據(jù)虛功原理得到其中的即為總勢能泛函。由上面變分為零式表明：在所有區(qū)域內(nèi)滿足幾何關(guān)系，在邊界上滿足給定位移條件的可能位移中，真實位移使系統(tǒng)的總勢能取駐值(可證明此駐值為最小值)。此

13、即總勢能泛函的極值條件。2015年3月31日作業(yè)1、給出利用最小勢能原理建立單元有限元靜力平衡方程的一般推導(dǎo)過程。解：由單元位移函數(shù)：式中：為插值函數(shù)（或稱形函數(shù)），得到單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力分別為 其中為彈性矩陣，它完全取決于彈性常數(shù)和。將位移、應(yīng)力和應(yīng)變代入勢能泛函有根據(jù)最小勢能原理，勢能泛函取駐值的必要條件：式中稱為單元剛度矩陣，稱為體積力等效結(jié)點力，稱為面力等效結(jié)點力，則上式可寫成單元平衡方程：此式即單元有限元靜力平衡方程。2、利用最小勢能原理推導(dǎo)結(jié)構(gòu)（假設(shè)包含n個單元）有限元靜力平衡方程。解：利用彈性體所有單元的總勢能最小，將所有單元進(jìn)行組裝后即可形成整個結(jié)構(gòu)的有限元靜力平衡方程。為此先

14、需要建立單元結(jié)點位移向量和總體結(jié)點位移向量之間的對應(yīng)關(guān)系，即式中：表示第個單元的結(jié)點位移向量；是總體結(jié)點位移向量；矩陣是第個單元的結(jié)點位移提取矩陣。對于桿單元可以表示為 利用提取矩陣對單元矩陣進(jìn)行合同變換與累加后，可得到總體的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和載荷向量，即 根據(jù)最小勢能變分原理即可得到，此式即為總體結(jié)構(gòu)的有限元靜力平衡方程。2015年4月7日作業(yè)1、推導(dǎo)拉(壓)桿單元形狀函數(shù)，利用最小勢能原理推導(dǎo)拉(壓)桿單元在局部坐標(biāo)系中的單元剛度方程。解：（1）如圖1表示某一桿單元，現(xiàn)約定附屬于該單元的局部坐標(biāo)系（單元坐標(biāo)系）為，點為原點，軸沿著桿軸線，其正方向為由指向，其余各軸按右手螺旋規(guī)則確定。設(shè)，

15、為桿元結(jié)點位移分量，桿單元結(jié)點力分量，一律規(guī)定和坐標(biāo)軸正向一致時為正。設(shè)桿的長度為，彈性模量為，橫截面積為。圖1 桿單元結(jié)點位移結(jié)點力分量對于鉸接桿單元，在小變形假設(shè)的前提下，與桿垂直方向的位移并不使桿產(chǎn)生應(yīng)變和應(yīng)力。于是，對每一個結(jié)點只需考慮一個結(jié)點位移和結(jié)點力，即如圖2所示圖2 二力桿單元二力桿單元的位移函數(shù)為。式中，是兩個待定常數(shù)，可由，兩結(jié)點的位移唯一確定。當(dāng)；時，將其代入位移函數(shù)有：，從而可以得到將，的值代入位移函數(shù)得或?qū)懗蓜t有式中，稱為點、點的形狀函數(shù)，成為形函數(shù)矩陣。（2）根據(jù)位移函數(shù)與應(yīng)變的定義得或?qū)懗?，其中稱為應(yīng)變矩陣。根據(jù)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，將應(yīng)變代入有，其中稱為應(yīng)力矩陣，對

16、于拉（壓）桿有。根據(jù)桿單元在局部坐標(biāo)系單元剛度矩陣的表達(dá)式代入矩陣與得到拉(壓)桿單元在局部坐標(biāo)系中的單元剛度方程為2、給出將局部坐標(biāo)系中的拉(壓)桿單元剛度矩陣通過坐標(biāo)變換得到總體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣推導(dǎo)過程。解：設(shè)為總體坐標(biāo)系，為局部坐標(biāo)系，如圖1所示。圖1 平面桿單元總體坐標(biāo)系位移在局部軸方向分量規(guī)定由總體坐標(biāo)系平面軸到局部坐標(biāo)系軸的夾角逆時針為正。桿單元總體坐標(biāo)系下的結(jié)點位移分量用表示，局部坐標(biāo)下的位移分量用表示。則平面桿單元結(jié)點在總體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系下的位移分量關(guān)系有同理對于結(jié)點有用矩陣表示為對兩結(jié)點桿單元，當(dāng)用總體坐標(biāo)系位移表示局部坐標(biāo)系中位移時有轉(zhuǎn)換關(guān)系式中矩陣稱為坐標(biāo)變換矩

17、陣。對于圖1中的桿單元就可以很容易將局部坐標(biāo)系的剛度矩陣轉(zhuǎn)換為總體坐標(biāo)系的剛度矩陣為3、計算下圖所示三桿平面桁架結(jié)構(gòu)的總體坐標(biāo)系下各單元的單元剛度矩陣。桿單元材料彈性模量e=2.0×1011(n/m2)，截面積a=1.0×10(-4)(m2)。注：物理量單位均采用國際單位。解：總體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣為對桿有： 對桿有： 對桿有： 4、推導(dǎo)平面梁彎曲的撓曲線控制方程。解：如下圖為梁單元，結(jié)點為和因彎曲而引起的軸向位移為，其中是所討論點離中面的距離，應(yīng)變。又根據(jù)平衡關(guān)系有，其中是切面慣性矩，。根據(jù)胡克定律，有又根據(jù)剪力與彎矩的關(guān)系有現(xiàn)在討論的梁，為常數(shù)，故有，若梁上無分布剪

18、力，則有，則可以判斷是的三次函數(shù)。設(shè)則梁的轉(zhuǎn)角將，結(jié)點位移代入上式有用矩陣表示為從而得單元的形狀函數(shù)矩陣為其中設(shè)，則上式可寫成以上四個函數(shù)即是二結(jié)點梁單元的形狀函數(shù)由于每結(jié)點有兩個位移參數(shù)，則每結(jié)點有兩個形狀函數(shù)。是指結(jié)點零階導(dǎo)數(shù)（即點位移）對應(yīng)的形函數(shù)， 指結(jié)點一階導(dǎo)數(shù)（即結(jié)點轉(zhuǎn)角）對應(yīng)的形函數(shù)，位移函數(shù)用內(nèi)插多項式表示為2015年4月14日作業(yè)1、推導(dǎo)平面直梁單元形狀函數(shù)，利用最小勢能原理推導(dǎo)平面直梁單元在局部坐標(biāo)系中的單元剛度方程。 解：先將軸力與剪力、彎矩分開考慮。對于平面直梁單元的兩個節(jié)點1,2各有一個撓度和轉(zhuǎn)角，故可設(shè)其撓度為：其中，為待定常數(shù)，為單元形函數(shù)，；利用hermit插值

19、或書中解方程的方法，可求得： ，對于軸力引起的位移，設(shè)：進(jìn)而，位移函數(shù)改寫為位移函數(shù)求得后，可得到應(yīng)變和應(yīng)力的表達(dá)式：若忽略剪切影響，是拉力引起的應(yīng)變，是彎曲引起的應(yīng)變對應(yīng)的應(yīng)力為下面求梁單元的總勢能。 梁應(yīng)變能為：梁上的結(jié)點力，并有分布力作用。故外力勢為：總勢能式中是分布載荷的等效結(jié)點載荷，其中由最小勢能原理，由的任意性，知其中剛度矩陣將b帶入上式，得到2、計算下表所示直梁單元承受的4種典型載荷分布形式的等效結(jié)點載荷(要求計算過程!)解：等效節(jié)點載荷的基本原理是功的互等原理，即對任意虛位移，等效節(jié)點力做的功與實際力做的功相等。對于分布載荷，可推得等效節(jié)點載荷的計算公式（書中p28）為: （1

20、）其中為單元形函數(shù)向量。對于梁單元： ，設(shè)等效節(jié)點載荷為（1） 當(dāng)梁發(fā)生虛位移為形函數(shù)時，由形函數(shù)定義知，等效節(jié)點載荷中只有做功，由功的互等原理，有：故同理求得：對任意虛位移，等效節(jié)點力做的功與實際力做的功相等。而對于梁單元，所有容許的位移都可表示為單元形函數(shù)的線性組合。所以，當(dāng)每個形函數(shù)作為虛位移，等效節(jié)點力與實際力做功相等時，對任意容許位移，等效節(jié)點力與實際力做功也必相等。滿足功的互等。（2） 將帶入公式（1），求得等效節(jié)點載荷為：（3） 將帶入公式（1），求得等效節(jié)點載荷為：（4） 將帶入公式（1），求得等效節(jié)點載荷為：3、計算如下所示受一個集中力和一個集中力矩的直梁單元的等效結(jié)點載荷。

21、解法一：仿照2中（1）的方法，設(shè)等效節(jié)點載荷列向量為。當(dāng)梁發(fā)生虛位移為時，由形函數(shù)定義知，等效節(jié)點載荷中只有做功，由功的互等原理，有：同樣地，解法二：利用狄拉克函數(shù)的性質(zhì)，可設(shè)，帶入第2題公式（1）中，得：進(jìn)而可得出與解法一相同的結(jié)果。2015年4月21日作業(yè)1、請給出由單元剛度矩陣組裝形成總體剛度矩陣的基本原理和過程。（補充公式推導(dǎo)）基本原理：結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣的元素是由單元剛度矩陣的元素組成的，只要確定了單元剛度矩陣各元素在結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣中的位置，就可以由單元剛度矩陣直接集成結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣?；舅枷胧牵喊褑卧獥U端位移分量（局部碼）所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)結(jié)點位移向量的序號（整體位移碼）組成一向量，它

22、成為單元的定位向量。利用單元定位向量可以完全確定單元剛度矩陣的每個元素在結(jié)構(gòu)（原始）剛度矩陣中的行碼和列碼。過程：先求出單元在整體坐標(biāo)系中的剛度矩陣，然后將單元 的定位向量分別寫在單元剛度矩陣的上方和右側(cè)（或左側(cè)）。這樣， 的每一行或每一列就與單元定位向量的一個分量相對應(yīng)，這個分量即為 中相應(yīng)的行和列在結(jié)構(gòu)剛度矩陣 中的行碼或列碼。于是，按照由單元定位向量中分量的行碼和列碼，就能夠?qū)卧獎偠染仃嚨脑卣_地疊加到結(jié)構(gòu)剛度矩陣中去。2、計算下圖所示三桿平面桁架結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣。桿單元材料彈性模量，截面積。 注：物理量單位均采用國際單位。解：先計算各單元相對總體坐標(biāo)系的剛度矩陣。各單元局部坐標(biāo)系

23、的選取與到的角度如下表：單元編號局部坐標(biāo)系原點cossin20102 013-arctan(3/4)0.8-0.6由書中p20公式（3.31）得到各單元的剛度矩陣為： （）組裝得到總剛：3、從半帶寬最小的角度出發(fā)，如下圖所示平面桁架或剛架的結(jié)點編號哪一種最好，其“半帶寬b”是多少？解：對于桁架計算半帶寬：（a） 單元節(jié)點號之差最大的為3(如節(jié)點1和4)，節(jié)點自由度數(shù)為2半帶寬： （b） 單元節(jié)點號之差最大的為9(如節(jié)點1和10)，節(jié)點自由度數(shù)為2半帶寬：（c） 單元節(jié)點號之差最大的為5(如節(jié)點3和8)，節(jié)點自由度數(shù)為2半帶寬：對于桁架計算半帶寬：（d） 單元節(jié)點號之差最大的為3(如節(jié)點1和4)

24、，節(jié)點自由度數(shù)為3半帶寬： （e） 單元節(jié)點號之差最大的為9(如節(jié)點1和10)，節(jié)點自由度數(shù)為3半帶寬：（f） 單元節(jié)點號之差最大的為5(如節(jié)點3和8)，節(jié)點自由度數(shù)為3半帶寬：由上可知，（a）編號最好2015年4月28日作業(yè)1、計算下圖所示三桿平面桁架結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移、各桿軸力、軸向正應(yīng)力及支座約束反力。1結(jié)點處受x和y方向的載荷大小為。桿單元材料彈性模量，截面積。解：先計算各單元相對總體坐標(biāo)系的剛度矩陣。各單元局部坐標(biāo)系的選取與到的角度如下表：單元編號局部坐標(biāo)系原點cossin20102 013-arctan(3/4)0.8-0.6由書中p20公式（3.31）得到各單元的剛度矩陣為： （）將

25、單元剛度矩陣組成總剛，各節(jié)點x、y方向上對應(yīng)的位移依次設(shè)為，引入邊界條件，用刪行刪列法處理，刪去第2至第5行與第2至第5列，總剛度方程變?yōu)椋?下面求各桿軸力、軸向正應(yīng)力。對于號桿，局部坐標(biāo)系中，帶入局部單元剛度矩陣，軸向應(yīng)力軸力為：同理可求解號桿：軸向應(yīng)力：軸力：對于號桿，應(yīng)先將相關(guān)位移分量轉(zhuǎn)到局部坐標(biāo)系中即（ 還可以比較簡單地通過1，3節(jié)點位移在桿方向上投影得到）所以軸向應(yīng)力：軸力：下面求解約束力 總剛為：故各節(jié)點力為：所以支反力為 2、求下圖所示平面剛架2結(jié)點處結(jié)點位移和梁內(nèi)力。在2結(jié)點處受一集中彎矩作用。其中梁截面積， 慣性矩，彈性模量，尺寸。解：先寫出兩個單元的剛度矩陣單元，局部坐標(biāo)系

26、取2為原點，角度局部坐標(biāo)中單剛（p26，（3.74）：轉(zhuǎn)換矩陣（p27）：總體坐標(biāo)系下的單剛為：單元，局部坐標(biāo)系取2為原點，角度同理可得： 轉(zhuǎn)換矩陣：總體坐標(biāo)系下的單剛為：組裝總剛，引入邊界條件，求解得到： 解得： 下面求梁內(nèi)力對于單元，局部坐標(biāo)系下的位移為： 局部坐標(biāo)系下，梁兩端受力為：可由這些梁端力求出梁的剪力，軸力與彎矩分布。即軸力30n（拉），剪力56.625n，彎矩 （設(shè)以節(jié)點2位原點）對于單元，同理，可求得：即軸力19.5n（壓），剪力62.25n，彎矩（設(shè)以節(jié)點2位原點）（注：1本題中，帶撇號（）的量表局部坐標(biāo)系中的分量，不帶撇號的表整體坐標(biāo)系中的量；2 求內(nèi)力的方法還有一種，通

27、過先求整體坐標(biāo)系中單元梁端力分量，再左乘轉(zhuǎn)換矩陣得出局部坐標(biāo)中的力分量，即 ）3、求下圖所示平面剛架2結(jié)點和3結(jié)點位移。在2號單元上作用均布力。其中梁截面積，慣性矩，彈性模量，尺寸。解：先寫出各個單元的剛度矩陣。單元，局部坐標(biāo)系取1為原點，角度，整體坐標(biāo)系下剛度矩陣為：單元，局部坐標(biāo)系取2為原點，角度，整體坐標(biāo)系下剛度矩陣為：單元，局部坐標(biāo)系取3為原點，角度，整體坐標(biāo)系下剛度矩陣為：下面列寫剛度方程：載荷列向量為： 位移列向量為：將分布力等效為節(jié)點力得到 引入邊界條件，刪去總剛第一至第三行和列，以及第十至十二行和列，得到有限元方程： 解得2、3節(jié)點的位移如下： 2015年5月5日作業(yè)1. 如圖

28、1和圖2所示三角形平面單元，寫出其形狀函數(shù)，。圖1 三角形平面應(yīng)力單元 圖2 三角形平面應(yīng)變單元解：根據(jù)公式：則形函數(shù)：圖1形函數(shù)：圖2形函數(shù)：2. 證明平面問題的常應(yīng)變?nèi)切螁卧男螤詈瘮?shù)ni，nj，nk 所滿足的兩個性質(zhì)：（1）“本點為1，它點為0”；（2） 。證明：（1）對于常應(yīng)變?nèi)切螁卧?，由定義，i節(jié)點的形函數(shù)可表示為:，對本點：(本點為1)對他點：（它點為0） （它點為0）對于j、k節(jié)點同理可證。（2）證一： 其中：故證二：由常應(yīng)變?nèi)切螁卧奈灰坪瘮?shù)的原始表達(dá)式： 知，此位移函數(shù)可以表達(dá)剛體位移，而位移函數(shù)又可以表達(dá)為形函數(shù)的線性組合，即：現(xiàn)設(shè)單元有剛體位移，則三個節(jié)點的位移均為

29、，進(jìn)而：，即3列出圖3所示各常應(yīng)變?nèi)切螁卧牡刃ЫY(jié)點載荷列向量。解：以下節(jié)點載荷向量的寫法都是按i、j、m的順序，等效面力計算公式：(a)此題與梁中節(jié)點力的簡化大致相同，具體過程如下： 為方便積分，先以j為原點，jm為坐標(biāo)軸建立局部坐標(biāo)系s。因只需考慮jm邊的位移，則在局部坐標(biāo)系中常應(yīng)變單元各點的形函數(shù)如下： ，（由形函數(shù)定義，jm上）設(shè)單元發(fā)生虛位移（整體坐標(biāo)系中），則由功的互等得：設(shè)單元發(fā)生虛位移（整體坐標(biāo)系中），則由功的互等得：同理，得：，故等效節(jié)點載荷（b）載荷作用在邊上，以壓力為正，另這條邊長為，與軸夾角為。測壓在軸軸方向的分量為和為：。在局部坐標(biāo)中，由積分公式知，只需要考慮jm的

30、位移，故形函數(shù)可寫作：（由形函數(shù)定義，jm上）則單元的等效節(jié)點載荷為：因此。（c）為方便積分，先以i為原點，ij為坐標(biāo)軸建立局部坐標(biāo)系s。因只需考慮ij邊的位移，則在局部坐標(biāo)系中常應(yīng)變單元各點的形函數(shù)如下： ，作用在ij邊的載荷為： i節(jié)點： ，y方向無載荷分量： j節(jié)點：，y方向無載荷分量：m節(jié)點：故載荷向量為：（d）為方便積分，先以j為原點，jm為坐標(biāo)軸建立局部坐標(biāo)系s。則在局部坐標(biāo)系中常應(yīng)變單元各點的形函數(shù)如下： ，作用在ij邊的載荷為：j節(jié)點： ，y方向無載荷分量： m節(jié)點：，y方向無載荷分量：i節(jié)點：故載荷向量為：4 求下圖平面應(yīng)力問題(僅一個平面三角形單元)的節(jié)點處豎向位移，其中，彈性模量 泊松比厚度。解：這時邊界上面積力寫作局部坐標(biāo)的函數(shù)單元等效節(jié)點載荷為代入數(shù)據(jù)后