函數(shù)的極值與最大值最小值94806PPT課件

1、極值定義極值定義 ,)()(00內有定義內有定義的某鄰域的某鄰域在在設函數(shù)設函數(shù)xUxxf)(小小一、一、函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法 如果對如果對 , )(00 xUx 有有 )()(0 xfxf ),)()(0 xfxf 或或點取得極點取得極在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)0)(xxf大大,值值的極的極為為稱點稱點)(0 xfx,值點值點)(小小大大函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值. .函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點極值點. .1x4x3x2xabxoy31xx ,為極大值點為極大值點42xx ,為極小值點為極小值點注注: :函數(shù)

2、的極大值和極小值是局部性概念。函數(shù)的極大值和極小值是局部性概念。 極值點一定在區(qū)間內部取得極值點一定在區(qū)間內部取得, ,不能在區(qū)間端點取得不能在區(qū)間端點取得. .極值點不唯一極值點不唯一, , 極大值不一定比極小值大極大值不一定比極小值大. . 最大最大( (小小) )值若在區(qū)間內部取得值若在區(qū)間內部取得, ,則它一定是極大則它一定是極大( (小小) )值值. .第1頁/共21頁費馬費馬( Fermat )( Fermat )引理引理若若點可導點可導在在0)()1(xxf. 0)(0 xf則則,)()(00內有定義內有定義的某鄰域的某鄰域在在設函數(shù)設函數(shù)xUxxf點取得極大值或極小值點取得極大

3、值或極小值在在0)()2(xxf( (山峰、山谷若有切線必有水平切線山峰、山谷若有切線必有水平切線) )通常稱導數(shù)為零的點通常稱導數(shù)為零的點為函數(shù)的為函數(shù)的駐點或穩(wěn)定點駐點或穩(wěn)定點費馬引理指出：費馬引理指出：可導函數(shù)可導函數(shù) f (x) 的極值點必定是該函數(shù)的駐點的極值點必定是該函數(shù)的駐點. .但駐點不一定是極值點但駐點不一定是極值點 不可導點也可能取得極值不可導點也可能取得極值例如例如, ,3xy , 00 xy.0不是極值點不是極值點但但 x例如例如, ,xy ,0不可導不可導在在 x第2頁/共21頁),(,)(0000 xxxxf的某去心鄰域的某去心鄰域且在且在連續(xù)連續(xù)在在設函數(shù)設函數(shù)內

4、可導內可導,0)( xf(自證自證)處處取取得得極極小小值值在在則則0)(xxf定理定理 1 (極值第一充分條件極值第一充分條件)符符號號保保持持不不變變時時當當)(,),()3(00 xfxx xyO0 x)(xfy xyO0 x)(xfy ,),()1(00時時當當若若xxx 0)( xf處處取取得得極極大大值值在在則則0)(xxf0)( xf,),(00時時當當若若 xxx0)( xf,),()2(00時時若當若當xxx ,),(00時時若當若當 xxx處處無無極極值值在在則則0)(xxf第3頁/共21頁xyoxyo0 x0 x ( (是極值點情形是極值點情形) )xyoxyo0 x0

5、x ( (不是極值點情形不是極值點情形) )第4頁/共21頁32)1()(xxxf 的極值的極值 .解解: 32)(xxf3132)1( xx35235xx 2) 求極值可疑點求極值可疑點令令,0)( xf得駐點得駐點;521 x為不可導點為不可導點另另02 x3) 列表判斷列表判斷x)(xf )(xf 0520 033. 0 )0,( ),0(52),(52 0 x是極大點，是極大點， 其極大值為其極大值為0)0( f是極小點，是極小點， 其極小值為其極小值為52 x33. 0)(52 f),()1( 函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域為為例例1. 求函數(shù)求函數(shù)內連續(xù)內連續(xù)且在且在),(第5頁/共21

6、頁確定函數(shù)極值點和極值的步驟確定函數(shù)極值點和極值的步驟 );(,)1(xf 并并求求導導數(shù)數(shù)確確定定函函數(shù)數(shù)定定義義域域 ; )()2(的的全全部部駐駐點點與與不不可可導導點點求求出出xf ,.)()4(的全部極值的全部極值就得就得求出各極值點的函數(shù)值求出各極值點的函數(shù)值xf(3)駐點和不可導點將定義域區(qū)間分成若干個區(qū)間，駐點和不可導點將定義域區(qū)間分成若干個區(qū)間，列表考察導函數(shù)在各個區(qū)間內的符號，以便確定該點列表考察導函數(shù)在各個區(qū)間內的符號，以便確定該點是否是極值點是否是極值點 如果是極值點如果是極值點 是極大值還是極小值是極大值還是極小值; ;第6頁/共21頁定理2 (極值第二判別法)二階導

7、數(shù)二階導數(shù) , 且且處具有處具有在點在點設函數(shù)設函數(shù)0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)()1(0 xf若若則則 在點在點 取極大值取極大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若若則則 在點在點 取極小值取極小值 .)(xf0 x證證: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx 0)(lim0 xxxfxx ,0)(0知知由由 xf存在存在,0 ,00時時當當 xx0)(0 xxxf時，時，故當故當00 xxx ;0)( xf時，時，當當 00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判別法知由第一判別法知.)(0取極大值取極大值在在xxf(2) 類似可證類

8、似可證 . 定理定理2 2表明表明：f (x0) 0 那么該點那么該點x0一定是極值點一定是極值點 但如果但如果f (x0) 0 定理定理2失效失效 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x)在駐點在駐點x0處的二階導數(shù)處的二階導數(shù)第7頁/共21頁1)1()(32 xxf的極值的極值 . 解解:,)1(6)(22 xxxf)15)(1(6)(22 xxxf2) 求駐點求駐點令令,0)( xf得駐點得駐點1,0,1321 xxx3) 判別判別 因因,06)0( f故故 為極小值為極小值 ;0)0( f又又,0)1()1( ff故需用第一判別法判別故需用第一判別法判別.,1)(左右鄰域內不變號左右鄰域內不變號在

9、在由于由于 xxf.1)(沒有極值沒有極值在在 xxf1xy1),()1(函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為例例2. 求函數(shù)求函數(shù)定理定理2 2失效失效第8頁/共21頁內除有限內除有限上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間若函數(shù)若函數(shù)),( ,)(babaxf其最值可能在其最值可能在極值點極值點在在駐點、不可導點處取得駐點、不可導點處取得.,)(上的最值上的最值在在求函數(shù)求函數(shù)baxf在上述條件下在上述條件下且至多有有限個駐點且至多有有限個駐點個點外可導個點外可導,二、最大值與最小值問題二、最大值與最小值問題.,)(則最值一定存在則最值一定存在上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間若函數(shù)若函數(shù)baxf區(qū)間的內部（即極值

10、點處）取得。區(qū)間的內部（即極值點處）取得。區(qū)間的端點處取得，區(qū)間的端點處取得，第9頁/共21頁,)(上的最值上的最值在閉區(qū)間在閉區(qū)間因此函數(shù)因此函數(shù)baxf一定是在所有的極值點和區(qū)間的端點處取得一定是在所有的極值點和區(qū)間的端點處取得 . .求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法: :（1）求出函數(shù)所有的駐點和不可導點）求出函數(shù)所有的駐點和不可導點（2）求出函數(shù)所有的駐點、不可導點和端點的）求出函數(shù)所有的駐點、不可導點和端點的函數(shù)值比較大小，其中最大者為最大值，最小者函數(shù)值比較大小，其中最大者為最大值，最小者為最小值為最小值第10頁/共21頁 當當 在在 上單調時上單調時,)(xf,ba最值必在端點處

11、達到最值必在端點處達到. 對實際問題求最值對實際問題求最值 , 往往根據(jù)實際意義斷定函數(shù)往往根據(jù)實際意義斷定函數(shù),),()(上可導上可導半開半閉半開半閉閉閉開開在區(qū)間在區(qū)間當函數(shù)當函數(shù)Ixf特別特別:該函數(shù)在區(qū)間內部只有一個駐點，則該唯一駐點該函數(shù)在區(qū)間內部只有一個駐點，則該唯一駐點的極值點的極值點且該駐點是且該駐點是且只有一個駐點且只有一個駐點)(,xf確有最大或最小值，且一定在區(qū)間內部取得，若確有最大或最小值，且一定在區(qū)間內部取得，若.)(的最值點的最值點它必是它必是xf一定是最值點，不必討論是否為極值點。一定是最值點，不必討論是否為極值點。第11頁/共21頁.4 , 323)( 2最大值

12、與最小值最大值與最小值上的上的在在求函數(shù)求函數(shù) xxxf例例3 3又又 ).2 , 1(, 234 , 21 , 3, 23)(22xxxxxxxf ).2 , 1(, 32)4 , 2()1 , 3(, 32)(xxxxxf ;23 )( , )4 , 3( xxf的駐點為的駐點為內內在在為不可導點為不可導點2, 1 xx 解解: 顯然顯然, 4, 3)( Cxf一定取得最大值與最小值一定取得最大值與最小值. )1)(2()( xxxf為不可導點為不可導點2, 1 xx 第12頁/共21頁因為因為 )3(f;20 )2(f; 0 )1(f; 0, 6 )4(f,20)3( f最大值最大值比較

13、得比較得. 0)2()1( ff最小值最小值 23f;41-3-2-112342468.4 , 323)( 2最大值與最小值最大值與最小值上的上的在在求函數(shù)求函數(shù) xxxf例例3 3 ;23 )( , )4 , 3( xxf的駐點為的駐點為內內在在為不可導點為不可導點2, 1 xx 第13頁/共21頁)1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041 x250 x041 x250 x例4. 求函數(shù)求函數(shù)xxxxf1292)(23 在閉區(qū)間在閉區(qū)間,2541 上的最大值和最小值上的最大值和最小值 .解解: 顯然顯然, ,1292()(25412 Cxxxxf且且 )

14、(xf, )1292(23xxx ,129223xxx )(xf121862 xx121862 xx內有極值可疑點內有極值可疑點在在,)(2541 xf0, 2, 1132 xxx,3)(321941 f,0)0( f,5)1( f,4)2( f5)(25 f故函數(shù)在故函數(shù)在0 x取最小值取最小值 0 ;在在1x及及25取最大值取最大值 5., )2)(1(6 xx, )2)(1(6 xx為不可導點為不可導點0 x 第14頁/共21頁實際問題求最值應注意實際問題求最值應注意: :(1)(1)建立目標函數(shù)建立目標函數(shù); ;(2)(2)求最值求最值; ;值值或最小或最小值即為所求的最值即為所求的最

15、則該點的函數(shù)則該點的函數(shù)點點若目標函數(shù)只有唯一駐若目標函數(shù)只有唯一駐)(,應用問題應用問題第15頁/共21頁 某房地產公司有某房地產公司有5050套公寓要出租套公寓要出租, , 當租金定為當租金定為每月每月180180元時元時, , 公寓會全部租出去公寓會全部租出去. . 當租金每月增當租金每月增加加1010元時元時, , 就有一套公寓租不出去就有一套公寓租不出去, , 而租出去的房而租出去的房子每月需花費子每月需花費2020元的整修維護費元的整修維護費. . 試問房租定為多試問房租定為多少可獲得最大收入？少可獲得最大收入？例例5.5.解解設房租為每月設房租為每月x元元, , 租出去的房子有租

16、出去的房子有 ,1018050套套 x每月總收入為每月總收入為)(xR)20( x 1018050 x),180( x第16頁/共21頁,1068)20()( xxxR 101)20(1068)(xxxR,570 x 0)( xR350 x（唯一駐點）（唯一駐點）故每月每套租金為故每月每套租金為 350 350 元時收入最高元時收入最高. .最大收入為最大收入為 1035068)20350()(xR).(10890 元元 第17頁/共21頁例例6.6.圍成一個圍成一個及拋物線及拋物線由直線由直線28, 0 xyxy 解解如圖如圖, ,),(00yxP設所求切點為設所求切點為為為則切線則切線PT),(2000 xxxyy ,200 xy 因為因為TxyoPABC,0,210 xA所以所以)16, 8(200 xxB ),0, 8(C使曲線在該使曲線在該上求一點上求一點在曲邊在曲邊曲邊三角形曲邊三角形 , ,2xy 所圍成的三角形所圍成的三角形及及點處的切線與直線點處的切線與直線80 xy面積最大面積最大第18頁/共21頁, 0)316)(16(41)( xxxS令令解得解得).(16,31621舍去