函數(shù)極值與最值PPT課件

1、1定義,0的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)若在若在x),()(0 xfxf 或或的一個(gè)的一個(gè)為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱)()(0 xfxf)()(0 xfxf 極大值 (或極小值), 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極值點(diǎn).恒有恒有極小值(minimal value)極大值(maximal value)一、函數(shù)的極值及其求法1. 函數(shù)極值的定義使函數(shù)取得極值的點(diǎn)x0(自變量)稱為第1頁/共26頁21x2x3x4x5x6x 函數(shù)的極大值、極小值 是局部性的. 在一個(gè)區(qū)間內(nèi),函數(shù)可能存在許多個(gè)極值,最大值與最小值,有的極小值可能大于某個(gè)極大值.只是一點(diǎn)附近的 xyOab)(xfy 第2頁/共26頁3定理1(必要條件

2、)注如,3xy , 00 xy.0不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)但但 x(1)處處取取得得在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)0)(xxf,0處可導(dǎo)處可導(dǎo)且在且在x的的叫做函數(shù)叫做函數(shù)為零的點(diǎn)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)使導(dǎo)數(shù))()(xfxf 駐點(diǎn).可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn).但函數(shù)的2. 極值的必要條件必是駐點(diǎn),費(fèi)馬引理如果函數(shù)處處在在0)(xxf可導(dǎo),0)(xxf在在且且處取得極值, 那么. 0)(0 xf則必有則必有極值,3xy xyO . 0)(0 xf第3頁/共26頁4xyO32xy 極值點(diǎn)也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).如,32xy 32xy 但 怎樣從駐點(diǎn)中與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)判斷一點(diǎn)單減的分界點(diǎn),(2)不可導(dǎo).0

3、x是極小值點(diǎn).是不是極值點(diǎn)若 x0 是連續(xù)函數(shù) f(x) 單增、則 x0必為極值點(diǎn).幾何上, 0 x在在第4頁/共26頁5定理2(第一充分條件)且在且在點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在設(shè)設(shè),)(0 xxf,),()1(00時(shí)時(shí)若當(dāng)若當(dāng)xxx 0)( xf);0( ,),(00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxx0)( xf),0( 則)(0 xf為極大值,)()2(0附近不變號附近不變號在在若若xxf )(0 xf則不是極值.(極小值);極值的一階充分條件3. 極值的充分條件xyO0 x xyO0 x .),(0o0內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)的的某某去去心心鄰鄰域域 xUx第5頁/共26頁60 x0 x 一般求極值的步驟求導(dǎo)數(shù); 求駐點(diǎn)與不可

4、導(dǎo)點(diǎn);求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號,判別增減性;求極值.(1)(2)(3)(4)不是極值點(diǎn) xyOxyO第6頁/共26頁7例解.)1()1()(323的極值及單調(diào)區(qū)間的極值及單調(diào)區(qū)間求求 xxxf322)1()1(3)( xxxf313)1()1(32 xx312)1(3)711()1( xxx(1)(2)駐點(diǎn):, 1 x導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):.117 x. 1 x(3)列表.求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號,判別增減性,確定極值點(diǎn)和極值.第7頁/共26頁8x)(xf )(xf), 1( 1 )117, 1( 117)1 ,117(1)1,( 0非極值極小值0)1( f極極小小值值2 . 2)117( f極大值極大值

5、0 不存在極大值駐點(diǎn):, 1 x導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):,117 x. 1 x.)1()1()(323的極值及單調(diào)區(qū)間的極值及單調(diào)區(qū)間求求 xxxf )(xf312)1(3)711()1( xxx單調(diào)增加區(qū)間:)., 1 ,117, 1 ,1,( 單調(diào)減少區(qū)間:.1 ,117 第8頁/共26頁9定理3(第二充分條件), 0)(0 xf如果如果極大值 (極小值).為為則則)(0 xf0)(0 xf),0( 極值的二階充分條件 對于駐點(diǎn),有時(shí)還可以利用函數(shù)在該點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號來判斷極值點(diǎn).第9頁/共26頁10例解.20243)(23的極值的極值求求 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( x

6、f得得駐駐點(diǎn)點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f18 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f18)2(f故極小值故極小值.48 . 2, 421 xx因?yàn)? 0 , 0 第10頁/共26頁11注,0)(0時(shí)時(shí) xf仍用第一充分條件定理3(第二充分條件)不能應(yīng)用.事實(shí)上, 0)(0 xf當(dāng)當(dāng),0)(0時(shí)時(shí) xf處處在點(diǎn)在點(diǎn)0)(xxf可能有極大值,也可能有極小值,也可能沒有極值.如,)(41xxf ,)(42xxf 33)(xxf 處處在在0 x分別屬于上述三種情況.第11頁/共26頁12例解.)2(1)(32的極值的極值求求 xxf)2()2(32)(31 xxxf,2時(shí)時(shí)

7、當(dāng)當(dāng) x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf1)2( f.)(在該點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf.)(不存在不存在xf 32)2(1)( xxf所以,.)(的的極極大大值值為為xf第一充分條件xyO12第12頁/共26頁13充分條件來判定有無極值;對于只有駐點(diǎn)而沒有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),可用第二充分條件判斷有無極值. 運(yùn)用第一、第二充分條件需要注意:若函數(shù)有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)時(shí),則可用第一(1)(2)則第13頁/共26頁14baabab二、最大值最小值問題1.最值的求法xyOxyOxyO第14頁/共26頁15(1)其中最大(小)者 求連續(xù)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間a, b

8、上的最大(小)值的方法:將閉區(qū)間a, b內(nèi)所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的區(qū)間端點(diǎn)的就是 f (x)最值必在端(2)點(diǎn)處達(dá)到.點(diǎn)(即為極值嫌疑點(diǎn))處的函數(shù)值和函數(shù)值 f (a), f (b)比較,在閉區(qū)間a, b上的最大(小)值. 當(dāng) f (x)在閉區(qū)間a, b上單調(diào)時(shí),第15頁/共26頁16例解上的上的在在求函數(shù)求函數(shù)2 , 2)1()(31232 xxxf.最大值與最小值最大值與最小值因3223134322)1(3)1(2 xxxx駐點(diǎn):,21 x導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):, 0 x. 1 xxxxxf2)1(3132)(32231 第16頁/共26頁17僅需計(jì)算:, 1)0( f.34)2(33 f, 1)

9、1( f比較得:因上的上的在在求函數(shù)求函數(shù)2 , 2)1()(31232 xxxf.最大值與最小值最大值與最小值是偶函數(shù),)(xf,43最大值為最小值為.3433 ,4)21(3 f122 21 21駐點(diǎn):,21 x導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):, 0 x. 1 xxyO第17頁/共26頁18上的上的在在求函數(shù)求函數(shù)3, 0|2|)(xexxf 解 32)2(20)2()(xexxexxfxx 32)1(20)1()(xexxexxfxx,)3 , 0(內(nèi)內(nèi)在在駐點(diǎn):導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):, 1 x, 2 x, 2)0( f,)3(3ef ,)1(ef , 0)2( f最大值最小值最大值與最小值.第18頁/共26

10、頁19(3) 對實(shí)際問題常?？墒孪葦喽ㄗ畲?小)值必在區(qū)間內(nèi)部取得, 如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)又僅有一個(gè)極值嫌疑點(diǎn), 那末這點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大(小)值.實(shí)際問題求最值應(yīng)注意(1) 建立目標(biāo)函數(shù);(2) 求最值;若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn),則該點(diǎn)的函數(shù)值即為所求的最大(小)值.第19頁/共26頁20Ozyx例解hrV22 目標(biāo)函數(shù),222Rhr 由由得,)(222hhRV Rh 0)3(222hRVh h2hrR2. 應(yīng)用舉例(1)(2) 求最大值點(diǎn)半徑為R.求內(nèi)接于球的圓柱體的最大體積,設(shè)球的設(shè)圓柱體的高為2h, 底半徑為r, 體積為V,第20頁/共26頁21 圓柱體的最大體積一定存在, 故唯一駐點(diǎn)

11、3Rh 就是最大值點(diǎn), 最大體積為3)3(222RRRV 3334R 令, 0 hV得3Rh (舍去負(fù)值)唯一駐點(diǎn))3(222hRVh 第21頁/共26頁22例敵人乘汽車從河的北岸A處以1公里/分的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2公里/分問我軍摩托車何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？北南西東解建立敵我相距函數(shù)關(guān)系).(分分追擊至射擊的時(shí)間追擊至射擊的時(shí)間處發(fā)起處發(fā)起為我軍從為我軍從設(shè)設(shè)Bt敵我相距函數(shù)22)24()15 . 0()(ttts )(ts(1)公里公里5.0公里公里4 AB )(ts第22頁/共26頁2322)24()5 . 0()(ttts .)()2(的最小值點(diǎn)的最小值點(diǎn)求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一駐點(diǎn). 5 . 1 t處發(fā)起追擊后處發(fā)起追擊后故得我軍從故得我軍從B.5 . 1分分鐘鐘射射擊擊最最好好北南西東公里公里5.0公里公里4 AB )(ts第23頁/共26頁24例 某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)租金定為每月720元時(shí),公寓會(huì)全部租出去.當(dāng)租金每月增加40元時(shí),就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花費(fèi)80元的整修維護(hù)費(fèi).試問房租定為多少可獲得最大收入?解 設(shè)房租為每月 元，x租出去的房子有 每月總收入為)(xL)80( x 4072