函數(shù)的連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)PPT課件

1、1定定義義 1 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn) 0 x的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，如如果果 例1 證明函數(shù)yx2在給定點(diǎn)x0處連續(xù)。 證 在x0處，函數(shù)的改變量為所以 y x2 在給定點(diǎn)x0處連續(xù)。，因因?yàn)闉?)(2limlim2000 xxxyxx2 2、函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義、函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義那那么么就就稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn) 0 x連連續(xù)續(xù)。 0)()(limlim0000 xfxxfyxx2020)(xxxy ,)(220 xxx 第1頁(yè)/共32頁(yè)2,0 xxx 記記),()(0 xfxfy ,00 xxx 等價(jià)于等價(jià)于.0 )()(0 yxfxf等等價(jià)價(jià)于

2、于下面給出函數(shù)連續(xù)的定義的另一種等價(jià)形式。 0)()(limlim0000 xfxxfyxx定定義義 2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn) 0 x的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，如如果果 那那么么就就稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x連連續(xù)續(xù)。 ，)()(lim00 xfxfxx 第2頁(yè)/共32頁(yè)3說(shuō)說(shuō)明明：)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù)要要滿(mǎn)滿(mǎn)足足三三條條： （3 3）函函數(shù)數(shù)值值與與極極限限值值相相等等. . （1 1）)(xf在在0 x處處有有定定義義, ,即即)(0 xf存存在在； （2 2）極極限限)(lim0 xfxx存存在在； )()(lim00 xfxfxx .0,

3、0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf例2證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在所所以以函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 第3頁(yè)/共32頁(yè)4;)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱(chēng)則稱(chēng)且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf 定理.)()(00既左連續(xù)又右連續(xù)既左連續(xù)又右連續(xù)處處在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱(chēng)則稱(chēng)且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 3. 3.

4、單側(cè)連單側(cè)連續(xù)續(xù)第4頁(yè)/共32頁(yè)5例3.00,10 ,0 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxf解)1(lim)(lim00 xxfxx1 ),0(f )1(lim)(lim00 xxfxx1 ),0(f 即不右連續(xù)也不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxfx y-1 1 O第5頁(yè)/共32頁(yè)6.0, 0, 0,cos)(, 處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa例4解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,

5、1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a第6頁(yè)/共32頁(yè)7若若)(xf在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)每一點(diǎn)處連續(xù)內(nèi)每一點(diǎn)處連續(xù), ,則稱(chēng)則稱(chēng))(xf在在),(ba內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). . 如如果果)(xf在在整整個(gè)個(gè)定定義義域域上上連連續(xù)續(xù), ,則則稱(chēng)稱(chēng)之之為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù). . 二、連續(xù)函數(shù)二、連續(xù)函數(shù)若若)(xf在在),(ba上上連連續(xù)續(xù), ,且且在在ax 處處右右連連續(xù)續(xù), ,在在bx 處處左左連連續(xù)續(xù), ,則則稱(chēng)稱(chēng))(xf在在 ba,上上連連續(xù)續(xù). . 第7頁(yè)/共32頁(yè)8例5.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證),( x任取

6、任取xxxysin)sin( , )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則, 對(duì)任意的對(duì)任意的,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).),(sin都都是是連連續(xù)續(xù)的的對(duì)對(duì)任任意意函函數(shù)數(shù)即即 xxy第8頁(yè)/共32頁(yè)9三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算和初等函數(shù)的連續(xù)性三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算和初等函數(shù)的連續(xù)性 定理1,)(),(0處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù)xxgxf例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)故故xxxx1、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).)0)()(

7、)(),()(),()(0 xgxgxfxgxfxgxf則則.0處處也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)x第9頁(yè)/共32頁(yè)10定理2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,2,2sin上上單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上上單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)在在同同理理 xy.,cotarc,arctan上單調(diào)且連續(xù)上單調(diào)且連續(xù)在在 xyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).2、反函數(shù)的連續(xù)性、反函數(shù)的連續(xù)性第10頁(yè)/共32頁(yè)11且且連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),0)(xxxu 定理33、復(fù)合函數(shù)的

8、連續(xù)性、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,)(,)(000連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)而函數(shù)而函數(shù)uuufyux .)(0也連續(xù)也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)xxxfy 極限運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算可以交換)()(lim00ufxfxx ).(lim0 xfxx 第11頁(yè)/共32頁(yè)124、初等函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.)1, 0( aaayx指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù);),(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 )1, 0(log aaxya對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在 xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 ,不同值不同值討論討

9、論 均在其定義域內(nèi)連續(xù).第12頁(yè)/共32頁(yè)13所有基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.也就是說(shuō)，對(duì)初等函數(shù)來(lái)說(shuō)，連續(xù)區(qū)間即為其定義域。第13頁(yè)/共32頁(yè)14 利用函數(shù)的連續(xù)性可以計(jì)算一些極限利用函數(shù)的連續(xù)性可以計(jì)算一些極限. . 初等函數(shù)求極限的方法：代入法.例6.1esinlim1 xx求求1esin1 原原式式.1esin 例7.11lim20 xxx 求求解解11lim20 xxx原式原式20 .0 )()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx第14頁(yè)/共32頁(yè)15例8.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原

10、式原式)1(limln10 xxx eln 解) 0()1ln( xxx)()(lim00ufxfxx ).(lim0 xfxx 處連續(xù)處連續(xù)在在eln uuy極限運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算可以交換第15頁(yè)/共32頁(yè)16例9.1elim0 xxx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解,1eyx 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyy10)1ln(1lim 類(lèi)似可得.ln1lim0axaxx ) 0(1e xxx) 0(ln1 xaxax第16頁(yè)/共32頁(yè)17例10.(1)1(lim0）為非零實(shí)常數(shù)為非零實(shí)常數(shù)求求 xxx xxxxx)1ln()1ln(1)1(lim0 原式原式

11、解,1)1(yx 令令, )1ln()1ln(yx 則則. 0,0yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))1ln(lim0yyy .111xnxn 前面已證. xx 1)1 ( xxxxxx)1ln(lim)1ln(1)1(lim00 ) 0( x)0(x第17頁(yè)/共32頁(yè)18,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x,sinxx,)1ln(xx ,tanxx,1exx ，221cos1xx ,arcsinxx,arctanxx常用等價(jià)無(wú)窮小常用等價(jià)無(wú)窮小: :,ln1axax ,ln)1 (logaxxa xx 1)1 ( 第18頁(yè)/共32頁(yè)19等價(jià)代換原理：等價(jià)代換原理：.limlim,lim, 則則存在存在且且設(shè)設(shè)證 lim)lim( li

12、mlimlim.lim 只有在乘、除的極限運(yùn)算中才能替換；注意在加、減的極限運(yùn)算中不能替換！第19頁(yè)/共32頁(yè)20例11.cos12tanlim20 xxx 求求解.22tan,21cos1,02xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)2202/1)2(limxxx 原式原式.8 第20頁(yè)/共32頁(yè)21例12.2sinsintanlim30 xxxx 求求解.sin,tan,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯(cuò) 第21頁(yè)/共32頁(yè)22例13.3sin1

13、cos5tanlim0 xxxx 求求解xxxxxx3sincos1lim3sin5tanlim00 原式原式.35 xxxxxx321lim35lim200 第22頁(yè)/共32頁(yè)23例14解.1111lim30 xxx求求231lim0 xxx 原式原式.32 .)cos1cos(1lim40 xxx 求求例15解420)cos1(21limxxx 原式原式4220)21(21limxxx .81 .111xnxn ，221cos1xx 第23頁(yè)/共32頁(yè)24定理1(有界性與最大值最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且能取得最大值和最小值.abxyo)(xfy ).()(),()(

14、,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若1 2 1、有界性與最大值最小值定理四、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)四、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)記作,)(max)(,1xffbax .)(min)(,2xffbax 第24頁(yè)/共32頁(yè)25xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 注意:1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間, 定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定理不一定成立.第25頁(yè)/共32頁(yè)262、介值定理與零點(diǎn)定理、介值定理與零點(diǎn)定理定理定理 2(2(介值定理介值定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值

15、 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那末，對(duì)于那末，對(duì)于 A 與與 B 之間的任意一個(gè)數(shù)之間的任意一個(gè)數(shù) C，在開(kāi)區(qū)間，在開(kāi)區(qū)間 ba,內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得，使得Cf )( )(ba . . 推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值 .第26頁(yè)/共32頁(yè)27幾何解釋:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .)(至少有一個(gè)交點(diǎn)至少有一個(gè)交點(diǎn)直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧Cyxfy 第27頁(yè)/共32頁(yè)28定理定理 3 3( (零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(af與與)(

16、bf異號(hào)異號(hào)( (即即0)()( bfaf),),那末在開(kāi)區(qū)間那末在開(kāi)區(qū)間 ba,內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個(gè)零的一個(gè)零點(diǎn)點(diǎn), ,即至少有一點(diǎn)即至少有一點(diǎn) )(ba ，使，使0)( f. . .)(, 0)(000的的零零點(diǎn)點(diǎn)稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù)則則使使如如果果xfxxfx .),(0)(內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根在在即方程即方程baxf ab3 2 1 幾何解釋:.,)(軸軸至至少少有有一一個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)線線弧弧與與則則曲曲軸軸的的不不同同側(cè)側(cè)端端點(diǎn)點(diǎn)位位于于的的兩兩個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧xxxfy xyo)(xfy 定義第28頁(yè)/共32頁(yè)29例16證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一個(gè)根內(nèi)至少有一個(gè)根在在方程方程